Тайна оптимизма

    Тайна оптимизма

    Случалось ли вам, дорогой читатель, задуматься над вопросом о том, что такое форма? Ну, если мы наливаем воду в кувшин, то понятно, что вода и принимает навязанную ей кувшином форму. А если вылить воду на пол, она растекается бесформенной лужей. Так что же такое форма? Я имею в виду не рукотворную, искусственно заданную человеком форму книги, стола, кувшина. Здесь все определяется замыслом автора. А каков был замысел природы, когда она создавала фирму листьев клена, дуба, березы? Почему крошечные кленовые листочки, такие нежно-зеленые весной, остаются теми же кленовыми листьями и золотой осенью, только изменившись в размерах, возмужав, но не потеряв своей изысканной формы? А такие впечатляющие явления природы, как смерчи? Те из вас, кто видел грандиозное зрелище зарождения смерча в форме живой, движущейся воронки, не забудет этою никогда! А почему горы имеют форму конуса, а цунами — форму волны? И вообще, что такое волна, в гребень которой мы так любим нырнуть вниз головой, обязательно ухватив чарующий момент подъема волны к своему максимуму, к пику?

    Все эти вопросы очень сложны, и сейчас только нащупываются пути к их разрешению.

    Долгие годы в науке в качестве “правильных”, обычных, самых удобных моделей выбирались модели линейные. Для таких моделей разработаны удобные методы расчета и про них все можно сказать наперед, спрогнозировать. Хотя давно известно, что в природе подавляющее большинство явлений и систем нелинейны, при исследовании так или иначе пытались их “выпрямить”. Нелинейные задачи считались экзотикой, излишним усложнением. В синергетике же нелинейность становится нормой, а не экзотикой. Синергетика указывает на то, что лишь нелинейные системы способны к самоорганизации, к “строительству” сложных структур. Ведь что такое нелинейность? Непропорциональность. То есть ситуация, когда выход системы непропорционален ее входу. Но ведь это замечательно! Можно дать мало, а получить много! Способному ученику не надо разжевывать задачу, надо дать метод, а он и задачу решит, и метод свой, более простой, предложит. И вообще, линейные “гладкие” процессы неинтересны. Про них все известно заранее — сколько дашь и сколько получишь. Можно ли предположить образование смерча в линейной среде? Конечно, нет. Смерч — эго выброс на ровной, “линейной” поверхности воды, это “особая точка”, нелинейность. Это – типичный нелинейный самоорганизующийся процесс, когда на гладкой поверхности воды из малых флуктуаций — ряби на ее поверхности — при особых условиях, за счет нелинейности и положительной (усиливающей) обратной связи в считанные минуты (вдруг) возникает локальная структура в форме движущейся воронки.

    Итак, в синергетике нелинейность приобретает статус философского понятия. Что отсюда следует?

    Идеология прогноза

    Во-первых, невозможность прогноза в его теперешнем варианте, то есть прогноза от достигнутого, “по ходу”. Ведь сейчас прогноз основан на идее экстраполяции: анализируется ситуация и прогнозируется по времени и пространству. Но если система нестационарна, нелинейна, то есть каждое ее данное состояние зависит от текущего момента и места не так, как от предыдущего, то прогноз в традиционном понимании невозможен. И что же, вообще невозможно прогнозировать? Возможно, и синергетика показывает как. Прогнозирование возможно по конечному состоянию, по аттракторам, к которым стремится выйти система с течением времени. Всем известна замечательная практика, когда вокруг недавно заселенного дома жители протаптывают наиболее удобные тропинки и позже их асфальтируют, превращая в настоящие дороги. Эти тропинки выражают внутреннюю потребность жителей дома, они свойственны этому дому. Попробуйте навязать его жильцам другие дороги. Ничего не получится. Ситуация проста, а выводы многозначительны: нельзя навязать сложной системе несвойственный ей аттрактор, цель, будущее насильно. Можно изменить траекторию движения системы за счет изменения навязывания начальных условий, но лишь временно. Пока не победят внутренние, свойственные данной системе тенденции ее развития, которые и приведут ее на собственный аттрактор. Вот в чем штука! Следовательно, множество причин приводит к одному и тому же следствию, а точнее, следствие, цель конечный результат определяет поведение частных решений от разных начальных условий, разных причин. Философия здесь такова: будущее определяет настоящее! Каково?!

    А на самом деле ничего сверхъестественного, ведь, начиная любое дело, ми мысленно видим его результат (аттрактор), ради которого все и задумывается. Без этого будущего нет и настоящего. И жизнь любого человека определяется и зависит от жизни его ребенка не в меньшей, а в гораздо большей степени, чем от жизни своих родителей.

    Вглядитесь в картину Сальвадора Дали, который по моему глубокому убеждению был философом синергетики от рождения, “Гранат и ангел”. Здесь изображены все этапы развития зрелого граната: от зернышка к веточке, цветку и плоду. Холистическая картина. Симптоматично то, что в христианстве гранат является символом бессмертия души и воскресения.

    Сказав о современном состоянии вычислительной техники, нельзя не сказать о том, что именно в связи с развитием теории вычислительного эксперименту и возникла синергетика. Ведь идеи, изложенные в ней, не новы: математический аппарат синергетика в значительной степени позаимствовала у русского математика А.М.Ляпунова, трудившегося еще в прошлом веке. И синергетика долгое время находилась, следуя ее же терминологии, на “метастабильной” стадии развития, медленно накапливала впечатления о жизни и разрабатывала свой аппарат. Но с бурным развитием вычислительной техники все изменилось — возникла возможность решения таких сложных нелинейных задач, о которых раньше и не мечталось.

    Захватите зонт!

    Еще об одном барьере в науке, который позволила осознать синергетика. Оказалось, что мы в принципе не можем дать “долгосрочный прогноз” поведения огромного количества же сравнительно простых механических, физических, химических и экологических систем. Формально эти системы являются детерминированными, но предсказывать их поведение можно лишь в течение ограниченного времени. Оказывается, что аттракторы в этих системах имеют вид непериодических, хаотических процессов. Они называются странными и выглядят действительно странными и очень красивыми. Они похожи на клубок траекторий. Для таких систем сколь угодно малая неточность в определении начального состояния системы нарастает со временем, и с некоторого времени мы теряем возможность что-либо предсказывать. Впервые этот факт обнаружил в 1963 году американский метеоролог Эдвард Лоренц, который просчитал на компьютере систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, в правые части которых входят только линейные квадратичные члены. Свое открытие Лоренц прокомментировал так: “Если наши результаты, касающиеся неустойчивости непериодического течения, применить к атмосфере, которая явно непериодична, то получается, что предсказать погоду на достаточно отдаленное будущее невозможно никаким медом, если только теперешнее состояние не известно точно”. А мы сетуем, что не захватили зонт, понадеявшись на прогноз!

    Но вернемся к вопросу о тайне формы. Какое отношение нелинейность имеет к форме? Оказывается, самое непосредственное! Ведь что такое форма (имеется в виду форма свободного, самоорганизующегося процесса — шаровой молнии, смерча, волны)? Это определенный вид структуры. А что такое структура? Это локализованный процесс. Мы подошли к очень важному понятию в синергетике — к понятию локализации. Локализация — причина выделения участка среды, на котором развивается процесс. Замечательно то, что локализация характерна лишь для нелинейной среды. А именно: для нелинейной диссипативной, диффузионной среды, где происходит растекание, размывание процесса по поверхности, но нелинейно. Парадокс? Как же так? Процесс размывается, диффундирует и в то же время локализуется. Именно так. Привыкайте к тому, что синергетика оперирует парадоксальными понятиями и дает совершенно новый взгляд на известные вещи. Именно за счет того, что в одних местах “размыв”, диффузия более интенсивна, чем в других, в этих “других” и происходит локализация процесса, его “склеивание”, рост. В известных у “нелинейщиков” уравнениях Тьюринга диффузия проявляется в членах со второй производной по координате. Так вот, если коэффициент диффузии при этих членах постоянен, то локализации не происходит. Она возникает лишь тогда, когда коэффициенты диффузии (а ими могут быть коэффициенты теплопроводности, вязкости и так далее в зависимости от смысла задачи) становятся нелинейными функциями координаты. В этом случае возникают специфические, локальные формы.

    По всей видимости, термин “форма” сегодня можно определить как локальный квант пространства.

    Тепло держит форму

    Решение этой задачи привело к поразительным результатам, главный из которых — вывод о том, что возможна локализация тепла. Тепло может (при определенных условиях) самоорганизовываться в локальную, дискретную, самоподдерживающуюся форму. И причиной этой локализации является именно наличие хаоса на микроуровне. Поистине, без хаоса нет порядка! За этим беспрецедентным теоретическим выводом следует и вполне практический: вычислены наилучшие (оптимальные) начальные условия, при которых указанная локальная структура образуется за минимальное время. И опять поразительный, неожиданный вывод: для выбора начальных условий важным является не запас топлива, концентрация вещества или обеспечение должной начальной температуры, а место задания начальных условий, топология начального воздействия. Вот такой полезной оказалась синергетика!

    Итак, для будущего порядка необходима определенная доля хаоса, хаос есть механизм выхода на будущее. Обсуждая проблему соотношения хаоса и порядка, нельзя не коснуться знаменитого теперь антропного принципа. Интересна история этого вопроса. Долгое время космологи занимались построением модели Вселенной. В основе таких моделей лежит система дифференциальных уравнений Эйнштейна. Пространственно – временные характеристики Вселенной и закон, по которому она эволюционирует, есть результат особой интерпретации решений этой системы уравнений. А решения существенно зависят от начальных условий, отражающих фундаментальные законы природы, которые необходимо заложить в модель. Спрашивается, каким образом задавать начальные условия? Общий ответ на этот вопрос состоит в том, чтобы решить обратную задачу: подобрать начальные условия так, чтобы Вселенная в нашей модели стала похожа на тот мир, который мы наблюдаем. Ключевое слово в предыдущей фразе “мы”. Это крупное методологическое открытие было сделано Б. Картером. Вместо того чтобы предъявлять к модели требование быть способной воспроизводить ту панораму мира, которую мы наблюдаем, он потребовал, чтобы модель содержала в себе возможность самого нашего существования. Формулировка этого требования, названного Картером антропным принципом, такова: “То, что мы ожидаем наблюдать, ограничено условиями, необходимыми для нашего существования как наблюдателей”. А эти условия могут быть сформулированы более детально.
    Например, наше существование несовместимо с такими начальными условиями, при которых во Вселенной не могут появиться органические молекулы. Какие это условия? Известно, что одним из необходимых элементов любой органической молекулы является водород. Атом водорода состоит из ядра (протона) и электрона. Этот атом может существовать неограниченно долго, если его не подвергать внешним воздействиям. Однако при столкновении электрона с протоном с большой энергией эти частицы вступают друг с другом в реакцию, образуя нейтрон и нейтрино. Почему же этого не происходит в атоме? Чтобы понять, в чем тут дело, необходимо знать массы электрона, протона и нейтрона. Оказывается, что масса нейтрона превышает массу протона на величину Dm=2,3•1030кг=1,3Мэв, а масса электрона меньше этой величины. Поэтому у протона и электрона, даже вместе взятых, не хватает массы для обращения нейтрона и реакция не идет в атоме водорода, он остается стабильным. При столкновении же электрона с протоном с большой энергией этот недостаток массы покрывается энергией взаимодействующих частиц.

    Если бы масса электрона превышала разность масс нейтрона и протона, то атом водорода был бы нестабильным. Таким образом, достаточно увеличить массу электрона в 2,5 раза, чтобы атом стал нестабильным. Более того, поскольку, как известно, масса протона в 1836 раз больше массы электрона, то, для того чтобы атом стал нестабильным, достаточно, чтобы масса протона была больше существующего значения или, наоборот, масса нейтрона — меньше на 0,0014 их величины, то есть на 0,14%.

    Следовательно, малые изменения масс частиц ведут не к малым изменениям свойств атома и, соответственно, мира, а к принципиальным качественным изменениям. На простом примере мы убедились в том, что очень малые изменения масс элементарных частиц привели бы к нестабильности атома водорода, а значит, к невозможности существования органического мира и в конечном итоге к невозможности существования жизни на Земле.

    Мы рассмотрели возможные вариации одной из нескольких фундаментальных физических констант — ФФК. К числу других важнейших ФФК относятся следующие четыре: элементарный заряд, скорость света в вакууме, постоянная Планка, гравитационная постоянная. Различные соображении, относящиеся к вариации численных значений перечисленных констант, показывают что при малых вариациях этих значений мир претерпевает скачкообразные качественные изменения, становится невозможной структурная организация во Вселенной и, соответственно, появление жизни.

    Согласно современным представлениям рождение Вселенной из сингулярности в результате Большого Взрыва обусловлено квантовой флуктуацией вакуума. Такие квантовые флуктуации происходят постоянно, при этом рождаются различные вселенные с самыми разнообразными свойствами и параметрами, в том числе с различными значениями ФФК. Но, как вы убедились, в нашей Веселенной существует очень “тонкая настройка” мировых констант, такая, что только при ней может появиться жизнь. В других вселенных жизнь родится не может. Известный советский космолог А.Л.Зельманов, характеризуя этот подход, сказал: “Мы являемся свидетелями данных событий потому, что другие события протекают без свидетелей”.

    Стало быть, уже в момент Большого Взрыва в квантовых флуктуациях вакуума были заложены такие мировые константы, которые однозначно привели к появлению человека на Земле, то есть уже в тот момент было определено будущее в виде нас с вами, дорогой читатель, как аттракторов эволюции Вселенной.
    Опять полное игнорирование причинно – следственных связей. Оказывается, миллиарды лет “все” развивалось, “имея в виду” человека.

    И второй вывод, следующий из анропного принципа: ФФК, связанные с микроуровнем, сказываются на развитии процессов на макроуровне. И вообще, в синергетических, эволюционирующих системах описание ведется по нескольким уровням — от микро- до макроуровня.

    И еще о форме

    Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

    Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать”…

    Так размышлял и 1984 году основоположник теории фракталов Бенуа Мандельброт, ныне профессор прикладной математики Гарвардского университета. Слово “фрактал” сейчас не менее популярно, чем слово “синергетика”. По если в синергетике мы с вами уже свои люди, то фрактал остается пока для нас тайной. Что это такое и как эти два термина связаны между собой? Для того чтобы представить себе типичный фрактал, рассмотрите внимательно крону дерева зимой без листьев, или вспомните, как выглядит молния на черном грозовом небо, или рассмотрите прекрасную картину голландского художника Эсхера “Три мира”. Все эти картины представляют собой бесконечную пирамиду едино образно ветвящихся ступеней. Возникает целая иерархия геометрических масштабов изображения “почти одинаковых” структур. Самым характерным свойством фракталов является их самоподобие, масштабная инвариантность. Выражаясь научным языком фрактал — это пространственно- иерархическая структура со все меньшим (при удалении от некоторою центра), но убывающим строго закономерно, единообразно, заполнением объема.

    Взгляните на замечательный примеры фракталов, опубликованные в книге Х.О.Пайтгена и П.Х.Рихтера “Красота фракталов” (‘Мир”, 1993). Сразу бросается в глаза завораживающая красота этих творений ЭВМ. Да, да, эти дивные картины строил компьютер, причем решая довольно простые нелинейные уравнения, описывающие динамические системы с обратными связями. Читателю, владеющему компьютером, предоставляется возможность самому по строить нечто подобное, решив, например, методом итераций такое уравнение: xn=x2n+c.

    Это уравнение описывает процесс Мандельброта. Единственное условие: константа с должна быть комплексной. А для нематематика скажем, что метод итерации определяет положение и скорость точки на экране дисплея в данный момент времени через ее положение и скорость в предыдущий момент времени, то есть работает обратная связь.

    Если вы теперь под лупой разглядите границу полученной фигуры, то увидите, что эта граница сильно изломана и напоминает береговую линию. Если попытаться измерить ее длину, то окажется, что длина становится тем большей, чем более мелкий масштаб мы выберем. Характерной особенностью фрактальных линий является зависимость их длины от “длины линейки”. Еще мы отметим для себя, что, если взглянуть на любой из поворотов этой линии, то можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в разных местах и имеет разные размеры. И еще возникает странный вопрос: полученная граица – линия или поверхность? Раз граница – значит, линия, но очень уж похожа на поверхность. Так вот, такая фрактальная линия, которая при развитии процесса заполняет “почти сплошь”, но все же “не совсем” некоторую поверхность, имеет дробную размерность. На математическом языке ее так называемая размерность Хаусдорфа – Безиковича больше привычно топологической размерности линии, равной 1, и меньше размерности поверхности – 2. Крайне непривычно!
    Итак, фракталы — фигуры, описываемые дробной размерностью. И именно такими фигурами являются формы облаков и горных хребтов такова форма электрического разряда (фигура Лихтенберга) и картина отложения цикла при электролизе; такова структура речных систем и береговая линия моря и еще многие и многие явления современного мира, которые нам очень хорошо знакомы, но до самого последнего времени им не находилось места в нашем научном представлении.
    Какие еще тайны заключены во фрактальных формах и как это все связано с синергетикой?

    Во-первых, фракталы – самоорганизующиеся фигуры. Для их построения в моделируемом нелинейном уравнении задается начальное условие, дальше оно методом итераций начинает развиваться, создавая структуру. Типично синергегический процесс! Вглядитесь в фигуру Мандельброта, вы без труда отыщите центры — аттракторы которые ведут борьбу за влияние на плоскости: любая начальная точка в течение процесса либо приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. Может случиться что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению.

    Дорогой читатель, вы, наверное, уже утомились от перечисления чудес современной науки. Но я не могу отказать себе в последнем удовольствии – спрогнозировать появление в скором будущем еще одного научного чуда — “фрактальной математики”, которая перевернет все наши современные математические представления. Такова замечательная реальность, в которой посчастливилось нам с вами жить!

    К сожалению, за рамками статьи остались такие интереснейшие проблемы, как новый подход к вероятностному описанию событий, как понимание интуиции в синергетике, понимание психологии человека и еще многое другое. Но об этом в следующий раз.

    Автор будет считать свою задачу выполненной, если читатель заинтересуется проблемами и философией синергетики, которой сегодня увлечены лучшие мировые умы — от Калифорнийского университета в Сан-Диего до Московского института прикладной математики им. М.В.Келдыша.