Тясно свързано с понятието работа е друго фундаментално физическо понятие – понятието енергия. Тъй като механиката изучава, първо, движението на телата и второ, взаимодействието на телата едно с друго, обичайно е да се прави разлика между два вида механична енергия: кинетична енергия, причинени от движението на тялото, и потенциална енергия, причинени от взаимодействието на едно тяло с други тела.

Кинетична енергия механична система наречена енергияв зависимост от скоростта на движение на точките на тази система.

Израз за кинетичната енергия може да се намери чрез определяне на работата на резултантната сила, приложена към материална точка. Въз основа на (2.24) записваме формулата за елементарната работа на резултантната сила:

защото
, тогава dA = mυdυ. (2,25)

За да намерим работата, извършена от резултантната сила, когато скоростта на тялото се променя от υ 1 на υ 2, ние интегрираме израз (2.29):

(2.26)

Тъй като работата е мярка за пренос на енергия от едно тяло към друго, тогава

Въз основа на (2.30) пишем, че количеството има кинетична енергия

тяло:
откъдето вместо (1.44) получаваме

(2.27)

Теоремата, изразена с формула (2.30), обикновено се нарича теорема за кинетичната енергия . В съответствие с него работата на силите, действащи върху тяло (или система от тела), е равна на изменението на кинетичната енергия на това тяло (или система от тела).

От теоремата за кинетичната енергия следва физичен смисъл на кинетичната енергия : Кинетичната енергия на тялото е равна на работата, която то може да извърши в процеса на намаляване на скоростта си до нула.Колкото по-голям е „резервът“ от кинетична енергия на тялото, толкова повече работа може да извърши.

Кинетичната енергия на една система е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки, от които се състои тази система:

(2.28)

Ако работата на всички сили, действащи върху тялото, е положителна, тогава кинетичната енергия на тялото се увеличава, ако работата е отрицателна, тогава кинетичната енергия намалява.

Очевидно е, че елементарната работа на резултата от всички сили, приложени към тялото, ще бъде равна на елементарната промяна в кинетичната енергия на тялото:

dA = dE k (2,29)

В заключение отбелязваме, че кинетичната енергия, подобно на скоростта на движение, е относителна. Например, кинетичната енергия на пътник, седнал във влак, ще бъде различна, ако вземем предвид движението спрямо пътната настилка или спрямо вагона.

§2.7 Потенциална енергия

Вторият вид механична енергия е потенциална енергия – енергия, дължаща се на взаимодействието на телата.

Потенциалната енергия не характеризира никакво взаимодействие на телата, а само това, което се описва от сили, които не зависят от скоростта. Повечето сили (гравитация, еластичност, гравитационни сили и т.н.) са точно това; единственото изключение са силите на триене. Работата на разглежданите сили не зависи от формата на траекторията, а се определя само от нейното начално и крайно положение. Работата, извършена от такива сили върху затворена траектория, е нула.

Силите, чиято работа не зависи от формата на траекторията, а зависи само от началното и крайното положение на материалната точка (тялото), се наричат потенциални или консервативни сили .

Ако едно тяло взаимодейства със своята среда чрез потенциални сили, тогава може да се въведе понятието потенциална енергия, за да се характеризира това взаимодействие.

потенциал е енергията, причинена от взаимодействието на телата и в зависимост от тяхното взаимно положение.

Нека намерим потенциалната енергия на тяло, издигнато над земята. Нека тяло с маса m се движи равномерно в гравитационно поле от позиция 1 до позиция 2 по повърхност, чието напречно сечение с равнината на чертежа е показано на фиг. 2.8. Този участък е траекторията на материална точка (тяло). Ако няма триене, тогава върху точката действат три сили:

1) силата N от повърхността е нормална към повърхността, работата на тази сила е нула;

2) гравитация mg, работата на тази сила A 12;

3) теглителна сила F от някакво задвижващо тяло (двигател с вътрешно горене, електродвигател, човек и др.); Нека означим работата на тази сила с A T.

Нека разгледаме работата на гравитацията при преместване на тяло по наклонена равнина с дължина ℓ (фиг. 2.9). Както се вижда от тази фигура, работата е равна на

A" = mgℓ cosα = mgℓ cos(90° + α) = - mgℓ sinα

От триъгълник ВСD имаме ℓ sinα = h, така че от последната формула следва:

Траекторията на тялото (виж фиг. 2.8) може да бъде схематично представена чрез малки участъци от наклонена равнина, следователно за работата на гравитацията по цялата траектория 1 -2 е валиден следният израз:

A 12 =mg (h 1 -h 2) =-(mg h 2 - mg h 1) (2,30)

Така, работата на гравитацията не зависи от траекторията на тялото, а зависи от разликата във височините на началната и крайната точка на траекторията.

Размер

e n = mg h (2,31)

Наречен потенциална енергия материална точка (тяло) с маса m, издигната над земята на височина h. Следователно формула (2.30) може да бъде пренаписана, както следва:

A 12 = =-(En 2 - En 1) или A 12 = =-ΔEn (2.32)

Работата на гравитацията е равна на промяната в потенциалната енергия на телата, взета с обратен знак, т.е. разликата между нейната крайна и началнастойности (теорема за потенциална енергия ).

Подобни разсъждения могат да бъдат дадени за еластично деформирано тяло.

(2.33)

Имайте предвид, че разликата в потенциалните енергии има физически смисъл като величина, която определя работата на консервативните сили. В това отношение няма значение на коя позиция, конфигурация трябва да се припише нулева потенциална енергия.

Едно много важно следствие може да се получи от теоремата за потенциалната енергия: Консервативните сили винаги са насочени към намаляване на потенциалната енергия.Установеният модел се проявява в това, че всяка система, оставена сама на себе си, винаги се стреми да премине в състояние, в което нейната потенциална енергия има най-малка стойност.Това е принцип на минимална потенциална енергия .

Ако система в дадено състояние няма минимална потенциална енергия, тогава това състояние се нарича енергийно неблагоприятен.

Ако топката е на дъното на вдлъбната купа (фиг. 2.10, а), където нейната потенциална енергия е минимална (в сравнение със стойностите й в съседни позиции), тогава нейното състояние е по-благоприятно. Равновесието на топката в този случай е устойчиви: Ако преместите топката настрани и я пуснете, тя ще се върне в първоначалната си позиция.

Например позицията на топката върху горната част на изпъкнала повърхност е енергийно неизгодна (фиг. 2.10, b). Сумата от силите, действащи върху топката, е нула и следователно тази топка ще бъде в равновесие. Този баланс обаче е нестабилен: достатъчно е най-малкото въздействие, за да се претърколи надолу и по този начин да премине в състояние, което е енергийно по-благоприятно, т.е. имайки по-малко

П потенциална енергия.

При безразличенВ равновесие (фиг. 2.10, c) потенциалната енергия на тялото е равна на потенциалната енергия на всички негови възможни най-близки състояния.

На фигура 2.11 можете да посочите някаква ограничена област от пространството (например cd), в която потенциалната енергия е по-малка, отколкото извън нея. Тази област беше наречена потенциален кладенец .

Енергията е скаларна величина. Единицата за енергия в SI е джаул.

Кинетична и потенциална енергия

Има два вида енергия - кинетична и потенциална.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетична енергия- това е енергията, която тялото притежава поради движението си:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциална енергияе енергия, която се определя от взаимното разположение на телата, както и естеството на силите на взаимодействие между тези тела.

Потенциалната енергия в гравитационното поле на Земята е енергията, дължаща се на гравитационното взаимодействие на тялото със Земята. Определя се от положението на тялото спрямо Земята и е равно на работата по преместване на тялото от дадено положение до нулевото ниво:

Потенциалната енергия е енергията, причинена от взаимодействието на частите на тялото една с друга. Тя е равна на работата на външните сили при опън (компресия) на недеформирана пружина по размер:

Едно тяло може едновременно да притежава както кинетична, така и потенциална енергия.

Общата механична енергия на тяло или система от тела е равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия на тялото (система от тела):

Закон за запазване на енергията

За затворена система от тела е валиден законът за запазване на енергията:

В случай, че върху тяло (или система от тела) действат външни сили, например, законът за запазване на механичната енергия не е изпълнен. В този случай промяната в общата механична енергия на тялото (система от тела) е равна на външните сили:

Законът за запазване на енергията ни позволява да установим количествена връзка между различните форми на движение на материята. Също като , то е валидно не само за, но и за всички природни явления. Законът за запазване на енергията казва, че енергията в природата не може да бъде унищожена, както не може да бъде създадена от нищото.

В най-общата си форма законът за запазване на енергията може да се формулира по следния начин:

• Енергията в природата не изчезва и не се създава отново, а само се трансформира от един вид в друг.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

Упражнение	Куршум, летящ със скорост 400 m/s, се удря в земен вал и изминава 0,5 m до спиране. Определете съпротивлението на ствола на движението на куршума, ако неговата маса е 24 g.
Решение	Силата на съпротивление на вала е външна сила, така че работата, извършена от тази сила, е равна на промяната в кинетичната енергия на куршума: Тъй като съпротивителната сила на вала е противоположна на посоката на движение на куршума, работата, извършена от тази сила, е: Промяна в кинетичната енергия на куршума: Така можем да напишем: откъде идва съпротивителната сила на земния вал: Нека преобразуваме единиците в системата SI: g kg. Нека изчислим съпротивителната сила:
Отговор	Силата на съпротивление на вала е 3,8 kN.

ПРИМЕР 2

Упражнение	Товар с тегло 0,5 kg пада от определена височина върху плоча с тегло 1 kg, монтирана на пружина с коефициент на коравина 980 N/m. Определете големината на най-голямото свиване на пружината, ако в момента на удара товарът е имал скорост 5 m/s. Въздействието е нееластично.
Решение	Нека напишем товар + плоча за затворена система. Тъй като въздействието е нееластично, имаме: откъде идва скоростта на плочата с товара след удара: Съгласно закона за запазване на енергията, общата механична енергия на товара заедно с плочата след удара е равна на потенциалната енергия на компресираната пружина:

Кинетична енергия- енергията на механична система, в зависимост от скоростта на движение на нейните точки. Често се освобождава кинетичната енергия на транслационното и ротационното движение. Мерната единица SI е джаул. По-стриктно, кинетичната енергия е разликата между общата енергия на системата и нейната енергия на покой; По този начин кинетичната енергия е частта от общата енергия, дължаща се на движение.

Нека разгледаме случая, когато тяло с маса мима постоянна сила (тя може да бъде резултатна от няколко сили) и вектори на сила и движенията са насочени по една права линия в една посока. В този случай работата, извършена от силата, може да се определи като A = F∙s.Модулът на силата според втория закон на Нютон е равен на F = m∙a,и модула за изместване сс равномерно ускорено праволинейно движение е свързано с модулите на началния υ 1 и крайния υ 2 скорост и ускорение Аизразяване

Оттук нататък започваме работа

Нарича се физическо количество, равно на половината от произведението на масата на тялото и квадрата на неговата скоросткинетична енергия на тялото .

Кинетичната енергия е представена с буквата д к .

Тогава равенството (1) може да се запише по следния начин:

А = д к 2 – д к 1 . (3)

Теорема за кинетична енергия:

работата на резултантните сили, приложени към тялото, е равна на изменението на кинетичната енергия на тялото.

Тъй като промяната в кинетичната енергия е равна на работата, извършена от силата (3), кинетичната енергия на тялото се изразява в същите единици като работата, т.е. в джаули.

Ако началната скорост на движение на тяло с маса Tе нула и тялото увеличава скоростта си до стойността υ , тогава работата, извършена от силата, е равна на крайната стойност на кинетичната енергия на тялото:

(4)

Физически смисъл кинетична енергия:

Кинетичната енергия на тяло, движещо се със скорост v, показва колко работа трябва да извърши сила, действаща върху тялото в покой, за да му придаде тази скорост.

Потенциална енергия- минималната работа, която трябва да се извърши, за да се премести тялото от определена референтна точка до дадена точка в полето на консервативните сили. Второ определение: потенциалната енергия е функция на координатите, която е член в лагранжиана на системата и описва взаимодействието на елементите на системата. Трето определение: потенциалната енергия е енергията на взаимодействието. Единици [J]

Потенциалната енергия се приема за нула за определена точка в пространството, изборът на която се определя от удобството на по-нататъшните изчисления. Процесът на избор на дадена точка се нарича нормализиране на потенциалната енергия. Също така е ясно, че правилното определение на потенциалната енергия може да се даде само в полето на силите, чиято работа зависи само от началното и крайното положение на тялото, но не и от траекторията на неговото движение. Такива сили се наричат ​​консервативни.

Потенциалната енергия на тяло, издигнато над Земята, е енергията на взаимодействие между тялото и Земята от гравитационните сили. Потенциалната енергия на еластично деформирано тяло е енергията на взаимодействие на отделни части на тялото една с друга чрез еластични сили.

потенциал са нареченисила , чиято работа зависи само от началното и крайното положение на движеща се материална точка или тяло и не зависи от формата на траекторията.

В затворена траектория работата, извършена от потенциалната сила, винаги е нула. Потенциалните сили включват гравитационни сили, еластични сили, електростатични сили и някои други.

правомощия , чиято работа зависи от формата на траекторията, се наричатнепотенциален . Когато материална точка или тяло се движи по затворена траектория, работата, извършена от непотенциалната сила, не е равна на нула.

Потенциална енергия на взаимодействие на тялото със Земята.

Нека намерим работата, извършена от гравитацията Е t при движение на тяло с маса Tвертикално надолу от височина ч 1 над земната повърхност до височина ч 2 (Фиг. 1).

Ако разликата ч 1 –ч 2 е пренебрежимо малка в сравнение с разстоянието до центъра на Земята, тогава силата на гравитацията Е T по време на движението на тялото може да се счита за постоянно и равно мг.

Тъй като изместването съвпада по посока с вектора на гравитацията, работата, извършена от гравитацията, е равна на

A = F∙s = m∙g∙(чл –ч 2). (5)

Нека сега разгледаме движението на тяло по наклонена равнина. При движение на тялото надолу по наклонена равнина (фиг. 2) силата на гравитацията Е T = m∙gработи

A = m∙g∙s∙cosа = m∙g∙h, (6)

Където ч– височина на наклонената равнина, с– модул на преместване, равен на дължината на наклонената равнина.

Движение на тяло от точка INточно СЪСпо всяка траектория (фиг. 3) може да си представим мислено като състоящ се от движения по участъци от наклонени равнини с различна височина ч", ч"и т.н. Работа Агравитация по целия път от IN V СЪСравна на сумата от работа по отделни участъци от маршрута:

Където ч 1 и ч 2 – височини от земната повърхност, на които се намират съответно точките INИ СЪС.

Равенството (7) показва, че работата на гравитацията не зависи от траекторията на тялото и винаги е равна на произведението на модула на тежестта и разликата във височините в началното и крайното положение.

При движение надолу работата на гравитацията е положителна, при движение нагоре е отрицателна. Работата, извършена от гравитацията върху затворена траектория, е нула .

Равенството (7) може да се представи по следния начин:

А = – (m∙g∙h 2 – m∙g∙hл). (8)

Физическа величина, равна на произведението на масата на тялото от модула на ускорението на свободното падане и височината, на която тялото е издигнато над повърхността на Земята, се наричапотенциална енергия взаимодействие между тялото и Земята.

Работа, извършена от гравитацията при движение на тяло с маса Tот точка, разположена на височина ч 2 , до точка, разположена на височина ч 1 от повърхността на Земята, по която и да е траектория, е равна на промяната в потенциалната енергия на взаимодействие между тялото и Земята, взета с обратен знак.

А= – (дР 2 – дР 1). (9)

Потенциалната енергия се обозначава с буквата дР.

Стойността на потенциалната енергия на тяло, издигнато над Земята, зависи от избора на нулевото ниво, т.е. височината, на която потенциалната енергия се приема за нула. Обикновено се приема, че потенциалната енергия на тялото на земната повърхност е нула.

С този избор на нулевото ниво потенциалната енергия дРтяло на височина чнад повърхността на Земята е равна на произведението на масата мтела към модула за ускорение на свободното падане жи разстояние чот повърхността на Земята:

дстр = m∙g∙h. (10)

Физически смисъл потенциална енергия на взаимодействие на тялото със Земята:

потенциалната енергия на тяло, върху което действа гравитацията, е равна на работата, извършена от гравитацията при преместване на тялото до нулево ниво.

За разлика от кинетичната енергия на постъпателното движение, която може да има само положителни стойности, потенциалната енергия на тялото може да бъде както положителна, така и отрицателна. Телесна маса м, разположен на височина ч,Където h 0 ( ч 0 – нулева височина), има отрицателна потенциална енергия:

дстр = –m∙gh

Потенциална енергия на гравитационното взаимодействие

Потенциална енергия на гравитационно взаимодействие на система от две материални точки с маси TИ М, разположени на разстояние rедин от друг е равен

(11)

Където Же гравитационната константа и нулата на еталонната потенциална енергия ( дстр= 0) приети при r = ∞.Потенциална енергия на гравитационно взаимодействие на тяло с маса Tсъс Земята, където ч– височина на тялото над земната повърхност, М 3 – масата на Земята, Р 3 е радиусът на Земята, а нулата на отчитането на потенциалната енергия е избрана при ч= 0.

(12)

При същото условие за избор на нулева референция, потенциалната енергия на гравитационното взаимодействие на тяло с маса Tсъс Земята за ниски височини ч(ч« Р 3) равна на

дстр = m∙g∙h,

където е величината на ускорението, дължащо се на гравитацията близо до земната повърхност.

Потенциална енергия на еластично деформирано тяло

Нека изчислим работата, извършена от еластичната сила, когато деформацията (удължението) на пружината се промени от определена първоначална стойност х 1 до крайна стойност х 2 (фиг. 4, b, c).

Еластичната сила се променя, когато пружината се деформира. За да намерите работата на еластичната сила, можете да вземете средната стойност на модула на силата (тъй като еластичната сила зависи линейно от х) и умножете по модула на изместване:

(13)

Където Оттук

(14)

Физическа величина, равна на половината от произведението на коравината на тялото на квадрата на неговата деформация, се наричапотенциална енергия еластично деформирано тяло:

От формули (14) и (15) следва, че работата на еластичната сила е равна на промяната в потенциалната енергия на еластично деформирано тяло, взета с обратен знак:

А = –(дР 2 – дР 1). (16)

Ако х 2 = 0 и х 1 = х, тогава, както се вижда от формули (14) и (15),

дР = А.

Тогава физически смисъл потенциална енергия на деформирано тяло

потенциалната енергия на еластично деформирано тяло е равна на работата, извършена от еластичната сила, когато тялото премине в състояние, при което деформацията е нула.

Този параграф не предоставя никаква нова информация, но подчертава и изяснява някои важни характеристики на потенциалната енергия, които трябва да бъдат отбелязани.
Потенциална енергия - енергията на взаимодействие между телата
Важно е ясно да се разбере, че кинетичната енергия е количество, свързано с едно тяло, а потенциалната енергия винаги е енергията на взаимодействие на поне две тела (или части от едно тяло) едно с друго. Понятието потенциална енергия се отнася за система от тела, а не за едно тяло. Ако в една система има няколко тела, тогава общата потенциална енергия на системата е равна на сумата от потенциалните енергии на всички двойки взаимодействащи тела (всяко тяло взаимодейства с всяко от останалите).

Ориз. 6.15
Потенциалната енергия характеризира взаимодействието на телата именно защото самото понятие за сила винаги се отнася до две тела: тялото, върху което действа силата, и тялото, от което тя действа.
Когато получихме израз за кинетична енергия, ние не използвахме тази характеристика на силата, незабавно я заменихме във формулата за работа с произведението на масата и ускорението според втория закон на Нютон. Ето защо понятието кинетична енергия се отнася до едно тяло.
Получихме израза за потенциалната енергия, използвайки известната зависимост на силите от местоположението на взаимодействащите тела, без да използваме уравненията на движението. Равенството A = -AEp определя потенциалната енергия независимо от уравненията на движението. Следователно потенциалната енергия е просто друга характеристика (наред със силата) на взаимното действие на телата едно върху друго.
Често при извеждане на формула, свързваща изменението на потенциалната енергия с работата на силите, едно от телата на системата се приема за неподвижно. По този начин, когато се разглежда падането на тяло върху Земята под въздействието на гравитацията, преместването на Земята се пренебрегва. Следователно работата на силите на взаимодействие между Земята и тялото се свежда до работата само на една сила, действаща върху тялото.
Или друг пример. Компресирана или разтегната пружина, действаща върху тяло, обикновено е фиксирана в единия край и този край на пружината не се движи (всъщност той е прикрепен към земното кълбо). В този случай работата се извършва само от еластичната сила на деформираната пружина, приложена към тялото.
Поради това потенциалната енергия на система от две тела свиква да се разглежда като енергия на едно тяло. Това може да доведе до объркване.
Всъщност във всички случаи е вярно следното твърдение: промяната в потенциалната енергия на две тела, взаимодействащи със сили, които зависят само от разстоянието между телата, е равна на работата на тези сили, взета със знак минус:
A = F12- Ar, + F21 ¦ Ar2 = ~ = -AEp. (6.7.1)
Тук F12 е силата, действаща върху тяло 1 от тяло 2, а F21 е силата, действаща върху тяло 2 от тяло 1 (фиг. 6.15).
Нулево ниво на потенциална енергия
Според уравнение (6.7.1) работата на силите на взаимодействие определя не самата потенциална енергия, а нейното изменение.
Тъй като работата определя само промяната на потенциалната енергия, тогава само промяната на енергията в механиката има физически смисъл. Следователно можете произволно да изберете състоянието на системата, при което нейната потенциална енергия се счита за равна на нула. Това състояние съответства на нулево ниво на потенциална енергия. Нито едно явление в природата или технологията не се определя от стойността на самата потенциална енергия. Важна е разликата между стойностите на потенциалната енергия в крайното и началното състояние на системата от тела.
Изборът на нулевото ниво се прави по различни начини и се диктува единствено от съображения за удобство, т.е. простотата на записване на уравнението, изразяващо закона за запазване на енергията. Обикновено състоянието на системата с минимална енергия се избира като състояние с нулева потенциална енергия. Тогава потенциалната енергия винаги е положителна.
Пружината има минимална потенциална енергия при липса на деформация, докато камъкът има минимална потенциална енергия, когато лежи на повърхността
2
Земята. Следователно в първия случай Ep = ^i^L (фиг. 6.16), а във втория случай Ep = mgh (фиг. 6.17). Но можете да добавите всяка постоянна стойност C към тези изрази и това е добре
2
няма да се промени. Можем да приемем, че E = ^^ + C и E = mgh + C.
g D R
Ако във втория случай зададем C = -mgh0, тогава това ще означава, че енергията на височина hQ над повърхността на Земята се приема за нулево енергийно ниво.
ОТНОСНО

ч
м
Ох ох
Понякога не е възможно да се избере ниво на нулева потенциална енергия, така че минималната енергия да е нула. Така например потенциалната енергия на две тела, взаимодействащи чрез силите на универсалната гравитация, може да бъде записана по следния начин:
m-i t.* -G-
+ C. Фиг. 6.18
Когато r -> 0, първият член клони към -°o. Следователно минималната енергийна стойност може да се счита за равна на нула само при C = °o. Но, разбира се, не можете да използвате уравнения, които включват безкрайно количество. Следователно тук е по-удобно да се постави C = O и по този начин да се вземе потенциалната енергия в състояние, в което телата са безкрайно отдалечени едно от друго (r = °o) като нулево ниво. Тогава нулевото ниво ще съответства не на минималната енергия, а на максималната. За всяка крайна стойност на g потенциалната енергия е отрицателна (фиг. 6.18).
Независимост на потенциалната енергия от избора на отправна система
Нека отбележим още веднъж, че понятието потенциална енергия има смисъл за системи, в които силите на взаимодействие са консервативни, т.е. зависят само от разстоянието между телата или техните части. Съответно потенциалната енергия зависи от разстоянието между телата или техните части: от височината на камъка над повърхността на Земята, от дължината на пружината, от разстоянието между точковите тела. Потенциалната енергия не зависи пряко от координатите на телата. (Само доколкото разстоянията са функции на координатите, можем да говорим за зависимост от координатите.) Това предполага един много важен извод, на който обикновено не се обръща внимание. Тъй като разстоянията във всички отправни системи, движещи се и неподвижни, са еднакви, потенциалната енергия не зависи от избора на отправна система.
Но как е възможно това? В крайна сметка AEp = -A и работата зависи от избора на референтната система. Тук ясно се проявява фактът, че потенциалната енергия е енергията на взаимодействие между две тела и нейното изменение се определя от работата на силите, действащи върху двете тела. При преминаване от неподвижна система към движеща се работата, извършена от двете сили, се променя, но общата работа остава непроменена. Всъщност, ако в някаква референтна рамка се извършва работа във времето At
A1 = $12 " + ^21 " A?2"
тогава в друга система, движеща се спрямо първата, работата е равна на
A2 = F12 (Dgi + Ar0) + F21 (Ar2 + Ar0),
където Ar0 е движението на референтните системи една спрямо друга за времето At.
Тъй като според третия закон на Нютон F12 = ~F21, тогава
F12 ¦ Ar0 + F2j Ar0 = 0. Следователно At = A2.
Разлики между потенциална и кинетична енергия
Кинетичната енергия зависи само от скоростите на телата, а потенциалната зависи само от разстоянията между тях.
Освен това положителната работа на вътрешните сили винаги води до увеличаване на кинетичната енергия, но непременно намалява потенциалната енергия:
AEk=A, но AEp = -A.
Кинетичната енергия винаги е положителна, но потенциалната енергия може да бъде положителна или отрицателна.
Промяната в кинетичната енергия винаги е равна на работата на силите, действащи върху тялото, а промяната на потенциалната енергия е равна (със знак минус) на работата само на консервативните сили (но не и на силите на триене, които зависят от скоростта) .
Както потенциалната, така и кинетичната енергия са функции на състоянието на системата, т.е. те са точно определени, ако са известни координатите и скоростите на всички тела в системата.

Ако елементарното преместване d се запише във формата:

Според закона на Нютон II:

Количеството се нарича кинетична енергия

Работата на резултантната на всички сили, действащи върху частица, е равна на изменението на кинетичната енергия на частицата.

или друг запис

кинетична дисипативна скаларна физическа

Ако A > 0, тогава WC се увеличава (пада)

Ако A > 0, тогава WC намалява (хвърляне).

Движещите се тела имат способността да извършват работа, дори ако върху тях не действат сили от други тела. Ако едно тяло се движи с постоянна скорост, тогава сумата от всички сили, действащи върху тялото, е равна на 0 и не се извършва никаква работа. Ако едно тяло действа с някаква сила в посоката на движение върху друго тяло, тогава то може да извърши работа. В съответствие с третия закон на Нютон, сила със същата величина ще бъде приложена към движещо се тяло, но насочена в обратна посока. Благодарение на действието на тази сила скоростта на тялото ще намалява до пълно спиране. Енергията WC, причинена от движението на тялото, се нарича кинетична. Напълно спряло тяло не може да извършва работа. WC зависи от скоростта и телесното тегло. Промяната на посоката на скоростта не влияе на кинетичната енергия.