Механическую, ядерную, электромагнитную, и т.д. Однако пока будем рассматривать только одну ее форму - механическую. Тем более что с точки зрения истории развития физики, она начиналась с изучения сил и работы. На одном из этапов становления науки был открыт закон сохранения энергии.

При рассмотрении механических явлений используют понятия кинетической и Экспериментально установлено, что энергия не исчезает бесследно, из одного вида она превращается в другой. Можно считать, что сказанное в самом общем виде формулирует закон сохранения

Сначала надо отметить, что в сумме потенциальная и тела называются механической энергией. Далее необходимо иметь в виду, что закон сохранения справедлив при отсутствии внешнего воздействия и дополнительных потерь, вызванных, например, преодолением сил сопротивления. Если какое-то из этих требований нарушено, то при изменении энергии будут происходить ее потери.

Самый простой эксперимент, подтверждающий указанные граничные условия, каждый может провести самостоятельно. Поднимите мячик на высоту и отпустите его. Ударившись об пол, он подскочит и потом опять упадет на пол, и опять подскочит. Но с каждым разом высота его подъема будет меньше и меньше, пока мяч не замрет неподвижно на полу.

Что мы видим в этом опыте? Когда мяч неподвижен и находится на высоте, он обладает только потенциальной энергией. Когда начинается падение, у него появляется скорость, и значит, появляется кинетическая энергия. Но по мере падения высота, с которой началось движение, становится меньше и, соответственно, становится меньше его потенциальная энергия, т.е. она превращается в кинетическую. Если провести расчёты, то выяснится, что значения энергии равны, а это означает, что закон сохранения энергии при таких условиях выполняется.

Однако в подобном примере есть нарушения двух ранее установленных условий. Мяч движется в окружении воздуха и испытывает сопротивление с его стороны, пусть и небольшое. И энергия затрачивается на преодоление сопротивления. Кроме того, мяч сталкивается с полом и отскакивает, т.е. он испытывает внешнее воздействие, а это второе нарушение граничных условий, которые необходимы, чтобы закон сохранения энергии был справедлив.

В конце концов скачки мяча прекратятся, и он остановится. Вся имеющаяся первоначальная энергия окажется потраченной на преодоление сопротивления воздуха и внешнего воздействия. Однако кроме превращения энергии окажется выполненной работа по преодолению сил трения. Это приведёт к нагреванию самого тела. Зачастую величина нагрева не очень значительная, и ее можно определить только при измерении точными приборами, но подобное изменение температуры существует.

Кроме механической, есть и другие виды энергии - световая, электромагнитная, химическая. Однако для всех разновидностей энергии справедливо, что из одного вида возможен переход в другой, и что при таких превращениях суммарная энергия всех видов остаётся постоянной. Это является подтверждением всеобщего характера сохранения энергии.

Здесь надо учесть, что переход энергии может означать и её бесполезную потерю. При механических явлениях свидетельством этого будет нагрев окружающей среды или взаимодействующих поверхностей.

Таким образом, простейшее механическое явление позволило нам определить закон сохранения энергии и граничные условия, обеспечивающие его выполнение. Была установлено, что осуществляется преобразование энергии из имеющегося вида в любой другой, и выявлен всеобщий характер упомянутого закона.

Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку. Классическая механика рассматривает закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы физических тел, между которыми действуют консервативные силы, является величиной постоянной. Так формулируется закон сохранения энергии в механике Ньютона.

Замкнутой, или изолированной, принято считать физическую систему, на которую не действуют внешние силы. В ней не происходит обмена энергией с окружающим пространством, и собственная энергия, которой она обладает, остаётся неизменной, то есть сохраняется. В такой системе действуют только внутренние силы, и тела взаимодействуют друг с другом. В ней могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Простейший пример замкнутой системы – снайперская винтовка и пуля.

Виды механических сил

Силы, которые действуют внутри механической системы, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Консервативными считаются силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, к которому они приложены, а определяется только начальным и конечным положением этого тела. Консервативные силы называют также потенциальными . Работа таких сил по замкнутому контуру равна нулю. Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости .

Все остальные силы называются неконсервативными . К ним относятся сила трения и сила сопротивления . Их называют также диссипативными силами. Эти силы при любых движениях в замкнутой механической системе совершают отрицательную работу, и при их действии полная механическая энергия системы убывает (диссипирует). Она переходит в другие, не механические виды энергии, например, в теплоту. Поэтому закон сохранения энергии в замкнутой механической системе может выполняться, только если неконсервативные силы в ней отсутствуют.

Полная энергия механической системы состоит из кинетической и потенциальной энергии и является их суммой. Эти виды энергий могут превращаться друг в друга.

Потенциальная энергия

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Е п = m ɡ h ,

где m – масса тела

ɡ - ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с 2

При падении тела c высоты h 1 до высоты h 2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = - ( E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

где E п1 – потенциальная энергия тела на высоте h 1 ,

E п2 - потенциальная энергия тела на высоте h 2 .

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Е п = k·(∆x) 2 /2 ,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆ E k = E k 2 - E k 1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Закон сохранения механической энергии

Е k 1 + Е п1 = Е k 2 + Е п2

Любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте, имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает терять. Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а превращается в кинетическую энергию этого же тела.

Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью. Следовательно, начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт уменьшаться его потенциальная энергия. В точке падения кинетическая энергия тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.

Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в этот момент равна нулю. Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же величину. А сумма их значений останется неизменной. Потенциальная энергия яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую энергию.

Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной постоянной . Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

На какую величину уменьшится потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не изменится.

Для замкнутой системы физических тел справедливо равенство
E k1 + E п1 = E k2 + E п2 ,
где E k1 , E п1 - кинетическая и потенциальная энергии системы до какого-либо взаимодействия, E k2 , E п2 - соответствующие энергии после него.

Процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и наоборот можно увидеть, наблюдая за раскачивающимся маятником.

Нажать на картинку

Находясь в крайне правом положении, маятник словно замирает. В этот момент его высота над точкой отсчёта максимальна. Следовательно, максимальна и потенциальная энергия. А кинетическая равна нулю, так как он не движется. Но в следующее мгновение маятник начинает движение вниз. Возрастает его скорость, а, значит, увеличивается кинетическая энергия. Но уменьшается высота, уменьшается и потенциальная энергия. В нижней точке она станет равной нулю, а кинетическая энергия достигнет максимального значения. Маятник пролетит эту точку и начнёт подниматься вверх налево. Начнёт увеличиваться его потенциальная энергия, а кинетическая будет уменьшаться. И т.д.

Для демонстрации превращений энергии Исаак Ньютон придумал механическую систему, которую называют колыбелью Ньютона или шарами Ньютона .

Нажать на картинку

Если отклонить в сторону, а затем отпустить первый шар, то его энергия и импульс передадутся последнему через три промежуточных шара, которые останутся неподвижными. А последний шар отклонится с такой же скоростью и поднимется на такую же высоту, что и первый. Затем последний шар передаст свою энергию и импульс через промежуточные шары первому и т. д.

Шар, отведенный в сторону, обладает максимальной потенциальной энергией. Его кинетическая энергия в этот момент нулевая. Начав движение, он теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую, которая в момент столкновения со вторым шаром достигает максимума, а потенциальная становится равной нулю. Далее кинетическая энергия передаётся второму, затем третьему, четвёртому и пятому шарам. Последний, получив кинетическую энергию, начинает двигаться и поднимается на такую же высоту, на которой находился первый шар в начале движения. Его кинетическая энергия в этот момент равна нулю, а потенциальная равна максимальному значению. Далее он начинает падать и точно так же передаёт энергию шарам в обратной последовательности.

Так продолжается довольно долго и могло бы продолжаться до бесконечности, если бы не существовало неконсервативных сил. Но в реальности в системе действуют диссипативные силы, под действием которых шары теряют свою энергию. Постепенно уменьшается их скорость и амплитуда. И, в конце концов, они останавливаются. Это подтверждает, что закон сохранения энергии выполняется только в отсутствии неконсервативных сил.

механической энергии. Превращения энергии

Поскольку движение и взаимодействие взаимосвязаны (взаимодействие определяет движение материальных объектов, а движение объектов, в свою очередь, влияет на их взаимодействие), то должна быть единая мера, характеризующая движение и взаимодействие материи.

Энергия и является единой скалярной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Различным формам движения и взаимодействия соответствуют различные виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и т.д. Простейшим видом энергии, соответствующим простейшей - механической - форме движения и взаимодействия материи, является механическая энергия.

Одним из наиболее важных законов всего естествознания является всеобщий закон сохранения энергии . Он утверждает, что энергия не возникает ниоткуда и не исчезает бесследно, а лишь переходит из одной формы в другую.

Закон сохранения механической энергии есть частный случай всеобщего закона сохранения энергии.

Полная механическая энергия материальной точки (частицы) и системы частиц складывается из двух частей. Первая составляющая энергии частицы обуславливается ее движением, называется кинетической энергией и вычисляется по формуле

где m - масса частицы, - ее скорость.

Кинетическая энергия частицы изменяется, если при движении частицы на нее действует сила (силы), совершающая работу.

В простейшем случае, когда сила постоянна по величине и по направлению, а траектория движения прямолинейна, то работаA , совершаемая этой силой при перемещении
, определяется по формуле

где s - пройденный путь, равный при прямолинейном движении модулю перемещения
,
- скалярное произведение векторови
, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними.

Работа может быть положительной, если угол
острый (
90°), отрицательной, если угол
тупой (90°
180°), и может быть равна нулю если угол
прямой (
=90°).

Можно доказать, что изменение кинетической энергии
частицы при ее перемещении из точки 1 в точку 2 равно сумме работ, совершенных всеми силами, действующими на эту частицу, при данном перемещении:

, (6.13)

где
- кинетическая энергия частицы в начальной и в конечной точках,- работа, совершенная силой(i =1, 2, ... n ) при данном перемещении.

Кинетической энергией системы
изN частиц называется сумма кинетических энергий всех частиц системы. Ее изменение при любом изменении конфигурации системы, то есть произвольном перемещении частиц, равно суммарной работе
, совершенной всеми силами, действующими на частицы системы, при их перемещениях:

. (6.14)

Второй составляющей механической энергии является энергия взаимодействия, называемая потенциальной энергией. В механике понятие потенциальной энергии может быть введено не для любых взаимодействий, а лишь для определенного их класса.

Пусть в каждой точке пространства, где может находиться частица, на нее в результате взаимодействия с другими телами действует сила, зависящая только от координат x, y, z частицы и, возможно, от времени t :
. Тогда говорят, что частица находится в силовом поле взаимодействия с другими телами. Примеры: материальная точка, движущаяся в гравитационном поле Земли; электрон, движущийся в электростатическом поле неподвижного заряженного тела. В этих примерах сила, действующая на частицу, в каждой точке пространства от времени не зависит:
. Такие поля называются стационарными.

Если же, например, электрон будет находиться в электрическом поле конденсатора, напряжение между обкладками которого изменяется, то в каждой точке пространства сила будет зависеть и от времени:
. Такое поле называется нестационарным.

Сила, действующая на частицу, называется консервативной, а соответствующее поле – полем консервативной силы, если работа, совершаемая этой силой при перемещении частицы по произвольному замкнутому контуру, будет равна нулю.

К консервативным силам и соответствующим полям относятся сила всемирного тяготения и, в частности, сила тяжести (гравитационное поле), сила Кулона (электростатическое поле), сила упругости (поле сил, действующих на тело, прикрепленное к некоторой точке упругой связью).

Примерами неконсервативных сил являются сила трения, сила сопротивления среды движению тела.

Только для взаимодействий, которым соответствуют консервативные силы, может быть введено понятие потенциальной энергии.

Под потенциальной энергией
механической системы понимается величина, убыль которой (разность начального и конечного значений) при произвольном изменении конфигурации системы (изменении положения частиц в пространстве) равна работе
, совершаемой при этом всеми внутренними консервативными силами, действующими между частицами этой системы:

, (6.15)

где
- потенциальная энергия системы в начальной и конечной конфигурации.

Заметим, что убыль
равна с обратным знаком приращению (изменению)
потенциальной энергии и поэтому соотношение (6.15) можно записать в виде

. (6.16)

Такое определение потенциальной энергии системы частиц позволяет находить ее изменение при изменении конфигурации системы, но не само значение потенциальной энергии системы при заданной конфигурации. Поэтому во всех конкретных случаях уславливаются, при какой конфигурации системы (нулевой конфигурации) ее потенциальная энергия
принимается равной нулю (
). Тогда потенциальная энергия системы при любой ее конфигурации
, а из (6.15) следует, что

, (6.17)

то есть потенциальная энергия системы частиц некоторой конфигурации равна работе
, совершаемой внутренними консервативными силами при изменении конфигурации системы от данной до нулевой.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли, принимается равной нулю при нахождении тела на поверхности Земли. Тогда потенциальная энергия притяжения к Земле тела, находящегося на высоте h , равна работе силы тяжести
, совершаемой при перемещении тела с этой высоты на поверхность Земли, то есть на расстояниеh по вертикали:

Потенциальная энергия тела, прикрепленного к фиксированной точке упругой связью (пружиной), принимается равной нулю при недеформированной связи. Тогда потенциальная энергия упруго деформированной (растянутой или сжатой на величину
) пружины с коэффициентом жесткостиk равна

. (6.19)

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек и электростатического взаимодействия точечных зарядов принимается равной нулю, если эти точки (заряды) удалены на бесконечное расстояние друг от друга. Поэтому энергия гравитационного взаимодействия материальных точек массами и
, находящихся на расстоянииr друг от друга, равна работе силы всемирного тяготения
, совершенной при изменении расстоянияx между точками от x=r до
:

. (6.20)

Из (6.20) следует, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек при указанном выборе нулевой конфигурации (бесконечном удалении) оказывается отрицательной при размещении точек на конечном расстоянии друг от друга. Это связано с тем, что сила всемирного тяготения есть сила притяжения, и ее работа при удалении точек друг от друга отрицательна. Отрицательность потенциальной энергии означает, что при переходе этой системы из произвольной конфигурации в нулевую (при удалении точек с конечного расстояния на бесконечное) ее потенциальная энергия увеличивается.

Аналогично, потенциальная энергия электростатического взаимодействия точечных зарядов в вакууме равна

(6.21)

и отрицательна для притягивающихся разноименных зарядов (знаки иразличны) и положительна для отталкивающихся одноименных зарядов (знакииодинаковы).

Полной механической энергией системы (механической энергией системы)
называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий

. (6.22)

Из (6.22) следует, что изменение полной механической энергии складывается из изменения ее кинетической и потенциальной энергии

Подставим в формулу (6.33) формулы (6.14) и (6.16). В формуле (6.14) общую работу
всех сил, действующих на точки системы, представим как сумму работы сил, внешних по отношению к рассматриваемой системе,
и работы внутренних сил, которая, в свою очередь, складывается из работы внутренних консервативных и неконсервативных сил,

:

После подстановки получим, что

Для замкнутой системы
0. Если система к тому же консервативна, то есть в ней действуют только внутренние консервативные силы, то и
=0. В этом случае уравнение (6.24) принимает вид
, а это означает, что

Уравнение (6.2) есть математическая запись закона сохранения механической энергии, который гласит: полная механическая энергия замкнутой консервативной системы постоянна, то есть не изменяется со временем.

Условие
0 выполняется, если в системе действуют и неконсервативные силы, но их работа равна нулю, как, например, при наличии сил трения покоя. В этом случае для замкнутой системы закон сохранения механической энергии также применим.

Отметим, что при
отдельные слагаемые механической энергии: кинетическая и потенциальная энергия, - не обязаны оставаться постоянными. Они могут изменяться, что сопровождается совершением работы консервативными внутренними силами, но изменения потенциальной и кинетической энергии
и
равны по модулю и противоположны по знаку. Например, за счет совершения внутренними консервативными силами работы над частицами системы ее кинетическая энергия возрастет, но при этом на равную величину уменьшится ее потенциальная энергия.

Если же в системе совершают работу неконсервативные силы, то это обязательно сопровождается взаимными превращениями механической и иных видов энергии. Так, совершение работы неконсервативными силами трения скольжения или сопротивления среды обязательно сопровождается выделением тепла, то есть переходом части механической энергии во внутреннюю (тепловую) энергию. Неконсервативные силы, работа которых приводит к переходу механической энергии в тепловую, называются диссипативными, а сам процесс перехода механической энергии в тепловую - диссипацией механической энергии.

Есть множество неконсервативных сил, работа которых, напротив, ведет к увеличению механической энергии системы за счет иных видов энергии. Например, в результате химических реакций происходит взрыв снаряда; при этом осколки получают прибавку механической (кинетической) энергии за счет работы неконсервативной силы давления расширяющихся газов - продуктов взрыва. В этом случае посредством совершения работы неконсервативных сил произошел переход химической энергии в механическую. Схема взаимных превращений энергии при совершении работы консервативными и неконсервативными силами представлена на рисунке 6.3.

Таким образом, работа есть количественная мера превращения одних видов энергии в другие. Работа консервативных сил равна количеству потенциальной энергии, перешедшей в кинетическую или наоборот (общая механическая энергия при этом не изменяется), работа неконсервативных сил равна количеству механической энергии, перешедшей в другие виды энергии или наоборот.

Рисунок 6.3 - Схема превращений энергии.

Всеобщий закон сохранения энергии фактически есть закон неуничтожимости движения в природе, а закон сохранения механической энергии - закон неуничтожимости механического движения при определенных условиях. Изменение же механической энергии при невыполнении этих условий не означает уничтожения движения или его появления ниоткуда, а свидетельствует о превращении одних форм движения и взаимодействия материи в другие.

Обратим внимание на отличие обозначений бесконечно малых величин. Например, dx обозначает бесконечно малое приращение координаты,
- скорости,dE – энергии, а бесконечно малую работу обозначают
. Это отличие имеет глубокий смысл. Координаты и скорость частицы, ее энергия и многие другие физические величины являются функциями состояния частицы (системы частиц), то есть определяются текущим состоянием частицы (системы частиц) и не зависят от того, какими были предшествующие состояния, и от того, каким способом частица (система) пришла в текущее состояние. Изменение такой величины можно представить как разность значений этой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое изменение такой величины (функции состояния) называется полным дифференциалом и для величиныX обозначается dX .

Такие же величины, как работа или количество теплоты, характеризуют не состояние системы, а способ, которым был реализован переход из одного состояния системы в другое. Например, говорить о наличии работы у системы частиц в каком-то заданном состоянии бессмысленно, но можно говорить о работе, совершенной силами, действующими на систему, при ее переходе из одного состояния в другое. Таким образом, не имеет смысла говорить и о разности значений такой величины в конечном и начальном состояниях. Бесконечно малое количество величины Y , не являющейся функцией состояния, обозначается
.

Отличительным признаком функций состояния является то, что их изменения в процессах, в которых система, выйдя из исходного состояния, в него же и возвращается, равны нулю. Механическое состояние системы частиц задается их координатами и скоростями. Поэтому, если в результате некоторого процесса механическая система возвращается в исходное состояние, то координаты и скорости всех частиц системы принимают первоначальные значения. Механическая энергия, как величина, зависящая только от координат и скоростей частиц, также примет исходное значение, то есть не изменится. В то же время работа, совершенная силами, действующими на частицы, будет отлична от нуля, причем ее значение может быть разным в зависимости от вида траекторий, описанных частицами системы.

Лекция 3. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса

Гл.2-3, §9-11

План лекции

Работа и мощность

Закон сохранения импульса.

Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии. Закон сохранения энергии.

Работа и мощность

Когда под действием некоторой силы тело совершает перемещение, то действие силы характеризуется величиной, которая называется механической работой.

Механическая работа - мера действия силы, в результате которого тела совершают перемещение.

Работа постоянной силы. Если тело движется прямолинейно под действием постоянной силы , составляющей некоторый угол с направлением перемещения (рис.1), работа равна произведению этой силы на перемещение точки приложения силы и на косинус угла между векторами и; или работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

Работа переменной силы. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число малых участков так, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую в любой точке данного участка силу - постоянной.

Элементарная работа (т.е. работа на элементарном участке ) равна , а вся работа переменной силы на всем путиS находится интегрированием: .

В качестве примера работы переменной силы рассмотрим работу, совершаемую при деформации (растяжении) пружины, подчиняющейся закону Гука.

Если начальная деформация x 1 =0, то .

При сжатии пружины совершается такая же работа.

Графическое изображение работы (рис.3).

На графиках работа численно равна площади заштрихованных фигур.

Для характеристики быстроты совершения работы вводят понятие мощности.

Мощность постоянной силы численно равна работе, совершаемой этой силой за единицу времени.

1 Вт- это мощность силы, которая за 1 с совершает 1 Дж работы.

В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени совершается различная работа) вводится понятие мгновенной мощности:

где
скорость точки приложения силы.

Т.о. мощность равна скалярному произведению силы на скоростьточки её приложения.

Т.к.

2. Закон сохранения импульса.

Механической системой называется совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать, как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствие с этим силы, действующие на тела системы, подразделяют на внутренние и внешние.

Внутренними называются силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой

Внешними называются силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе.

Замкнутой (или изолированной) называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: энергии, импульса, момента импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из 3-х тел, импульсы которых
и на которые действуют внешние силы(рис. 4).Согласно 3 закону Ньютона, внутренние силы попарно равны и противоположно направлены:

Внутренние силы:

Запишем основное уравнение динамики для каждого из этих тел и сложим почленно эти уравнения

Для N тел:

.

Сумма импульсов тел, составляющих механическую систему, называется импульсом системы:

Т.о., производная по времени импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему,

Для замкнутой системы
.

Закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Из этого закона следует неизбежность отдачи при стрельбе из любого орудия. Пуля или снаряд в момент выстрела получают импульс, направленный в одну сторону, а винтовка или орудие получают импульс, направленный противоположно. Для уменьшения этого эффекта применяют специальные противооткатные устройства, в которых кинетическая энергия орудия превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию противооткатного устройства.

Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов (подводных лодок) при помощи гребных колес и винтов, и водометных судовых двигателей (насос всасывает забортную воду и отбрасывает ее за корму). При этом некоторое количество воды отбрасывается назад, унося с собой определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед. Этот же закон лежит в основе реактивного движения.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. При таком ударе механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, т.е. закон сохранения энергии не выполняется, выполняется только закон сохранения импульса.

,

Теория абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов используется в теоретической механике для расчета напряжений и деформаций, вызванных в телах ударными силами. При решении многих задач удара часто опираются на результаты разнообразных стендовых испытаний, анализируя и обобщая их. Теория удара широко используется при расчетах взрывных процессов; применяется в физике элементарных частиц при расчетах столкновений ядер, при захвате частиц ядрами и в других процессах.

Большой вклад в теорию удара внёс российский академик Я.Б.Зельдович, который, разрабатывая в 30-х годах физические основы баллистики ракет, решил сложную задачу удара тела, летевшего с большой скоростью по поверхности среды.

3.Энергия. Потенциальная и кинетическая энергия. Закон сохранения энергии.

Все введенные ранее величины характеризовали только механическое движение. Однако форм движения материи много, постоянно происходит переход от одной формы движения к другой. Необходимо ввести физическую величину, характеризующую движение материи во всех формах её существования, с помощью которой можно было бы количественно сравнивать различные формы движения материи.

Энергия - мера движения материи во всех её формах. Основное свойство всех видов энергии - взаимопревращаемость. Запас энергии, которой обладает тело, определяется той максимальной работой, которую тело может совершать, израсходовав свою энергию полностью. Энергия численно равна максимальной работе, которую тело может совершить, и измеряется в тех же единицах, что и работа. При переходе энергии из одного вида в другой нужно подсчитать энергию тела или системы до и после перехода и взять их разность. Эту разность принято называть работой:

.

Т. о., физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу, называется энергией.

Механическая энергия тела может быть обусловлена либо движением тела с некоторой скоростью, либо нахождением тела в потенциальном поле сил.

Кинетическая энергия.

Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется кинетической. Работа, совершенная над телом, равна приращению его кинетической энергии.

Найдем эту работу для случая, когда равнодействующая всех приложенных к телу сил равна .

Работа, совершенная телом за счет кинетической энергии, равна убыли этой энергии.

Потенциальная энергия.

Если в каждой точке пространства на тело воздействуют другие тела с силой, величина которой может быть различна в разных точках, говорят, что тело находится в поле сил или силовом поле.

Если линии действия всех этих сил проходит через одну точку - силовой центр поля, - а величина силы зависит только от расстояния до этого центра, то такие силы называются центральными, а поле таких сил - центральным (гравитационное, электрическое поле точечного заряда).

Поле постоянных во времени сил называется стационарным.

Поле, в котором линии действия сил - параллельные прямые, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга - однородное.

Все силы в механике подразделяются на консервативные и неконсервативные (или диссипативные).

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве, называются консервативными.

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Все центральные силы являются консервативными. Силы упругой деформации также являются консервативными силами. Если в поле действуют только консервативные силы, поле называется потенциальными (гравитационные поля).

Силы, работа которых зависит от формы пути, называются неконсервативными (силы трения).

Потенциальной энергией называют часть общей механической энергии системы, которая определяется только взаимным расположением тел, составляющих систему, и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - это энергия, которой обладают тела или части тела вследствие их взаимного расположения.

Понятие потенциальной энергии вводится следующим образом. Если тело находится в потенциальном поле сил (например, в гравитационном поле Земли), каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию (называемую потенциальной энергией) так, чтобы работа А 12 , совершаемая над телом силами поля при его перемещении из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2, была равна убыли этой функции на пути 12:

,

где
и
значения потенциальной энергии системы в положениях 1 и 2.

Записанное соотношение позволяет определить значение потенциальной энергии с точностью до некоторой неизвестной аддитивной постоянной. Однако, это обстоятельство не имеет никакого значения, т.к. во все соотношения входит только разность потенциальных энергий, соответствующих двум положениям тела. В каждой конкретной задаче уславливаются считать потенциальную энергию какого-то определенного положения тела равной нулю, а энергию других положений брать по отношению к нулевому уровню. Конкретный вид функциизависит от характера силового поля и выбора нулевого уровня. Поскольку нулевой уровень выбирается произвольно,может иметь отрицательные значения. Например, если принять за нуль потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то в поле сил тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия тела массойm, поднятого на высоту h над поверхностью, равна
(рис. 5).

где
- перемещение тела под действием силы тяжести;

при
,
,

Потенциальная энергия этого же тела, лежащего на дне ямы глубиной H, равна

.

В рассмотренном примере речь шла о потенциальной энергии системы Земля-тело.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но отдельно взятое тело. В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.

Выразим потенциальную энергию упруго деформированного тела.

- потенциальная энергия упругой деформации, если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела равна нулю;

где k - коэффициент упругости, x - деформация тела.

В общем случае тело одновременно может обладать и кинетической и потенциальной энергиями. Сумма этих энергий называется полной механической энергией тела:

Полная механическая энергия системы равна сумме её кинетической и потенциальной энергий. Полная энергия системы равна сумме всех видов энергии, которыми обладает система.

Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит Ломоносову, изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка дана немецким врачом Майером и естествоиспытателем Гельмгольцем.

Закон сохранения механической энергии : в поле только консервативных сил полная механическая энергия остается постоянной в изолированной системе тел. Наличие диссипативных сил (сил трения) приводит к диссипации (рассеянию) энергии, т.е. превращению её в другие виды энергии и нарушению закона сохранения механической энергии.

Закон сохранения и превращения полной энергии : полная энергия изолированной системы есть величина постоянная.

Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, а лишь превращается из одного вида в другой в эквивалентных количествах. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии: неуничтожимость материи и её движения.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел , взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел (см 1.19):

Следовательно:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E k + E p называют полной механической энергией . Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Пример применения закона сохранения энергии - нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами и направленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется . Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы - закон сохранения и превращения энергии .

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) - машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии (рис. 1.20.2).

История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.