Глава 8

ЕЛЕКТРОСТАТИЧНА ЕНЕРГИЯ

§1.Електростатична енергия на зарядите. Хомогенна топка

§ 2. Кондензаторна енергия. Сили, действащи върху заредени проводници

§3. Електростатична енергия на йонен кристал

§4. Електростатична енергия на ядрото

§5.Енергия в електростатично поле

§ 6. Енергия на точков заряд

повторете:гл. 4 (бр. 1) „Енергоспестяване”; гл. 13 и 14 (брой 1) „Работа и потенциална енергия”

§ 1. Електростатична енергия на зарядите. Хомогенна топка

Едно от най-интересните и полезни открития в механиката е законът за запазване на енергията. Познавайки формулите за кинетичната и потенциалната енергия на механична система, ние сме в състояние да открием връзката между състоянията на системата в две различни моментивреме, без да навлизаме в подробности какво се случва между тези моменти. Сега искаме да определим енергията на електростатичните системи. В електричеството запазването на енергия ще се окаже също толкова полезно при откриването на много интересни факти.

Законът, според който енергията се променя по време на електростатично взаимодействие, е много прост; всъщност вече сме го обсъждали. Нека има такси р 1 и р 2 , разделени с празнина r 12. Тази система има известна енергия, защото беше необходима известна работа, за да се съберат зарядите. Изчислихме извършената работа, когато два заряда се приближат един към друг от голямо разстояние; то е равно

От принципа на суперпозицията знаем, че ако има много заряди, тогава общата сила, действаща върху някой от зарядите, е равна на сумата от силите, действащи от страна на всички останали заряди. От това следва, че общата енергия на система от няколко заряда е сумата от членовете, изразяващи взаимодействието на всяка двойка заряди поотделно. Ако р азИ р й - - някои два от зарядите и разстоянието между тях r ij(фиг. 8.1),

Фиг. 8.1. Електростатичната енергия на система от частици е сумата от електростатичните енергии на всяка двойка.

тогава енергията на тази конкретна двойка е равна

Пълна електростатична енергия Uе сумата от енергиите на всички възможни двойки заряди:

Ако разпределението е дадено от плътността на заряда r, тогава сумата в (8.3) трябва, разбира се, да бъде заменена с интеграл.

Тук ще говорим за енергията от две гледни точки. първо - приложениеконцепции за енергийни към електростатични проблеми; второ - различни начини оценкиенергийни стойности. Понякога е по-лесно да се изчисли извършената работа в даден случай, отколкото да се оцени стойността на сумата в (8.3) или стойността на съответния интеграл. За проба изчисляваме енергията, необходима за сглобяване на еднакво заредена топка от заряди. Енергията тук не е нищо повече от работата, която се изразходва за събиране на заряди от безкрайността.

Представете си, че изграждаме топка чрез наслояване на сферични слоеве с безкрайно малка дебелина последователно един върху друг. На всеки етап от процеса събираме малко количество електричество и го поставяме в тънък слой от r до r+dr.Продължаваме този процес, докато достигнем зададения радиус А(фиг. 8.2). Ако Q r-- е зарядът на топката в момента, когато топката е доведена до радиус r, тогава работата, необходима за доставяне на заряда на топката dQ,равно на

Фиг. 8.2. Енергията на равномерно заредена топка може да се изчисли, като си представим, че тя е формована чрез последователно наслояване на сферични слоеве един върху друг.

Ако плътността на заряда вътре в топката е r, тогава зарядът Q rравни

Уравнение (8.4) става

Общата енергия, необходима за натрупване на пълна топка от заряди, е равна на интеграла върху dUот r=0 до r=a, т.е.

и ако искаме да изразим резултата по отношение на общия заряд Qтопка, тогава

Енергията е пропорционална на квадрата на общия заряд и обратно пропорционална на радиуса. Можете да представите (8.7) по следния начин: средната стойност (1/r ij) за всички двойки точки вътре в топката е равна на 6/5 a.

§ 2. Кондензаторна енергия. Сили, действащи върху заредени проводници

Нека сега разгледаме енергията, необходима за зареждане на кондензатора. Ако таксата Q бешеотстранен от една плоча на кондензатора и прехвърлен на друг, тогава между плочите възниква потенциална разлика, равна на

Къде С -капацитет на кондензатора. Колко работа е необходима за зареждане на кондензатора? Правейки точно същото нещо, което направихме с топката, представете си, че кондензаторът вече е зареден чрез прехвърляне на заряд от една плоча към друга на малки порции dQ.Необходима работа за прехвърляне на такса dQ,равно

Вземане Vот (8.8), пишем

Или интегриране от Q=0до окончателно зареждане Q,получаваме

Тази енергия може да бъде записана и като

Спомняйки си, че капацитетът на проводяща сфера (по отношение на безкрайността) е равен на

веднага получаваме от уравнение (8.9) енергията на заредената сфера

Този израз, разбира се, се отнася и за енергията на финото сферичен слойс пълно зареждане Q;получава се 5/6 енергия равномерно зареденитопка [уравнение (8.7)].

Нека да видим как се прилага концепцията за електростатична енергия. Нека разгледаме два въпроса. Каква е силата, действаща между плочите на кондензатора? Какъв момент на въртене (въртящ момент) изпитва зареден проводник около определена ос в присъствието на друг проводник с противоположен заряд? На такива въпроси е лесно да се отговори с помощта на нашия израз (8.9) за електростатичната енергия на кондензатор и принципа на виртуалната работа (вижте брой 1, глава 4, 13 и 14).

Нека приложим този метод, за да определим силата, действаща между двете плочи на плоския кондензатор. Ако си представим, че празнината между плочите се е разширила с малко Dz, тогава механичната работа, извършена отвън, за да се раздалечат плочите, ще бъде равна на

Къде Ф-сила, действаща между плочите. Тази работа трябва да бъде равно на промянатаелектростатична енергия на кондензатора, освен ако зарядът на кондензатора не се е променил.

Съгласно уравнение (8.9), енергията на кондензатора първоначално е равна на

Промяната в енергията (ако не позволим промяна в големината на заряда) тогава е равна на

Приравнявайки (8.12) и (8.13), получаваме

което може да се напише и като

Ясно е, че тази сила тук възниква от привличането на зарядите върху плочите; виждаме обаче, че няма какво да се притесняваме как са разпределени там; единственото нещо, от което се нуждаем, е да вземем предвид капацитета СЪС.

Лесно е да се види как тази идея да се обобщи към проводници със свободна форма и други компоненти на силата. Нека заместим в уравнение (8.14) Екомпонента, който ни интересува, а Dz - малко преместване в съответната посока. Или ако имаме електрод, монтиран на някаква ос, и искаме да знаем въртящия момент t, тогава ще запишем виртуалната работа във формата

където Dq е малко ъглово завъртане. Разбира се, сега D(1/C) трябва да е промяната 1/C,съответстваща на въртенето на Dq.

Фиг. 8.3. Какъв е въртящият момент, действащ върху променливия кондензатор?

По този начин можем да определим въртящия момент, действащ върху движещите се пластини на променливия кондензатор, показан на фиг. 8.3.

Нека се върнем към специалния случай на кондензатор с паралелна плоча; можем да вземем формулата за капацитет, получена в гл. 6:

Къде а-площ на всяко покритие. Ако интервалът се увеличи с Dz, тогава

От (8.14) тогава следва, че силата на привличане между двете плочи е равна на

Нека разгледаме по-отблизо уравнението (8.17) и да видим дали можем да кажем как възниква тази сила. Ако напишем заряда на една от плочите във формата

тогава (8.17) може да се пренапише, както следва:

Или тъй като полето между плочите е равно

Веднага може да се предположи, че силата, действаща върху една от плочите, ще бъде равна на заряда Qот тази плоча, умножено по полето, действащо върху заряда. Но това, което е изненадващо, е факторът 1/2. Въпросът е в това д 0 - това не е полето който действа върхутакси. Ако си представим, че зарядът на повърхността на плочата заема някаква тънък слой(фиг. 8.4), тогава полето ще се промени от нула на вътрешната граница на слоя до д 0 в пространството извън плочите. Средното поле, действащо върху повърхностните заряди, е равно на д 0 /2. Ето защо в (8.18) има фактор 1/2.

Трябва да отбележите, че при изчисляването на виртуалната работа ние приехме, че зарядът на кондензатора е постоянен, че кондензаторът не е електрически свързан с други обекти и че общият заряд не може да се промени.

Фиг. 8.4. Полето на повърхността на проводника се променя от нула до E 0 =s/e 0, когато повърхностният слой на заряда е пресечен. 1 - проводима плоча; 2 - повърхностен заряден слой.

Сега нека приемем, че по време на виртуални движения кондензаторът се поддържа при постоянна потенциална разлика. Тогава ще трябва да вземем

и вместо (8.15) ще имаме

което води до сила, равна по големина на тази, получена в уравнение (8.15) (тъй като V = Q/C),но с обратен знак!

Разбира се, силата, действаща между плочите на кондензатора, не променя знака си, когато изключим кондензатора от източника на електричество. Освен това знаем, че две плочи с противоположни електрически заряди трябва да се привличат една друга. Принципът на виртуалната работа във втория случай беше приложен неправилно; ние не взехме предвид виртуалната работа, произведена от източника, зареждащ кондензатора. Това означава, че за да се запази потенциалът на постоянна стойност V,когато капацитетът се промени, електрическият източник трябва да захранва кондензатора с VDC заряд. Но този заряд се прилага при потенциал V, така че работата е свършена електрическа система, който поддържа заряда постоянен, е равен на V 2 DC. Механична работа.ФДз плюстова електрическа работа V 2 DC заедно водят до промяна в общата енергия на кондензатора с 1/2 V 2 DC. Следователно на механична работа, както и преди, е необходимо Ег z=- 1 / 2 V 2 DC.

§ 3. Електростатична енергия на йонен кристал

Нека сега разгледаме приложението на концепцията за електростатична енергия в атомната физика. Не можем лесно да измерим силите, действащи между атомите, но често се интересуваме от разликата в енергиите на две подредби на атоми (например енергията на химичните промени). Тъй като атомните сили са основно електрически сили, тогава химическата енергия в основната си част е просто електростатична енергия.

Помислете например за електростатичната енергия на йонна решетка. Йонен кристал, като NaCl, е съставен от положителни и отрицателни йони, които могат да се считат за твърди сфери. Те са електрически привлечени, докато не се докоснат; тогава се включва отблъскващата сила, която бързо се увеличава, ако се опитаме да ги сближим.

За първоначално приближение нека си представим колекция от твърди сфери, представляващи атоми в солен кристал. Структурата на такава решетка се определя с помощта на рентгенова дифракция. Тази решетка е кубична – нещо като триизмерна шахматна дъска. Напречното му сечение е показано на фиг. 8.5. Пропастта между йоните е 2,81 E (или 2,81·10 -8 cm).

Ако представата ни за системата е правилна, трябва да можем да я проверим, като попитаме следващ въпрос: Колко енергия ще е необходима за разпръскването на тези йони, т.е. за пълното разделяне на кристала на йони? Тази енергия трябва да бъде равна на топлината на изпаряване на солта плюс енергията, необходима за дисоциация на молекулите на йони. Общата енергия на разделяне на NaCl в йони, както следва от експеримента, е 7,92 евна молекула.

Фиг. 8.5. Напречно сечение на солен кристал в мащаба на няколко атома.

В две перпендикулярнидо равнината на модела на напречното сечение ще има същото шахматно подреждане на йони Na Икл (виж брой 1, фиг. 1.7).

Използване на коефициента на преобразуване

и числото на Авогадро (броят на молекулите в грам молекула)

енергията на изпарение може да бъде представена във формата

Любимата единица енергия, използвана от физикохимиците, е килокалория, равна на 4190 j;така че 1 евна молекула - това е същото като 23 kcal/mol.Следователно един химик би казал, че енергията на дисоциация на NaCl е

Можем ли да получим тази химическа енергия теоретично, като изчислим колко работа ще е необходима, за да изкормим един кристал? Според нашата теория тя е равна на сумата от потенциалните енергии на всички двойки йони. Най-лесният начин да получите представа за тази енергия е да изберете един йон и да изчислите неговата потенциална енергия спрямо всички останали йони. Това ще даде удвоениенергия на йон, защото енергията принадлежи двойкитакси. Ако имаме нужда от енергията, свързана с един определен йон, тогава трябва да вземем половината от сумата. Но това, от което наистина се нуждаем, е енергия на молекула,съдържащ два йона, така че сумата, която изчисляваме, директно ще ни даде енергията на молекула.

Енергията на йон спрямо най-близкия му съсед е -e 2 /a, където e 2 =q 2 д/4pe 0 и А- празнината между центровете на йоните. (Разглеждаме едновалентни йони.) Тази енергия е -5,12 ev;вече можем да видим, че отговорът е от правилния порядък. Но все още трябва да преброим безкрайна поредица от членове.

Нека започнем, като съберем енергиите на всички йони, разположени в права линия. Като се има предвид йонът, маркиран на фиг. 8.5 със символа Na, нашият подчертан йон, първо разглеждаме онези йони, които лежат на същата хоризонтална линия като него. Има два хлорни йона, които са най-близо до него с отрицателни заряди, всеки на разстояние I от Na. След това има два положителни йона на разстояния 2a и т.н. Означавайки тази сума от енергии като U 1 , нека пишем

Серията се сближава бавно, така че е трудно да се оцени числено,

но е известно, че е равно на ln2. означава,

Сега нека преминем към най-близката линия, съседна на върха. Най-близкият йон е отрицателен и е на разстояние А.Тогава има две положителни на разстояния Ts2a. Следващата двойка е на разстояние Ts5a, следващата е Ts10a и т.н. За цялата линия се получава ред

Такива линии четири:отгоре, отдолу, отпред и отзад. След това има четири линии, които са най-близки по диагонал, и така нататък, и така нататък.

Ако търпеливо направите изчисленията за всички редове и след това ги съберете всичките, ще видите, че резултатът е следният:

Това число е малко освен това, което е получено в (8.20) за първия ред. Като се има предвид това д 2 /a=- 5,12 ev,ще получим

Нашият отговор е приблизително 10% по-голям от експериментално наблюдаваната енергия. Това показва, че идеята ни, че цялата решетка се държи заедно от електрически сили на Кулон, е фундаментално правилна. За първи път получихме специфично свойство на макроскопичната материя от познанията си по атомна физика. С времето ще постигнем много повече. Областта на науката, която се опитва да разбере поведението на големи маси материя от гледна точка на законите на атомното поведение, се нарича физика на твърдото тяло.

Но какво да кажем за грешката в нашите изчисления? Защо не са напълно верни? Не взехме предвид отблъскването между йони на близки разстояния. Това не са напълно твърди сфери, така че когато се приближат, те се сплескват малко. Но не са много меки и се сплескват съвсем малко. Все пак, известна енергия се изразходва за тази деформация и когато йоните се разлетят, тази енергия се освобождава. Енергията, която всъщност е необходима за отделяне на всички йони, е малко по-малко от това, които изчислихме; отблъскването помага за преодоляване на електростатичното привличане.

Възможно ли е по някакъв начин да се оцени делът на това отблъскване? Да, ако знаем закона за отблъскващата сила. Все още не сме в състояние да анализираме детайлите на механизма на отблъскване, но можем да добием известна представа за неговите характеристики от макроскопични измервания. Измерване свиваемосткристал като цяло, може да се получи количествена представа за закона за отблъскване между йони, а оттам и за неговия принос към енергията. По този начин беше открито, че този принос трябва да бъде 1/9,4 от приноса на електростатичното привличане и естествено да има обратен знак. Ако извадим този принос от чисто електростатичната енергия, получаваме числото 7,99 за енергията на дисоциация на молекула ев.Това е много по-близо до наблюдавания резултат от 7,92 ev,но все още не е в перфектно съгласие. Има още нещо, което не взехме предвид: не направихме никакви предположения кинетична енергиякристални вибрации. Ако коригираме този ефект, веднага ще възникне много добро съответствие с експерименталната стойност. Това означава, че нашите идеи са правилни: основният принос към енергията на кристал като NaCl е електростатичният.

§ 4. Електростатична енергия на ядрото

Нека сега се обърнем към друг пример за електростатична енергия в атомната физика - електростатичната енергия на атомното ядро. Преди да разгледаме този въпрос, трябва да разгледаме някои свойства на онези фундаментални сили (наречени ядрени сили), които държат заедно протоните и неутроните в ядрото. Отначало, след откриването на ядрата - и протоните с неутроните, които ги изграждат - те се надяваха, че законът за силната, неелектрическа част от силата, действаща например между един протон и друг, ще има някои прости форма, подобна, да речем, на закона за обратните квадрати в електричеството. Ако беше възможно да се определи този закон на силите и в допълнение силите, действащи между протон и неутрон и между неутрон и неутрон, тогава би било възможно да се опише теоретично цялото поведение на тези частици в ядрата. Затова започна голяма програма за изучаване на разсейването на протоните с надеждата да се намери законът за силите, действащи между тях; но след тридесет години усилия не се появи нищо просто. Натрупано е значително количество знания за силите, действащи между протони и протони, но е открито, че тези сили са толкова сложни, колкото можете да си представите.

Под „колкото е възможно по-сложно“ имаме предвид, че силите зависят от всички величини, от които биха могли да зависят.

Първо, силата не е проста функция на разстоянието между протоните. На големи разстояния има привличане, на по-малки има отблъскване.

Фиг. 8.6. Силата на взаимодействие между два протона зависи от всеки възможен параметър.

Зависимостта от разстояние е някаква сложна функция, която все още не е много добре позната. Второ, силата зависи от ориентацията на спина на протона. Протоните имат въртене и два взаимодействащи протона могат да се въртят в една и съща или в противоположни посоки. И силата, когато спиновете са успоредни, е различна от това, което се случва, когато спиновете са антипаралелни (фиг. 8.6, АИ б).Разликата е голяма; не може да се пренебрегне.

Трето, силата се променя забележимо в зависимост от паралеленили няма празнина между протоните при техните спинове (фиг. 8.6, c и d), или те перпендикулярен(фиг. 8.6, АИ б).

Четвърто, силата, както и при магнетизма, зависи (и дори много по-силно) от скоростта на протоните. И тази скоростна зависимост на силата в никакъв случай не е релативистичен ефект; тя е голяма дори когато скоростта е много по-малка от скоростта на светлината. Освен това тази част от силата зависи, освен от големината на скоростта, и от други неща. Да речем, когато един протон се движи близо до друг протон, силата се променя в зависимост от това дали орбиталното движение съвпада по посока с въртенето на въртенето (фиг. 8.6, г),или тези две посоки са противоположни (фиг. 8.6, д).Това е частта от силата, която се нарича "въртене-орбита".

Не по-малко сложен характеримат силите на взаимодействие на протон с неутрон и неутрон с неутрон. До ден днешен не знаем механизма, който определя тези сили, не знаем никакви прост начинразбирай ги.

Но в едно важно отношение ядрените сили все още са по-лесно,какви биха могли да бъдат. Ядренасилите, действащи между два неутрона, са същите като силите, действащи между протон и неутрон, и силите, действащи между два протона! Ако в някаква система, в която има ядра, заменим неутрона с протон (и обратно), тогава ядрени взаимодействияняма да се промени! „Фундаменталната причина“ за това равенство не ни е известна, но е проявление важен принцип, което може да се разшири до законите на взаимодействие на други силно взаимодействащи частици, като n-мезони и „странни“ частици.

Този факт е идеално илюстриран от подреждането на енергийните нива в подобни ядра.

Фиг. 8.7. Енергийни нива на ядра Б 11 и С 11 (енергия в MeV). Основно състояние C 11 1,982 MeV по-високо от същото състояние B 11 .

Помислете за ядро ​​като B 11 (бор-единадесет), състоящо се от пет протона и шест неутрона. В сърцевината тези единадесет частици взаимодействат една с друга, изпълнявайки някакъв вид сложен танц. Но има комбинация от всички възможни взаимодействия, която има възможно най-ниската енергия; това е нормалното състояние на ядрото и се нарича основенАко ядрото бъде нарушено (да речем, като го ударим с високоенергиен протон или някаква друга частица), тогава то може да премине в произволен брой други конфигурации, т.нар. възбудени състояния,всеки от които ще има своя характерна енергия, която е по-висока от енергията на основното състояние. В изследванията на ядрената физика, като тези, проведени с генератор на Van de Graaff, енергиите и другите свойства на тези възбудени състояния се определят експериментално. Енергиите на петнадесетте най-ниски известни възбудени състояния на B 11 са показани в едномерната диаграма в лявата половина на фиг. 8.7. Хоризонталната линия по-долу представлява основното състояние. Първото възбудено състояние има енергия 2,14 Мевпо-висока от основната, следващата е 4.46 Мевпо-висока от основната и т.н. Изследователите се опитват да намерят обяснение за тази доста объркваща картина на енергийните нива; Досега обаче няма пълна обща теория за такива нива на ядрена енергия.

Ако в B 11 един от неутроните се замени с протон, се получава ядрото на въглеродния изотоп C 11. Енергиите на шестнадесетте най-ниски възбудени състояния на ядрото C 11 също бяха измерени; те са показани на фиг. 8.7 вдясно. (Нивата, за които е въпросната експериментална информация, са обозначени с тирета.)

Разглеждайки фиг. 8.7 забелязваме поразително сходство между моделите на енергийните нива на двете ядра. Първите възбудени състояния са разположени приблизително на 2 Мевнад главния. След това има широка празнина с ширина 2,3 Маев,отделяне на второто възбудено състояние от първото, след това малък скок от 0,5 Мевдо трето ниво. След това отново има голям скок от четвъртото до петото ниво, но между петото и шестото има малка разлика от 0,1 Мев.И т.н. При около десетото ниво съответствието изглежда изчезва, но все още може да бъде открито, ако обозначим нивата с други характеристики, да речем техния ъглов импулс и начина, по който губят излишната си енергия.

Впечатляващото сходство между енергийните нива на ядрата B 11 и C 11 в никакъв случай не е просто съвпадение. Зад него се крие някакъв физически закон. Всъщност това показва, че дори при трудни ядрени условия замяната на неутрон с протон ще промени малко. Това може да означава само, че силите неутрон-неутрон и протон-протон трябва да са почти еднакви. Само тогава бихме очаквали ядрени конфигурации от пет протона и шест неутрона да съответстват на комбинацията пет неутрона-шест протона.

Обърнете внимание, че свойствата на тези ядра не ни казват нищо за неутронно-протонните сили; броят на комбинациите неутрон-протон в двете ядра е еднакъв. Но ако сравним две други ядра, като C 14 с неговите шест протона и осем неутрона и N 14, в което и двете имат седем части, ще идентифицираме енергийни нивасъщото съответствие. Може да се заключи, че п-п-, п-н-И r-n-силите съвпадат една с друга във всички детайли. В законите на ядрените сили се появи неочакван принцип. Въпреки че силите, действащи между всяка двойка ядрени частици, са много сложни, силите на взаимодействие за всяка от трите възможни двойки са еднакви.

Има обаче някои малки разлики. Няма точно съответствие между нивата; в допълнение, основното състояние на C 11 има абсолютна енергия (маса), която е 1,982 Мевнад основното състояние B 11. Всички други нива също са по-високи в абсолютна енергия със същото число. Така че силите не са точно равни. Но това вече го знаем много добре пълен,величината на силите не е точно същата; действат между два протона електрическисили, тъй като всеки от тях е положително зареден, но такива между неутроните няма. Може би разликата между B 11 и C 11 се обяснява с факта, че в тези два случая електрическите взаимодействия на протоните са различни? Или може би оставащата минимална разлика в нивата е причинена от електрически ефекти? Тъй като ядрените сили са толкова силни в сравнение с електрическите, тогава електрическите ефекти могат само леко да нарушат енергийните нива.

За да проверим тази идея или още по-добре, за да разберем до какви последствия ще доведе тя, първо разглеждаме разликата в енергиите на основните състояния на двете ядра. За да направим модела много прост, нека приемем, че ядрата са топки с радиус r (който трябва да се определи), съдържащи Z протони. Ако считаме, че ядрото е топка с равномерно разпределен заряд, тогава можем да очакваме, че електростатичната енергия [от уравнение (8.7)] ще бъде равна на

Къде р д - елементарен заряд на протон. Поради факта, че Z е равно на пет за B 11 и шест за C 11, електростатичните енергии ще се различават.

Но с такъв малък брой протони уравнението (8.22) не е напълно правилно. Ако изчислим електрическата енергия на взаимодействие на всички двойки протони, разглеждани като точки, приблизително равномерно разпределени върху топката, ще видим, че стойността Z 2 в (8.22) ще трябва да бъде заменена с Z(Z- 1), така че енергията ще бъде равна

Ако радиусът на ядрото r е известен, можем да използваме израз (8.23), за да определим разликата в електростатичните енергии на ядрата B 11 и C 11. Но нека направим обратното: от наблюдаваната разлика в енергиите, ние изчисляваме радиуса, като приемаме, че цялата съществуваща разлика е електростатична по произход. Като цяло това не е съвсем вярно. Енергийна разлика 1.982 Мевдве основни състояния B 11 и C 11 включват енергии на покой, т.е. енергии tc 2 всички частици. Преминавайки от B 11 към C 11, заместваме неутрона с протон, чиято маса е малко по-малка. Така че част от енергийната разлика е разликата в масите на покой на неутрона и протона, която е 0,784 Мев.Следователно разликата, която трябва да се сравни с електростатичната енергия, е по-голяма от 1,982 Мев;то е равно

Замествайки тази енергия в (8.23), за радиус B 11 или C 11 получаваме

Това число има ли някакво значение? За да проверим това, нека го сравним с други определения на радиусите на тези ядра.

Например, можете да определите радиуса на ядрото по различен начин, като наблюдавате как то разпръсква бързи частици. По време на тези измервания се оказа, че плътноствеществото във всички ядра е приблизително еднакво, т.е. техните обеми са пропорционални на броя на частиците, които съдържат. Ако през Аобозначават броя на протоните и неутроните в ядрото (число, много тясно пропорционално на неговата маса), се оказва, че радиусът на ядрото е даден от

От тези измервания получаваме, че радиусът на ядрото B 11 (или C 1 1) трябва да бъде приблизително равен на

Сравнявайки това с израза (8.24), ще видим, че нашите предположения за електростатичния произход на разликата в енергиите на B 11 и C 11 не са толкова неправилни; несъответствието едва достига 15% (и това не е толкова лошо за първото изчисление според ядрената теория!).

Причината за несъответствието най-вероятно е следната. Според настоящото ни разбиране за ядрата, четно числоядрени частици (в случая на B 11 пет неутрона с пет протона) образува един вид черупка;когато друга частица се добави към тази черупка, вместо да бъде абсорбирана, тя започва да обикаля около черупката. Ако това е така, тогава за допълнителния протон трябва да вземете различна стойност на електростатичната енергия. Трябва да приемем, че излишната енергия на C 11 над B 11 е точно равна на

т.е. равна на енергията, необходима за друг протон да се появи извън обвивката. Това число е 5/6 от стойността, предвидена от уравнение (8.23), така че новата стойност на радиуса ще бъде равна на 5/6 от (8.24). Съвпада много по-добре с директни измервания.

Съгласието в числата води до два извода. Първо:законите на електричеството очевидно действат на такива малки разстояния като 10 -1 3 виж второ:убеждаваме се в едно забележително съвпадение - неелектрическата част от силите на взаимодействие между протон и протон, неутрон и неутрон и протон и неутрон е една и съща.

§ 5. Енергия в електростатично поле

Нека сега разгледаме други начини за изчисляване на електростатичната енергия. Всички те могат да бъдат получени от основната зависимост (8.3) чрез сумиране (по всички двойки) на взаимните енергии на всяка двойка заряди. Първо, искаме да напишем израз за енергията на разпределението на заряда. Както обикновено, ние приемаме, че всеки обемен елемент dVсъдържа заряден елемент п.д.в.Тогава уравнение (8.3) ще бъде написано, както следва:

Обърнете внимание на появата на фактора 1/2. Възникна поради факта, че в двойния интеграл над dV 1 и от dV 2 всяка двойка зарядни елементи беше преброена два пъти. (Няма удобна нотация за интеграла, в който всяка двойка се брои само веднъж.) След това отбележете, че интегралът върху dV 2 в (8.27) е просто потенциалът в точка (1), т.е.

така че (8.27) може да се запише като

И тъй като точка (2) отпадна, можем просто да напишем

Това уравнение може да се тълкува по следния начин. Потенциална енергия на заряда rdVравен на произведението на този заряд и потенциала в същата точка. Следователно цялата енергия е равна на интеграла от jrdV. Но освен това има коефициент 1/2. Все още е необходимо, защото енергиите се броят два пъти. Взаимната енергия на два заряда е равна на заряда на единия от тях върху потенциала на другия в тази точка. илизаряд на другия към потенциала на първия във втората точка. И така за двама точкови таксиможете да пишете

Моля, имайте предвид, че това може да се напише и така:

Интегралът в (8.28) съответства на добавянето на двата члена в скоби на израза (8.29). Ето защо е необходим множителят 1/2.

Друг интересен въпрос е: къде се намира електростатичната енергия? Вярно е, че човек може да попита в отговор: наистина ли има значение?

Има ли смисъл от подобен въпрос? Ако има двойка взаимодействащи заряди, тогава тяхната комбинация има известна енергия. Наистина ли е необходимо да поясняваме, че енергията е концентрирана върху този заряд, или върху онзи заряд, или върху двата едновременно, или между тях? Всички тези въпроси са безсмислени, защото знаем, че всъщност се запазва само общата, общата енергия. Идеята, че енергията е концентрирана някъде,не е наистина необходимо.

Е, нека все пак приемем, че фактът е, че енергията винаги е концентрирана в някои определено място(като топлинна енергия), наистина има смисъл.Тогава бихме могли да използваме нашия принцип за запазване на енергията разширяване,комбинирайки го с идеята, че ако енергията се промени в определен обем, тогава тази промяна може да бъде взета предвид чрез наблюдение на притока или изтичането на енергия от обема. Вие разбирате, че нашето първоначално твърдение за запазването на енергията все още ще бъде напълно вярно, ако някаква енергия изчезне на едно място и се появи някъде далеч на друго и нищо не се случва между тези места (нищо - това означава, че няма да се появят специални явления) . Следователно, сега можем да преминем към разширяване на нашите идеи за запазване на енергията. Нека наречем това разширение принцип местен(местно) енергоспестяване. Такъв принцип би декларирал, че енергията във всеки даден обем се променя само с количество, равно на притока (или загубата) на енергия в (или извън) обема. Наистина такова локално запазване на енергия е напълно възможно. Ако това е така, тогава ще имаме на наше разположение много по-подробен закон от обикновено твърдение за запазването на общата енергия. И, както се оказва, в природата енергията наистина се съхранява локално, на всяко място поотделно,и формули могат да бъдат написани, за да покажат къде е концентрирана енергията и как тече от място на място.

Има също физическиима причина да изискваме да можем да посочим точно къде се намира енергията. Според теорията на гравитацията всяка маса е източник на гравитационно привличане. И според закона E=ts 2 ние също знаем, че масата и енергията са доста еквивалентни една на друга. Следователно всяка енергия е източник на гравитационна сила. И ако не можехме да знаем къде е енергията, не бихме могли да знаем къде е масата. Не можем да кажем къде се намират източниците на гравитационното поле. И теорията за гравитацията би станала непълна.

Разбира се, ако се ограничим до електростатиката, тогава няма как да разберем къде е концентрирана енергията. Но пълната система от уравнения на електродинамиката на Максуел ще ни предостави несравнимо по-пълна информация (въпреки че и тогава, строго погледнато, отговорът няма да е напълно сигурен). По-късно ще разгледаме този въпрос по-подробно. А сега представяме само резултата относно частния случай на електростатиката

Фиг. 8.8. Всеки обемен елемент dV=dxdydz в електрическо поле съдържа енергия(e 0 /2) д 2 dV.

Енергията се съдържа в пространството, където има електрическо поле. Това очевидно е съвсем разумно, защото е известно, че при ускоряване се излъчват заряди електрически полета. И когато светлината или радиовълните пътуват от точка до точка, те носят своята енергия със себе си. Но тези вълни нямат заряди. Така че бих искал да поставя енергията там, където има електромагнитно поле, а не там, където има заряди, които създават това поле. Така ние описваме енергията не на езика на зарядите, а на езика на полетата, които те създават. Наистина можем да покажем, че уравнението (8.28) численосъвпада с

Тази формула може да се тълкува, като се каже, че на мястото в пространството, където присъства електрическото поле, е концентрирана енергия; плътност ee (количеството енергия на единица обем) е равно на

Тази идея е илюстрирана на фиг. 8.8.

За да покажем, че уравнение (8.30) е в съответствие с нашите закони на електростатиката, започваме с въвеждането в уравнение (8.28) на връзката между r и j, получена в глава. 6:

След като написахме израза за интегранд по компоненти, ние

ще видим това

И нашият енергиен интеграл тогава е равен на

Използвайки теоремата на Гаус, вторият интеграл може да се трансформира в повърхностен интеграл:

Ще изчислим този интеграл за случая, когато повърхността се простира до безкрайност (така че интегралът по обема става интеграл по цялото пространство) и всички заряди са разположени на крайно разстояние един от друг. Най-лесният начин да направите това е да вземете повърхността на сфера с огромен радиус с център в началото. Знаем, че далеч не всички заряди j се променят като 1/R, а Сj като 1/R 2 . (И дори по-бързо, ако общият заряд е нула.) Повърхностната площ на голяма сфера се увеличава само като R 2, така че интегралът върху повърхността намалява, когато радиусът на сферата се увеличава като

(1/R)(1/R 2)/R 2 = (1/R).Така че, ако нашата интеграция покрива цялото пространство (R® Ґ), тогава повърхностният интеграл ще изчезне и ние ще намерим

Виждаме, че е възможно да се представи енергията на произволно разпределение на заряда като интеграл от плътността на енергията, концентрирана в полето.

§ 6. Енергия на точков заряд

Новата връзка (8.35) ни казва, че дори за отделен точков заряд рима някакъв вид електростатична енергия. Полето в този случай е дадено от израза

така че плътността на енергията на разстояние r от заряда е равна на

Като обемен елемент може да се приеме сферичен слой с дебелина д-р,площ, равна на 4pr 2. Общата енергия ще бъде

Горната граница r=Ґ не води до трудности. Но тъй като зарядът е точка, възнамеряваме да интегрираме чак до нула (r=0), а това означава безкрайност в интеграла. Уравнение (8.35) гласи, че полето на един точков заряд съдържа безкрайно количество енергия, въпреки че започнахме с идеята, че енергията е налична само междуточкови такси. В нашата първоначална форма за енергията на съвкупност от точкови заряди (8.3) не включихме никаква енергия за взаимодействието на заряда със самия себе си. Какво стана тогава? И фактът, че преминавайки в уравнение (8.27) към непрекъснато разпределение на зарядите, ние отчитаме взаимодействието на всеки безкрайно малъкзаряд с всички други безкрайно малки заряди. Същата сметка беше взета в уравнение (8.35), така че когато го приложим към окончателенточков заряд, ние включваме в интеграла енергията, която би била необходима за натрупване на този заряд от безкрайно малки части. И наистина, може би сте забелязали, че можем също да получим резултата, следващ от уравнение (8.36) от израз (8.11) за енергията на заредена топка, насочвайки нейния радиус към нула.

Принудени сме да стигнем до заключението, че идеята, че енергията е концентрирана в поле, не е в съответствие с предположението за съществуването на точкови заряди. Един от начините да се преодолее тази трудност е да се каже, че елементарните заряди (като електрон) всъщност изобщо не са точки, а малки разпределения на заряда. Но може да се каже и обратното: неправилността се корени в нашата теория за електричеството на много къси разстояния или в нашата идея за запазване на енергията на всяко място поотделно. Но всяка такава гледна точка все още среща трудности. И те никога досега не са били преодолени; съществуват и днес. Малко по-късно, когато се запознаем с някои допълнителни понятия, като пулса на електромагнитното поле, ще говорим по-подробно за тези основни трудности в нашето разбиране за природата

Това взаимодействие, въпреки привидната си простота, не може да се тълкува ясно и недвусмислено. Може да се опише по два начина: с помощта на закона на Кулон или с помощта на общото електростатично поле на зарядите. В първия случай зарядите могат да взаимодействат директно един с друг, тъй като интензивността на събитието зависи само от големината, знака на зарядите и разстоянието между тях; във втория допълнително участва посредник - тестов заряд и цялото околно пространство.

Двата метода са ясно различни един от друг, но крайният резултат е един и същ. Каква е причината за това явление? В учебната литература съответните обяснения обикновено се свеждат до твърдението, че зарядът и полето, което създава, са неразривно свързани. Следователно изборът на един или друг метод означава само избор на езика, на който се извършват разсъжденията и изчисленията, на езика на таксите или на езика на полето. Това твърдение не е очевидно и се обсъжда сравнително подробно в тази статия.

Друг неразрешен въпрос, вероятно произтичащ от предишния, е къде е локализирана потенциалната енергия на взаимодействие, в самите заряди или в пространството около тях. Общоприетата гледна точка: в електростатична системаневъзможно е да се определи локализацията на енергията. Тази гледна точка също е разгледана в тази статия.

Третият въпрос, повдигнат в статията, е ролята на физическия вакуум в електростатичното взаимодействие. Обикновено концепцията за вакуум се използва в атомната и ядрената физика при анализа на микрофеномени, но въз основа на процесите във физическия вакуум взаимодействието на зарядите се извършва и в макрокосмоса.

Редете физически понятияи формули, които изглеждат добре известни на автора, например законът на Кулон, силата на полето и потенциалът на точковия заряд, обемната енергийна плътност на полето, принципът на суперпозиция на полето, теоремата на Остроградски-Гаус и др. използвани в статията без обяснение. Въпреки това, ако е необходимо, можете да се обърнете към източниците или други учебници по физика.

Местоположението на зарядите и обозначенията на количествата са показани на фиг. 1.

ориз. 1.Местоположение на електрически заряди Q 1 и Q 2 и силата на статичното поле, което създават д = д 1 + д 2 на точка за наблюдение П(X, Y)

Разстояния Р 0 , Р 1 и Р 2 съответстват на интервалите между зарядите и от зарядите до точката на наблюдение; Q 1 , Q 2 > 0 се приема както във фигурата, така и в следващите аргументи и изчисления, освен ако не е посочено друго. Векторните количества са показани с удебелен шрифт. Поради ротационната симетрия на полето спрямо оста Xхарактеристики на взаимодействие в зависимост само от две координати XИ Y.

Енергия на взаимодействие Uзаряди според закона на Кулон се определя от работата по преместване на заряд Q 2 в зарядното поле Q 1 (или обратното) от безкрайно разстояние до разстояние Р 0 между тях. Във вакуум

U = Q 1 Q 2/4πε 0 Р 0 ,

(1)

където ε 0 = 0,885·10 –11 F/m – електрическа константа.

Както се вижда от формула (1), величината на зарядите Q 1 и Q 2 (както и техните собствени енергии, твърдо свързани с тях) в процесите на извършване на тази работа от външни сили (и взаимодействието на зарядите помежду си) остават постоянни. Стойност на променящата се енергия Uзависи само от разстоянието Р 0 между зарядите. Нито такси, нито тях известни свойстване зависят от Р 0 . Следователно енергията, донесена отвън, не може да бъде поставена в заряди. Мястото му е в пространството около зарядите. Ситуацията прилича на поведение материални точки, свързан механична пружина, чиято деформация от външни сили създава потенциалната енергия на "взаимодействие" на точките. При зарядите ролята на “пружина” играе силово поле, чиято природа най-често се интерпретира като набор от елементарни възбуждения на физическия вакуум.

Във варианта на взаимодействие по формула (1) е приемливо да се приеме, че получената връзка между зарядите е едно поле. Тъй като такова поле се формира изцяло от външна енергия, всеки отделен заряд може да взаимодейства с безброй други заряди без никакви ограничения. От друга страна, необходимото поле на взаимодействие във формула (1) не е изрично посочено. Въпросът какъв механизъм води до взаимодействието и къде е локализирана енергията на взаимодействието остава открит.

Когато се разглежда общото електростатично поле на зарядите (вторият метод за описание на взаимодействието, произтичащ от уравненията на Максуел), характерните величини за полето са интензитетът ди потенциал φ, обемни плътности на заряда ρ и енергия У(X, Y).

По-долу са представени чрез формули (2) и (3): разстояния Р 1 и Р 2 от таксите Q 1 и Q 2 до точката за наблюдение П(X, Y); напрежения д 1 и д 2, потенциали φ 1, φ 2 полета, създадени от всеки от зарядите в точката на наблюдение; обемна енергийна плътност на полето У(X, Y), както и стойности на пълно напрежение ди потенциал φ в същата точка П(X, Y). Ето израз за cosα, косинуса на ъгъла между векторите д 1 и д 2. Някои стойности са показани на фиг. 1.

Р 1 = (X 2 + Y 2) 1 / 2 , д 1 = Q 1/4πε 0 Р 1 2 , φ 1 = Q 1/4πε 0 Р 1 ; Р 2 = [(1 – X) 2 + Y 2 ] 1/2 , д 2 = Q 2/4πε 0 Р 2 2 , φ 2 = Q 2/4πε 0 Р 2 ; cosα = ( Р 1 2 + Р 2 2 – Р 0 2)/2Р 1 Р 2 , д = д 1 + д 2, φ = φ 1 + φ 2;	(2)
У(X,Y) = (ε 0 /2) д 2 = (ε 0 /2)( д 1 + д 2) 2 = (ε 0 /2)( д 1 2 + д 2 2 + 2д 1 д 2 cosα) = = (1/32π 2 ε 0)[( Q 1 /Р 1 2) 2 + (Q 2 /Р 2 2) 2 + Q 1 Q 2 (Р 1 2 + Р 2 2 – Р 0 2)/Р 1 3 Р 2 3 ].	(3)

Извеждане на формулата за У(X, Y) в самото общ случай, включително нееднородно поле, може да се намери например в произведенията. Тези доказателства се основават на прилагането на формулата на Остроградски–Гаус към векторното поле φ·gradφ, което свързва обемните и повърхностните интеграли върху цялото определено поле,

На големи разстояния от зарядите потенциалът на полето изчезва и ако начертаем тук гранична (затворена) повърхност, интегралът върху тази повърхност също ще изчезне. Така това, което остава, е обемният интеграл на дивергенцията на векторното поле. Приравнявайки го на нула и като вземем предвид това

където ρ е обемната плътност на заряда, получаваме вместо (4),

Отляво имаме обемния интеграл на израз (3), а отдясно имаме пълна енергияелектростатично поле на система от заряди. Следователно интегралът от лявата страна на (6) може да се разглежда и като обща енергия на системата. Всеки от интегрантите (6) представлява обемната плътност на енергията на полето, което доказва валидността на формула (3). Тъй като посочените плътности изразяват едно и също нещо, тогава по принцип те трябва да са еднакви. Но поради разделянето на понятията „заряд“ и „поле“ това не се случва. Избирайки лявата страна, ние изчисляваме енергията, разпределена в електростатичното поле, използвайки концепцията за силата на полето, избирайки дясната страна, – определяме работата, необходима за пресъздаване на същите полета около зарядите. И в двата случая говорим за енергията на полето и за поставянето на тази енергия в самото поле.

Когато се използва в равенство (4) вместо векторното поле φ·gradφ, полето д= –gradφ, взаимодействието на зарядите изпада от внимание,

Като вземем предвид (5), стигаме до теоремата на Гаус в интегрална форма,

∫С дdS = ∫V(1/ε 0)ρ dV.

(8)

Дясната страна на (8) (без (1/ε 0)) дава общия заряд в избрания обем, а лявата страна на (8) дава общия поток на силата на полето (5) през затворената повърхност, заобикаляща този обем . Когато размерът, формата на повърхността и конфигурацията на зарядите вътре в определения обем се променят, потокът, както и общият заряд, остават непроменени. Във формула (8) присъстват само присъщите полета на зарядите, само те са тясно свързани с зарядите и не зависят от взаимодействието на зарядите.

Нека се върнем към формула (6) и изчислим енергията на полето на системата, като използваме интеграла от дясната страна на (6). За точковите заряди плътността ρ не е нула само на тези места ((0, 0) ≡ 1 и ( Р 0 , 0) ≡ 2), където се намират зарядите. Нека означим φ 1 (1) и φ 2 (2); φ 2 (1) и φ 1 (2) – потенциали: собствен от Q 1 на място Q 1 и аналогично за Q 2 ; създаден заряд Q 2 на място Q 1 и създадени по такс Q 1 на място Q 2, съответно. Всички те са постоянни величини и могат да бъдат извадени от интегралния знак. Записване на ρ с помощта на делта функции (символна нотация),

Лесно е да се покаже (използвайки (2) и дясната страна на (10) и поставяйки Р 1 = Р 2 = Р 0), че сборът от третия и четвъртия член в (10) приема формата на закона на Кулон и е точно равен на U.

Членове У 1 и У 2 описват енергийните плътности на собствените полета на заряда, които са непроменени при никакви обстоятелства. Обемните интеграли от тях могат да бъдат сравнени с термини φ 1 (1) Q 1/2 и φ 2 (2) Q 2/2 във формула (10),

∫V У 1 dV= φ 1 (1) Q 1 /2, ∫V У 2 dV= φ 2 (2) Q 2 /2,

(14)

и изключете от двата израза, (3) и (10). Тази операция също така ни позволява частично да се отървем от проблемите, свързани с характеристиките на полето на малки разстояния от точковите заряди и с трудностите при отчитане на собствените полета на зарядите в теорията. По този начин взаимодействието на зарядите се определя само от термина У 3, в зависимост от мощностните характеристики на двата заряда едновременно. Аналог на обемния интеграл на У 3 „на езика на таксите“ е израз (11). Сравнявайки интеграла на У 3 с интеграл (11),

∫V У 3 dV = (1/2)∫V[φ 1 (2) Q 2 δ(2) + φ 2 (1) Q 1 δ(1)] dV,

(15)

може да се очаква, че изчисляването на интеграла от лявата страна на (15) също ще доведе до енергията U, но разпределението на обемната енергийна плътност в пространството (формула (13)), съвсем очевидно, няма да съвпада с това, представено в дясната страна на (15).

Нека разгледаме по-отблизо разпределението на енергията У 3 в космоса. Косинусът на ъгъла α, показан на фиг. 1, играе определена роля: cosα 900 (заема място в кръг, вписан между заряди с център в средата на сегмента Р 0) и cosα > 0 в останалото пространство. Следователно окръжността cosα = 0 (в тримерното пространство - сферична повърхност) е важна граница; тя разделя конструктивната интерференция от деструктивната интерференция. Пространството вътре в тази сфера ще се нарича централна зона на взаимодействие.

Задачата е опростена, без да се компрометира съдържанието, ако поставим

Нека означим интегранта от дясната страна на (17) със символа w 3 (представлява относителното разпределение на обемната енергийна плътност в пространството):

ще бъдат взети предвид в края на работата.

Заместванията (16) с образуването на относителни разпределения от тип (18) също са приложими за У 1 и У 2 (формули (12)); получаваме съответно w 1 и w 2:

w 1 = r 1 –4 = 1/(х 2 + г 2) 2 ; w 2 = r 2 –4 = 1/[(1 – х) 2 + г 2 ] 2 .

(20)

Нека намерим съотношението

w = (w 1 + w 2 + w 3)/(w 1 + w 2) = 1+ w 3 /(w 1 + w 2) = 1 + r 1 r 2 (r 1 2 + r 2 2 – 1)/(r 1 4 + r 2 4),

(21)

който представлява някаква повърхност. Разрезът на тази повърхност вътре и близо до централната зона на взаимодействие е показан на фиг. 2 в рамките на промяната хот –1 до 1 и гот –2 до 2.

ориз. 2.Отношение wобемна енергийна плътност в система от два взаимодействащи заряда със същото име към сумата от енергиите на невзаимодействащите заряди

Зарядите са разположени в точки с координати (0, 0) и (1, 0). Ако енергията w 3 липсваше, тогава разглежданата връзка имаше формата на равнина w= 1 (виж формула (21)).

Както се вижда от фиг. 2 и формули (21), т.е wе равно на нула в центъра на сегмента Р 0 (х = 0,5; г = 0); w= 1 върху окръжност, вписана между зарядите; w= 2, максимална постижима стойност при х, г→ ∞. Взаимодействието на зарядите значително допълва сумата от техните собствени енергии както с положителни, така и с отрицателни приноси; Когато зарядите се отблъскват, енергията на полето изглежда "напуска" от централната зона навън. обаче

|w 3 /(w 1 +w 2)| ≤ 1,

(22)

тоест енергийната плътност на взаимодействието на зарядите във всяка точка на полето никога не надвишава сумата от плътностите на техните собствени силови полета. Новата деформирана полева структура има повече енергия от недеформираната. Полето „търси“ да се освободи от излишната енергия и тук възникват силите на взаимодействие. Механизмът на образуване на деформирана „надстройка“ w 3 се определя изцяло от принципа на суперпозицията (векторно събиране на напрегнатостта на полето).

Нека разберем как се съотнасят сумарните енергии на взаимодействие вътре в централната зона и извън нея? Отговорът на това може да бъде даден чрез интегриране по формула (17), като се вземат предвид (16) и (18). Интегрално над гслед смяна

Значение аз(х) – потенциална енергия на единица дължина по протежение х, сумирани върху безкрайна равнина (с координата х), перпендикулярна на оста х. От друга страна, това е относителната сила на влияние върху заряда, осреднен в посочената равнина от полеви слой, дебелина dx. График аз(х) е показано на фиг. 3.

ориз. 3. Изображение аз(х) по формула (26)

Интеграл (25) се изчислява от нула до безкрайност. В този случай е необходимо да се разграничат три области според х:

1) област на отрицателни стойности (–∞ x 0, знак плюс отпред c 1/2);

2) площ между зарядите (0 ≤ х≤ 1, знак минус отпред с 1/2);

3) площ на оставащите положителни стойности (1 х ∞, знак плюс отпред c 1/2).

Знаците от дясната страна на (26) се използват по подобен начин.

Изчисленията по формула (25) дават следните резултати. В зони 1 или 3

От формули (3), (17), (25) следва, че в други случаи, каквито и да са величините и знаците на зарядите, потенциалната енергия в област 2 е равна на нула и във всяка се получава компенсация на положителни и отрицателни приноси. самолет х= конст. Този факт заслужава специално внимание, тъй като в регион 2 възникват значителни деформации на полето. По този начин се оказва, че цялата енергия на взаимодействието е концентрирана еднакво в области 1 и 3. Въздействието върху зарядите се осъществява не от пространството между зарядите, а от пространството отвън.

Интегриране на израз (25). хв диапазона от –∞ до +∞ води до резултата

Независимото интегриране (17) възпроизвежда (отново!) закона на Кулон за Uи потвърждава предположението (15). Интересна подробност: в израз (17) значимите за взаимодействието на зарядите величини ( рИ Р 0) се извеждат извън интегралния знак, образувайки необходимата енергия U, а самият интеграл в крайна сметка се оказва равен на единица при всякакви обстоятелства. Формули (25)...(30) демонстрират вероятностния характер на разпределението на енергията вътре в полето и обясняват причината за съвпадението на изчисленията на енергията на взаимодействие между двете по различни начиниспоменати във въведението. Така трябва да бъде, защото напрежението димат свойства на квантовомеханични амплитуди.

Когато се разглежда взаимодействието на различни заряди, стойността У 3 (виж формула (13)) става положителен вътре в централната зона и отрицателен извън нея. Потенциалната енергия придобива знак минус U.

функция У 3 се използва и при вариационната процедура (принципа на най-малкото действие) за електрическата компонента на електромагнитното поле (виж). В този случай У 3 се разглежда от самото начало като разпределение на вероятностите за взаимодействие в точките на пресичане на напрежението д 1 и д 2 в космоса. Резултатът от такава процедура за статично поле е един и същ както по форма (изчисляване на функцията на Лагранж с помощта на формули (25)...(30)), така и по съдържание (закон на Кулон).

Р. Файнман в своята нобелова лекция отбелязва: „...електродинамиката може да бъде конструирана... по различни начини, – въз основа на диференциалните уравнения на Максуел, (или) въз основа на различни принципи на най-малко действие със и без полета... Най-фундаменталните закони на физиката, след като вече са били открити, все още позволяват такова невероятно разнообразие от формулировки, при първо впечатление не еквивалентно, но все пак такова, че след определени математически манипулации винаги е възможно да се намери връзка между тях. Как може да се обясни това остава загадка. Изглежда, че простотата на природата по някакъв начин се отразява тук. Може би едно нещо е просто само когато може да бъде изчерпателно характеризирано по няколко различни начина, без все още да знаете, че всъщност говорите за едно и също нещо.

Нека се върнем към формула (4а) и се опитаме да изградим хипотеза на нейна основа, за да разберем механизма за поставяне на енергията на взаимодействие вътре в полето U. Ще приемем, че плътността ρ описва както зарядите, които първоначално създават полето, така и зарядите, образувани (индуцирани) от полето във физическия вакуум. Сега интеграндът (4a) може да бъде зададен равен на нула във всяка точка от полето,

(ε 0 д 2 – φρ)/2 = 0;

(31)

в този случай дислокацията ρ няма да е точкова, а законите ди φ, определени по формули (2) и потвърдени експериментално, не подлежат на преразглеждане. Съвпадението на „точковите“ изчисления с опита се среща и при неточкови, но сферично симетрични източници. Освен това приемаме, че общият индуциран заряд, състоящ се от равен брой положителни и отрицателни заряди, е нула.

От израз (31) на базата на известни стойности ди φ могат да се намерят някои свойства на един от моделите на физическия вакуум - “поляризираният” вакуум. Според този модел възбуждането на вакуума се състои „в тесния смисъл на думата, в раждането на виртуални двойки заредени частици-античастици (например двойки електрон-позитрон) от вакуума... Този ефект е подобен към поляризирането на диелектрична среда от въведен в нея заряд...”. От работата следва, че в тази среда може да се очаква появата на свързани заряди с обемна плътност ρ". При липса на заряди на трети страни в разглежданата част от диелектрика,

Тук χ е диелектричната чувствителност на (нехомогенната, но изотропна) среда.

Нека трансформираме втория член във формула (31), използвайки (2) и (9),

Първите две равенства в (35) могат да бъдат допълнени със съотношенията

може да се интерпретира като източник на поле с енергийна плътност У 3, образувани от външни сили. Поради факта, че силовото поле от ρ 12 "не напуска затворената повърхност (8), общият обемен заряд от тази плътност трябва да бъде нула. По-долу на фиг. 4а ( С) и фиг. 4 б ( Q) са представени изчислените стойности на ρ 12 ".

ориз. 4.Обемна плътност ρ 12 ": а) изчислена за заряди със същото име, като се използва формула (37) в рамките на (–0,5 x y

Зарядите са разположени в равнината ( х, г) в точки с координати (0, 0) и (1, 0). За да преминете към абсолютни стойности, стойностите на плътността на графиката трябва да се умножат по константа ( р/4π Р 0 3). Тук има несигурност в равнината, перпендикулярна на оста х, в средата между зарядите, където φ 1 + φ 2 = 0.

В централната зона и нейните околности плътността ρ 12 "приема както положителни, така и отрицателни стойности. Когато точката на наблюдение се движи в полето от зарядите към периферията, числителят (37) намалява много по-бързо от знаменателя. Следователно, вече близо до зарядите и по-нататък, на големи разстояния, ρ 12 " → 0. За различни заряди условието ∫ е очевидно изпълнено Vρ 12" dV= 0, тъй като интегрирането приключи хот –∞ до +∞ за всеки гдава нула. При такси със същото име подобна проверка е свързана с технически затруднения.

Нека сравним формули (32) и (37). Въпросният вакуум е неразривно свързан с този, който го е родил. електростатично поле, и затова се нарича електромагнитен (синоними: фотонен, електрон-позитрон). Диелектричната чувствителност χ на вакуума трябва да зависи от характеристиките на полето: няма поле, няма поляризация на вакуума, χ = 0. И по-нататък: „вакуумът е арена на физически процеси, причинени от вакуумни флуктуации.“ Следователно, с увеличаването на потенциала φ, флуктуациите на полето ще бъдат по-интензивни и податливостта на вакуума към поляризация ще се увеличи. Обобщавайки казаното, приемаме най-простият вариантзависимости χ = кφ, където к= const. и се върнете към формула (32). След заместване χ = кφ в (32) имаме,

Според работата, знаменателят във формула (38) е относителната диелектрична константа ε на средата, ε = 1 + χ = 1 + | кφ|. Знакът на модула е въведен, защото в изотропна среда стойността на χ не зависи от посоката на полето. Ако | кφ| >> 1, тогава единицата в знаменателя (38) може да бъде пренебрегната и плътността ρ 12 ", получена от формула (38), напълно съвпада с тази, изчислена от (37). Неравенство | кφ| >> 1 и следователно ε >> 1 логично се вписва в модела на “поляризиран” вакуум.

Преходът на диелектричната константа на вакуума от ε = 1 (обикновен вакуум) към ε >> 1 (физически вакуум) в резултат на взаимодействието на зарядите означава, че полето натрупва външна енергия чрез отслабване на връзката на виртуални частици и създаване на свързани заряди във вакуума.

Източници на информация:

1. Фейнман Р., Лейтън Р., Сандс М. Фейнман изнася лекции по физика. Т. 5. Електричество и магнетизъм. / пер. от английски – М: „Мир”, 1966.
2. Пърсел Е. Електричество и магнетизъм. Курс по физика в Бъркли. Т. 2. / Пер. от английски – М: „Наука“, 1975 г.
3. Савелиев И.В. Общ курс по физика. Т. 2. Електричество и магнетизъм. Вълни. Оптика. – М: „Наука“, 1978 г.
4. Детлаф А.А., Яворски Б.М. Курс по физика. – М: “Висше училище”, 1999.
5. Медведев Б.В. Началото на теоретичната физика. – М: „Наука“, 1977 г.
6. Матвеев A.N. Квантова механика и структура на атома. – М: “Висше училище”, 1985 г.
7. Фейнман Р. Теория на фундаменталните процеси. / пер. от английски – М: „Наука“, 1978 г.
8. Физически енциклопедичен речник. // Под. изд. Прохорова А.М. – М: „Съветска енциклопедия“, 1983 г.
9. Goldshtein L.D., Zernov N.V. Електромагнитни полета и вълни. – М: „Съветско радио“, 1956 г.
10. Фейнман Р., Лейтън Р., Сандс М. Фейнман изнася лекции по физика. Т. 6. Електродинамика. / пер. от английски – М: „Мир”, 1966.
11. Сивухин Д.В. Общ курсфизика. Т. 3. Електричество. – М: „Наука“, 1977 г.
12. Фейнман Р., Хибс А. Квантова механика и интеграли по пътя. / пер. от английски – М: „Мир”, 1968 г.
13. Файнман Р. Природата на физическите закони. Нобелова лекция: развитие на квантовата електродинамика в пространствено-времеви аспект. / пер. от английски – М: „Мир”, 1968 г.
14. Фейнман Р. QED – странна теория за светлината и материята. / пер. от английски – М: “Наука”, 1988.

Енергия на взаимодействие на електрически заряди

Силите на взаимодействие между електрическите заряди са консервативни, следователно системата от електрически заряди има потенциална енергия.

Нека са дадени два неподвижни точкови заряда q 1 и q 2, разположени на разстояние rедин от друг. Всеки заряд в полето на друг заряд има потенциална енергия

; , (4.1)

където j 1.2 и j 2.1 са съответно потенциалите, създадени от заряда q 2 в точката, където се намира зарядът q 1, и от заряда q 1 в точката, където се намира зарядът q 2.

, А . (4.3)

следователно

. (4.4)

За да влязат двата заряда симетрично в енергийното уравнение на системата, изразът (4.4) може да се запише във вида

. (4.5)

Чрез последователно добавяне на заряди q 3 , q 4 и т.н. към системата от заряди може да се провери, че в случай на заряди N потенциалната енергия на системата е

, (4.6)

където j i е потенциалът, създаден в точката, където q i се намира от всички заряди, с изключение на i -тия.

При непрекъснато разпределение на зарядите в елементарния обем dV има заряд dq = r×dV. За да определим енергията на взаимодействие на заряда dq, можем да приложим формула (4.6), преминавайки в нея от сумата към интеграла:

, (4.7)

където j е потенциалът в точка от обемния елемент dV.

Трябва да се отбележи, че има фундаментална разлика между формули (4.6) и (4.7). Формула (4.6) отчита само енергията на взаимодействие между точковите заряди, но не отчита енергията на взаимодействие на зарядните елементи на всеки от точковите заряди един с друг (собствената енергия на точковия заряд). Формула (4.7) отчита както енергията на взаимодействие между точковите заряди, така и собствената енергия на тези заряди. При изчисляване на енергията на взаимодействие на точковите заряди, тя се редуцира до интеграли върху обема V i на точковите заряди:

, (4.8)

където j i е потенциалът във всяка точка от обема на i-тия точков заряд;

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

където j i ¢ е потенциалът, създаден от други точкови заряди в същата точка;

j i с – потенциал, създаден от части на i-тия точков заряд в дадена точка.

Тъй като точковите заряди могат да бъдат представени като сферично симетрични, тогава

(4.10)

където W ¢ се определя по формула (4.6).

Стойността на собствената енергия на заряда зависи от законите на разпределение на заряда и от големината на зарядите. Например при равномерно сферично разпределение на зарядите с повърхностна плътност s

.

следователно

. (4.11)

От формула (4.11) става ясно, че при R®0 стойността на W е с ®¥. Това означава, че собствената енергия на точков заряд е равна на безкрайност. Това води до сериозни недостатъци на концепцията за "точков заряд".

По този начин формулата (4.6) може да се използва за анализ на взаимодействието на точкови заряди, тъй като не съдържа собствена енергия. Формула (4.7) за непрекъснато разпределение на заряда отчита цялата енергия на взаимодействие и следователно е по-обща.

При наличие на повърхностни заряди формата на формула (4.7) се променя донякъде. Интегрантът на тази формула е равен на и има значението на потенциалната енергия, която притежава заряден елемент dq, когато се намира в точка с потенциал j. Тази потенциална енергия не зависи от това дали dq е елемент с пространствен заряд или елемент с повърхностен заряд. Следователно, за повърхностното разпределение dq = s×dS. Следователно, за енергията на полето на повърхностните заряди

Потенциална енергия на взаимодействие на система от точкови заряди и обща електростатична енергия на система от заряди

Анимация

Описание

Потенциалната енергия на взаимодействие между два точкови заряда q 1 и q 2, разположени във вакуум на разстояние r 12 един от друг, може да се изчисли чрез:

(1)

Да разгледаме система, състояща се от N точкови заряда: q 1, q 2,..., q n.

Енергията на взаимодействие на такава система е равна на сумата от енергиите на взаимодействие на зарядите, взети по двойки:

. (2)

Във формула 2 сумирането се извършва върху индексите i и k (i № k). И двата индекса варират, независимо един от друг, от 0 до N. Членове, за които стойността на индекс i съвпада със стойността на индекс k, не се вземат предвид. Коефициентът 1/2 е зададен, защото при сумирането потенциалната енергия на всяка двойка заряди се взема предвид два пъти. Формула (2) може да бъде представена като:

, (3)

където j i е потенциалът в точката, където се намира i-тият заряд, създаден от всички останали заряди:

.

Енергията на взаимодействие на система от точкови заряди, изчислена по формула (3), може да бъде положителна или отрицателна. Например, той е отрицателен за два точкови заряда с противоположен знак.

Формула (3) не определя общата електростатична енергия на система от точкови заряди, а само тяхната взаимна потенциална енергия. Всеки заряд q i взет поотделно има електрическа енергия. Нарича се собствена енергия на заряда и представлява енергията на взаимното отблъскване на безкрайно малки части, на които той може мислено да се раздели. Тази енергия не се взема предвид във формула (3). Взема се предвид само работата, изразходвана за сближаване на зарядите q i, но не и за тяхното формиране.

Общата електростатична енергия на система от точкови заряди също взема предвид работата, необходима за образуване на заряди q i от безкрайно малки порции електричество, прехвърлено от безкрайността. Общата електростатична енергия на система от заряди винаги е положителна. Това е лесно да се покаже на примера на зареден проводник. Разглеждайки зареден проводник като система от точкови заряди и като вземем предвид същата потенциална стойност във всяка точка на проводника, от формула (3) получаваме:

Тази формула дава общата енергия на зареден проводник, която винаги е положителна (за q>0, j>0, следователно W>0, ако q<0 , то j <0 , но W>0 ).

Времеви характеристики

Време за започване (вход до -10 до 3);

Живот (log tc от -10 до 15);

Време на разграждане (log td от -10 до 3);

Време на оптимално развитие (log tk от -7 до 2).

Диаграма:

Технически изпълнения на ефекта

Техническо изпълнение на ефекта

За да се наблюдава енергията на взаимодействие на система от заряди, е достатъчно да се окачат две светлопроводими топки на струни на разстояние около 5 cm една от друга и да се заредят с гребен. Те ще се отклоняват, тоест ще увеличат потенциалната си енергия в полето на гравитацията, което се дължи на енергията на тяхното електростатично взаимодействие.

Прилагане на ефект

Ефектът е толкова фундаментален, че без преувеличение може да се счита, че се прилага за всяко електрическо и електронно оборудване, което използва устройства за съхранение на заряд, тоест кондензатори.

Литература

1. Савелиев И.В. Курс по обща физика - М.: Наука, 1988. - Т.2.

2. Сивухин Д.В. Общ курс по физика, М.: Наука, 1977. - Т.3. Електричество.- С.117-118.

Ключови думи

• електрически заряд
• точков заряд
• потенциал
• потенциална енергия на взаимодействие
• обща електрическа енергия

Раздели на природните науки: