Ако функцията f(x) има производни от всички порядъци на определен интервал, съдържащ точка a, тогава към нея може да се приложи формулата на Тейлър:
,
Къде r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, той може да бъде оценен с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.

f(x)=

в точка x 0 = Брой елементи на реда 3 4 5 6 7

Използвайте разширението на елементарни функции e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила за въвеждане на функции:

Ако за някаква стойност X r n→0 при п→∞, тогава в границата формулата на Тейлър се превръща в конвергентна формула за тази стойност Серия Тейлър:
,
По този начин функцията f(x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.

Когато a = 0, получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
,
Разширение на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
Експоненциални функции
, R=∞
Тригонометрични функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява по степени на x, защото ctg0=∞
Хиперболични функции


Логаритмични функции
, -1
Биномни редове
.

Пример №1. Разгънете функцията в степенен ред f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при X=0
f(x) = 2х, е( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2х ln2, е"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2хв 2 2, е""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2хвътре п 2, f(n)( 0) = 2 0 вътре п 2=в п 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -∞<х<+∞.

Пример №2. Напишете реда на Тейлър в степени ( X+4) за функция f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката X=-4.
f(x)= д х, е(-4) = д -4 ;
f"(x)= д х, е"(-4) = д -4 ;
f""(x)= д х, е""(-4) = д -4 ;
…
f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .
Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:

Това разширение е валидно и за -∞<х<+∞.

Пример №3. Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( X- 1),
(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката X=1).
Решение. Намерете производните на тази функция.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:

Използвайки теста на d'Alembert, можете да проверите, че редът се събира при ½x-1½<1 . Действительно,

Редът се събира, ако ½ X- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При X=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. Когато x=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Пример №4. Разгънете функцията в степенен ред.
Решение. В разширението (1) заместваме x с -x 2, получаваме:
, -∞

Пример №5. Разширете функцията в серия Maclaurin .
Решение. Имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:

замествайки –x вместо x във формулата, получаваме:

От тук намираме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме
. Тази редица се събира в интервала (-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се събира в този интервал.

Коментирайте .
Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо Xструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива t=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.

Този метод се основава на теоремата за уникалността на разлагането на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение.

Пример № 5а. Разгънете функцията в редица на Маклорен и посочете областта на конвергенция.
Решение. Първо намираме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до елементарно:

Дробта 3/(1-3x) може да се разглежда като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с област на конвергенция |x|< 1/3.

Пример №6. Разгънете функцията в редица на Тейлър в близост до точката x = 3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при X=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):
=
Полученият ред се събира при или –3

Пример №7. Напишете реда на Тейлър по степени (x -1) на функцията ln(x+2) .
Решение.


Серията се събира при , или -2< x < 5.

Пример № 8. Разгънете функцията f(x)=sin(πx/4) в редица на Тейлър в близост до точката x =2.
Решение. Нека направим замяната t=x-2:

Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:

Полученият ред се събира към дадената функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞по този начин
, (-∞

Приблизителни изчисления с помощта на степенни редове

Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа и определени интеграли с определена точност. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Помислете за разширяването на функция в степенен ред:

За да се изчисли приблизителната стойност на функция в дадена точка X, принадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първите са оставени в неговото разширение пчленове ( п– краен брой), а останалите членове се изхвърлят:

За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък rn (x) . За да направите това, използвайте следните техники:

• ако получената серия се редува, тогава се използва следното свойство: за редуваща се серия, удовлетворяваща условията на Лайбниц, остатъкът от серията по абсолютна стойност не надвишава първия изхвърлен член.
• ако дадена серия е с постоянен знак, тогава серията, съставена от изхвърлени членове, се сравнява с безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
• в общия случай, за да оцените остатъка от реда на Тейлър, можете да използвате формулата на Лагранж: a х ).

Пример №1. Изчислете ln(3) с точност до 0,01.
Решение. Нека използваме разширението, където x=1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим

Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001.
Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.



тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводна, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x с точност до 10 -5 .
Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.
Разделяне на термин по термин на серията за грях хна х, получаваме:

Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:

Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме
.

Пример №4. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Решение.
. Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Тук ще разгледаме серийни разширения на по-широк клас функции, отколкото разгледахме преди, а именно: ще изучаваме такива (еднозначни) функции, които не са подобни в целия кръг z-zo z- zq g = 0, т.е. разширение на функция в пунктирана околност на точка zq. Тези разширения позволяват да се изследват функции в близост до точки, където те губят аналитичност (особени точки).

Имайте предвид, че степенните редове няма да са достатъчни за нас сега, тъй като такива редове представляват само функции, които са аналитични в целия кръг z - zq (виж теорема 22.1). Но ние ще допълним членовете c n (z - zo) nс неотрицателни стойности псъответните членове с п= -1, -2,... и разгледайте сумата от две серии

Разширяване на функцията f(z)в ринга ще гледаме във формата

и под конвергенцията на серията c n (z - zq)"се разбира като конвергенция

възможността за двата реда от дясната страна (25.1). Както в §22, ще докажем теореми за съществуването и единствеността на такова разлагане. Да започнем с теоремата за съществуване.

Теорема 25.1 (теорема на Лоран). Нека функцията f(z) е аполитична в пръстена V= (g z - zo:

чиито коефициенти се определят по формулата

(тук p е произволно число между r и R).

Доказателство. Нека z-всяка точка на пръстена V.Да изградим пръстен V= (g" C, - zq R"), разположен вътре в пръстена Vи съдържаща точка z.За да направите това, трябва да изберете числа G"И Р 1 така че g R" (фиг. 47).

Нека означим с Жи Г> кръг 1C - зо = R"и |C - Зо= r"; задаваме обхождането на двете окръжности обратно на часовниковата стрелка. Нека с TV обозначим окръжността |C - за= g" с байпас по посока на часовниковата стрелка. Функция f(z)е аналитична в затворена област V 7, чиято граница Г 7 се състои от кривите Гх и 17 (напомняме, че при обикаляне на границата областта трябва да остане отляво). По интегралната формула на Коши (виж теорема 18.1)

Разлагането в редица на първия интеграл от дясната страна на (25.4) се извършва по същия начин, както при доказателството на теорема 22.2. Представяме функцията във формата

Освен това редът (25.5) се сближава абсолютно и равномерно в променливата

C по IV Умножение на равенства (25.5) по функцията ^-:/(?), ограничения

върху Г1 (съгласно забележка 20.5, равномерната сходимост на редицата в (25.5) в този случай не е нарушена) и интегрирайки почленно по IV получаваме

И така, ние разширихме първия интеграл от дясната страна на (25.4) в конвергентна редица по степени (z - G"). Вторият интеграл в (25.4) ще трябва да бъде разширен по различен начин, тъй като за C € Γ ще бъде z - zo >|C - Zq и следователно редовете в (25.5) се разминават. Имаме

Прилагайки отново формула (22.C), получаваме

За всички C € Г2 равенствата са изпълнени

От поредицата qi nсе сближава, тогава по силата на единния критерий

Конвергенция на Вайерщрас (теорема 20.2) редицата от дясната страна на (25.8) се събира в Г Оабсолютно и равномерно в променливата?. За нас е удобно да пренапишем тази серия в малко по-различна форма, като въведем нов сумиращ индекс доравенство до = -п- 1, т.е. п = -До- 1. Кога пприема стойности 0,1,2,..., индекс доминава през стойности -1, -2, -3____

Нека умножим равенствата (25.9) по f(Q(което няма да наруши униформата

сходимост на редицата в (25.9) върху окръжността Γr) и интегрирайте член по член по Γr:

Индекс довъв формули (25.10), (25.11) може да се замени с всяка друга буква; по-специално можем отново да го означим с n, където п= - 1,- 2,... Като заместим разширения (25.6) и (25.10) в (25.4), стигаме до равенство (25.2). функция . е аналитичен

(С - zo)n+l

в пръстена g g 0 p, така че r тогава двете окръжности Ti и Гr могат да бъдат заменени с окръжността |C - zq = r. В този случай равенствата (25.7) и (25.11) ще бъдат записани с една формула (25.3). Теорема 25.3 е доказана.

Редица (25.2) в цели степени (з- -th) (положителни и отрицателни), чиито коефициенти се определят от формата -

лам (25.3), се нарича до Лоранфункции f(z).Редете ^2 c n (z -

п=0

• - Zo)nнаречен дясната част, и сериала c n (z - zq) u (пишете

Също така c n( z - z o) n) - основна частСерия Laurent (разумно

Точният характер на имената ще стане ясен по-късно).

Нека сега се обърнем към въпроса за уникалността на разширението (25.2).

Теорема 25.2 (теорема за единственост за разлагането на функция в редица на Лоран). Пуснете някакъв пръстен V= (g z - zo (25.2). Тогава f(z) е

аналитична функция във V и коефициенти с n, n = 0, ±1, ±2.... разширенията се определят еднозначно по формулите, (25.3).

Доказателство. Тъй като според условията на теоремата ред (25.2) се събира в V,тогава и двете серии се събират от дясната страна на (25.1), композицията

лъжливи серии (25.2). Първият е ред Y1 °n(z ~ z o) n ~е

обикновен степенен ред, събиращ се в определен кръг с центъра Зои се разминават извън този кръг. Тъй като тази серия се събира в V, след това целия пръстен Vлежи в кръга на конвергенцията. Тъй като сумата

степенният ред е аналитичен в кръга на конвергенция (свойство 21.6), тогава

сума Si (.g) серия c n (z - zq)h е аналитичен в V.По свойство 21.5,

тази серия се събира равномерно във всеки кръг z-zq R"

но число c n(z - zo) n -Нека направим промяна на променливите, като поставим Z=

=-, до= - n. Тогава изследваната серия ще приеме формата V C-uZк. това

z ~ z o k=l

редът е степенен ред по отношение на променливата Z sцентър Зо= 0: тя се събира в някакъв кръг с R "o този ред се сближава равномерно (свойство 21.5). Нека сега се върнем към променливата z.След това кръг

/?o ще влезе в набора --- z - zo >1 /Ро,тези. към външната страна на кръг с център zq на радиус 1/Lo- Така серията

^2 c n (z -Zo)nсе сближава при |z - Zo > l/Roкъм аналитичната функция п=-1

ция 5-2(g) и се отклонява при z - зо 1 /Rq. Тъй като тази серия се събира в V,след това целия пръстен Vсе намира в областта на конвергенция z-Zo > 1/Яо от този ред. В същото време в района z- зо > 1 //?около s N® Ноконвергенцията ще бъде равномерна. По-специално, rad се сближава равномерно при |z - zo > g“, Ако g" >Ж.

И така, двете серии от дясната страна на (25.1) се събират в пръстена Vи техните суми Si(z) и S-j(z) са аналитични в V.Така че функцията f(z) = Si (z) + 4* S-z(z)аналитичен в V.

Нека покажем, че коефициентите s pразширенията се определят еднозначно по формули (25.3). Да вземем кръг Г = (z - зо= /?), където d Нека вземем числата G"И R"така че d И двата реда от дясната страна на (25.1) равномерно се събират в пръстена V= = (z; z - Zo R 1)-Това означава редът

се събира равномерно в него. Това свойство ще остане след умножаване на двете страни по произволна степен (z - zo)~ n ~ l, n = О, ±1, ±2_____ тъй като всяка от тези степени е функция на границата

оценен в V(виж бележка 20.5):

По силата на теорема 20.4 получената серия може да бъде интегрирана член по член по Γ:

Нека сега използваме равенството (15.7):

според който всички интеграли от лявата страна на (25.12) са равни на нула, с изключение на един, за който к - п - 1 = - 1 (т.е. до = yy)и което е равно на 2tgg. Следователно в сумата от (25.12) остава само един член при k = n,и получаваме

което е еквивалентно на равенства (25.3). Теорема 25.2 е доказана.

В доказателството на теорема 25.2 установихме, че ред (25.2) се свежда до обединението на два степенни реда, единият от които се събира в определен кръг с център zq, а другата извън окръжност с по-малък радиус със същия център (ако радиусът на втората окръжност беше по-голям, тогава наборът от серии (25.2) за конвергенция би бил празен). Нека означим радиусите на тези окръжности R и gсъответно (тук не е посочено, че тези числа съвпадат с външния и вътрешния радиус на пръстена Vв теореми 25.1, 25.2). От това и от свойствата на степенните редове (виж §21) следват следните свойства на редовете (25.2).

Имот 25.3. Множеството за сходимост на серията (25.2) е пръстенът V= (z - zq R) с възможно добавяне на някои или всички точки на неговата граница. В този случай са възможни случаи r = 0 и R =оо.

Имот 25.4. Сума 5(g) ред (25.2) е аналитична функция вътре в пръстена V.

Имот 25.5. Редете (25.2) човек може да интегрира и диференцира термин по член вътре в пръстена V произволно числоjhm. Получените серии имат същия пръстен на конвергенция V, Какво

и оригиналната серия (25.2); Конвергенцията в граничните точки може да не се запази.

Имот 25.6. Ако V = (g Зое пръстенът на сходимост на реда на Лоран на функцията f(z) и 0

Доказателство. Серия от функции на Лоран/ (z)има обединени oo 1

комбинация от две степенни серии °n(z ~ z o) nи c_*Z*, където З =-.

n=0 к-з-з0

Кръговете на сходимост на тези серии са z- 2o| R и z - zo = R и = 1/g (т.е. z - zo = g)има особени точки

функции Si(z) = c n(z - Zq)u И S-2 (z) = Cn(z-z 0)nсъответно

всъщност. Следователно тези окръжности съдържат особени точки на функцията f(z)= Si (g) + S-2 (z), Q.E.D.

За намиране на разширения на редове на Лоран се използват широко същите техники като за разширения на редове на Тейлър, а именно метод на заместване, интегриране член по член и диференциране на редове и т.н.

Пример 25.7. Намерете всички разширения на Laurent на функция

/( g) = f по правомощия (z - 1).

" z(z - 1)

Решение. Нека направим промяна на променлива: w = z- 1, т.е. z = w +

1. След извършване на заместването получаваме функцията r/(rc) = . w . . веднъж-

(т+ 1) wj

поставете получената дроб в сбора на най-простите дроби (за повече информация относно разлагането на сбора на най-простите дроби, вижте §32. Ще потърсим разлагането във формуляра).

Къде АИ гчисла, които се опитвате да намерите. За целта привеждаме дробите отдясно към общ знаменател:

От това следва, че w + 2 = A(w + 1) + бв,и равенството е валидно за всички стойности w, включително w = 0 и w =- 1 (това следва от непрекъснатостта на лявата и дясната страна на това равенство). При w = 0 получаваме 2 = .4, т.е. А= 2; заместване w =-1, имаме 1 = -B,тези. IN= - 1. Така,

Тази функция има особени точки w = 0, w = - 1 и следователно аполитичен в пръстените V’i = (0 w

При w> 1 получената серия престава да се сближава. Следователно, за разширяване на функцията g(w)на ринга U 2 дробта трябва да се преобразува:

Когато |w| > 1 ще бъде -

вместо zсложете го л/т.Извършвайки посочените замествания, получаваме

(направихме замяна k = - (n+ 1) и използва равенството (- 1)* = (-I) - *). Връщане към променливата z-w+ 1, получаваме необходимите разширения на функцията f(z):

нов член - - (всички други коефициенти на основната част са равни на

ние сме нула), а редът в (25.13) дава правилната част от разширението. При 1 z - 1| z - 1| = 0 с радиус 0u|r-1| = 1 с радиус 1) съдържат особени точки на функцията f(z).

Теорема за разлагането на аналитична функция в степенен ред

(теорема на Тейлър).

Нека функцията е аналитична в едносвързана област с частично гладка граница
,
. След това функцията
се разширява в степенен ред по степени
в кръг
(разстояние от точката до границата на района).

Доказателство.Точка лежи вътре , така че можете да изберете изцяло лежи в района

.

функция
- аналитичен ин и на
. това е
на .

.

и се сближава равномерно според критерия на Вайерщрас в окръжността

. Наистина, чрез следствие от интегралната формула на Коши

. Обърнете внимание, че серията на Тейлър за функция на реална променлива е написана по абсолютно същия начин:
. Така се показва, че функция, която е аналитична в кръг, се разширява в него в конвергентен степенен ред. Това разлагане е единственото, което се оказва до Тейлърза тази функция. Коефициентите на разширение се изчисляват еднозначно с помощта на формулите

.

Неравенствата на Коши.

, Къде

. Така, справедливо Неравенствата на Кошиза коефициентите на редицата на Тейлър за разлагане на функция в околност на точка
. Чрез следствие от интегралната теорема на Коши за многосвързана област, тук R може да бъде избран по произволен начин, стига R да не надвишава разстоянието от точката до границата на местност Г.

Серия Лоран.

Близо до Лораннаречен ред
=
+
.

Вторият член е степенен ред и като всеки степенен ред се събира в кръг
. Този термин се нарича правилната част от серията Laurentи е, подобно на сумата от степенен ред, аналитична функция.

Първият член се нарича основната част от поредицата Laurent.Извършване на замяна в него
, записваме основната част във формата
. Отнесено към променлива t

това е степенен ред, събиращ се в определен кръг
. Връщайки се към променливата z, откриваме, че основната част се събира от външната страна на кръг с радиус r:

. Редът на Лоран се сближава в област, представляваща пресечната точка на областите на сближаване на правилната и основната част. Ето защо областта на конвергенция на серията на Лоран е кръгъл пръстен
. Радиусите на сближаване r,R се определят за степенните редове по обичайния начин; сближаването по границите на пръстена също се изследва, както в степенните редове. Пръстенът може да бъде изроден, кръг, ако r = R, или празен набор, ако r > R.

Теорема на Лоран.

функция
, аналитичен в кръгъл пръстен
и на нейната граница, се разширява в него в конвергентна серия на Лоран.

Помислете за кръгъл пръстен , нека изградим друг кръгъл пръстен вътре в него с радиуси И така . Да разгледаме произволна точка във вътрешния пръстен начертайте от него, както от центъра, кръг с радиус така че да лежи изцяло във вътрешния пръстен. = +

По теорема на Коши за многосвързана област
=
-
.

Според интегралната формула на Коши

Нека разгледаме всеки термин поотделно. 1) Бпърви мандат
,
.

Нека повторим всички изчисления от доказателството на теоремата на Тейлър, като вземем предвид
и се сближава равномерно според критерия на Вайерщрас в окръжността
.

функция
Тъй като , тогава получената серия се мажорира от конвергентна безкрайно намаляваща геометрична прогресия
- аналитичен на . това е
на .

, следователно е непрекъснат и ограничен до
.

Нека умножим получената редица по непрекъсната ограничена функция
и се сближава равномерно според критерия на Вайерщрас в окръжността
. Тази серия се мажорира от конвергентна безкрайно намаляваща геометрична прогресия

, където са коефициентите на реда на Тейлър

=

).

2) Разгледайте втория член, като приемем
,
.

Това е справедливо, защото тук
.

функция
Тъй като , тогава получената серия се мажорира от конвергентна безкрайно намаляваща геометрична прогресия
- аналитичен на . това е
на .

, следователно е непрекъснат и ограничен до

. Тази серия се мажорира чрез сближаване безкрайно

Тази серия се мажорира от конвергентна безкрайно намаляваща геометрична прогресия
и се сближава равномерно според критерия на Вайерщрас във външната част на окръжността
. Тази серия се мажорира от конвергентна безкрайно намаляваща геометрична прогресия

, където са коефициентите на реда на Тейлър
.
(Последствие от теоремата на Коши за многосвързана област, интегриране над може да се замени с интеграция над
).

Добавяйки получените разширения за два члена, получаваме разширението на функцията в серия на Лоран

, където коефициентите на редицата на Лоран .
.

За коефициентите на серията на Лоран може да се изведе по подобен начин Неравенствата на Коши
.

Сериите на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в окръжност zol За да се изследват функции, които са аналитични в пръстенна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на формата които обобщават разширенията на Тейлър. Серия (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича серия на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на серия (1) е общата част от областите на сближаване на всяка от серията (2). Да я намерим. Областта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар, вътре в окръжността на сближаване серия (3) се сближава с аналитична функция и във всяка окръжност с по-малък радиус се сближава. абсолютно и равномерно. Вторият ред е степенен ред по отношение на променлива. Серията (5) се сближава в рамките на своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексна променлива m-*oo и във всяка окръжност с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което. означава, че зоната на сближаване на серия (4) е външната страна на кръга - Ако тогава има обща зона на сближаване на серия (3) и (4) - кръгъл пръстен, в който серия (1) се свежда до аналитична функция. Освен това, във всеки пръстен, той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определяне на зоната на сближаване на rad серия на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация M Областта на сближаване на първата серия е външната страна на кръга, а областта на сближаване на втората серия е вътрешността на окръжността. Така, тази серия се сближава в кръгове. Теорема 15. Всяка функция f (z), недвусмислена и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от сходяща серия, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R. Нека построим окръжности с центрове в точката r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и разгледаме нов пръстен. Използвайки интегралната теорема на Коши за многосвързана област, ние трансформираме поотделно всеки от интегралите в сумата (8). За всички точки £ по протежение на окръжността 7d* отношението на сумата на равномерно сходящия се ред 1 1 е изпълнено. Следователно дробта ^ може да бъде представена във vi- / "/ Чрез умножаване на двете части по непрекъсната функция (O и извършване на. почленно интегриране по окръжността, получаваме, че извършваме трансформацията на втория интеграл по малко по-различен начин като сума от равномерно сходяща серия. Умножавайки двете части по непрекъсната функция) и интегрирайки почленно по окръжността 7/, получаваме, че интегрантите във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, по силата на теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли няма да се променят, ако заменим кръговете 7/r и 7r/ с който и да е кръг. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12) Заменяйки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази (9) и (11), получаваме необходимото разширение, тъй като z е произволно точка на пръстена, следва, че серията ( 14) се свежда към функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен серията се свежда към тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че разлагането на формата (6) е единствено. Да предположим, че има още едно разширение. Тогава навсякъде вътре в пръстена R ще имаме В кръга редове (15) се събират равномерно. Нека умножим двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрираме двете серии член по член. В резултат на това получаваме от лявата страна, а от дясната - St. Така, (4, = St. Тъй като m е произволно число, последното равенство доказва уникалността на реда (6), чиито коефициенти се изчисляват с помощта на формули (7), се нарича ред на Лоран на функцията f(z) в пръстена набор от членове на тази серия с неотрицателни степени се нарича правилната част от реда на Лоран, а с отрицателни - основната му част. Формулите (. 7) за коефициенти на реда на Лоран рядко се използват на практика, тъй като като Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на елементарни функции, всеки легитимен метод води до същия резултат на функции в различни области, като се приеме, че f(r) има две особени точки: Следователно има три пръстеновидни области с център в точката r = 0. във всяка от които функцията /(r) е аналитична: a. ) кръг пръстен външната част на кръга (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Нека представим /(z) като сума от елементарни дроби а) Окръжност Преобразуваме релацията (16) по следния начин. Използвайки формулата за сумата на членовете на геометрична прогресия, получаваме намерените разложения във формула (17). : Това разширение е ред на Тейлър на функцията /(z). б) Пръстенът за функцията -r остава конвергентен в този пръстен, тъй като Серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: отново прилагайки формула (19), получаваме, че Този ред се сближава за. Замествайки разширенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме c) Външността на окръжността за функцията -z за |z| > 2 се разминава и серия (21) за функцията- Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разширението на 8-ма серия на Лоран на функция Серия на Лоран Изолирани сингулярни точки и тяхната класификация в пръстен домейн A Използваме представянето на функцията f(z) в следната форма: и трансформираме втория член Използвайки формула за сумата от членове на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази във формулата (22), имаме Пример 4. Разширете функцията в серията на Лоран в областта zq = 0. За всеки комплекс имаме Нека това разширението е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай областта на пръстена представлява цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана чрез следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули ( 13) за коефициентите на серията на Лоран, като се използват същите разсъждения, както в предходния параграф, могат да се получат неравенствата на Куиу. ако функцията f(z) е ограничена в окръжност, където M е константа), тогава изолирани сингулярни точки Точката zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако има пръстеновидно съседство на точката ( това множество понякога се нарича пробита околност на точката 2o), за която функцията f(z) е уникална и аналитична. В самата точка zo функцията е или недефинирана, или не е еднозначна и аналитична. В зависимост от поведението на функцията /(r) при приближаване до точката zo се разграничават три вида особени точки. Казва се, че изолирана особена точка е: 1) отстранима, ако съществува крайна 2) pymusach, ако 3) по същество особена точка, ако функцията f(z) няма ограничение при. Типът на изолирана особена точка е тясно свързан с природата на разширението на Лоран на функцията чрез пунктирания център на . Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е отстранима особена точка тогава и само ако разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Нека zo е подвижна особена точка. Тогава има крайна, следователно функцията f(z) е ограничена в прокологична околност на точката z Поставяме По силата на неравенствата на Коши Тъй като p може да бъде избрано произволно малко, тогава всички коефициенти при отрицателни степени (z. - 20) са равни на нула: Обратно, нека Лорановото разширение на функцията /(r) в околност на точката zq съдържа само правилната част, тоест има формата (23) и следователно е Тейлър. Лесно се вижда, че за z -* z0 функцията /(z) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана особена точка zq на функцията f(z) е отстранима тогава и само ако функцията J(z) е ограничена в някакъв пунктиран квартал на точката zq, Zgmechai не. Нека r е отстранима особена точка на функцията /(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията /(r) е аналитична в някакъв кръг с център в точката r. Това определя и името на точката – подвижна. Това означава, че точката r = 0 е по същество особена точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в близост до нулевата точка. За всеки комплекс C имаме Set. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени на z.

Разширяване на функция в серия Тейлър, Маклорен и Лоран на сайт за обучение на практически умения. Това серийно разширение на функция позволява на математиците да оценят приблизителната стойност на функцията в някакъв момент от нейната област на дефиниция. Много по-лесно е да се изчисли такава стойност на функцията в сравнение с използването на таблицата Bredis, която е толкова неуместна в ерата на компютърните технологии. Развиването на функция в серия на Тейлър означава да се изчислят коефициентите на линейните функции на тази серия и да се запише в правилната форма. Учениците бъркат тези две серии, като не разбират кое е общият случай и кое е частният случай на втория. Нека ви напомним веднъж завинаги, че серията Maclaurin е частен случай на серия Тейлър, тоест това е серия Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки записи за разширяване на добре познати функции, като e^x, Sin(x), Cos(x) и други, това са разширения в ред на Тейлър, но в точка 0 за аргумента. За функциите на сложен аргумент серията на Лоран е най-често срещаният проблем в TFCT, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сумата от две серии. Предлагаме ви да разгледате пример за разлагане директно на уебсайта; това е много лесно да се направи, като щракнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Точно това разширяване на функция в серия, която е свързана с мажорна серия, която ограничава оригиналната функция в определена област по ординатната ос, ако променливата принадлежи към областта на абсцисата. Векторният анализ се сравнява с друга интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде разгледан, процесът изисква доста време. Всеки ред на Тейлър може да бъде свързан с ред на Маклорен чрез замяна на x0 с нула, но за ред на Маклорен понякога не е очевидно да се представи редът на Тейлър в обратна посока. Сякаш това не е задължително да се прави в чист вид, интересно е за общото саморазвитие. Всяка серия на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели степени на z-a, с други думи, серия от същия тип на Тейлър, но малко по-различна в изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на серията на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, поетапно разширяване на функция в серия едва ли може да се постигне просто чрез привеждане на членовете към общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. При формулирането на задачите се изисква приблизително изчисляване на функционалната стойност. Помислете за факта, че когато аргументът на редица на Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва на няколко стъпки, но картината е напълно различна, когато аргументът на функцията, която се разширява, е сложна или нелинейна функция, тогава процесът на представянето на такава функция в степенен ред е очевидно, тъй като по този начин е лесно да се изчисли, макар и приблизителна стойност, във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малък ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато е необходимо да се изчисли функцията в нулевата точка. Въпреки това, самата серия на Лоран е представена тук чрез разширение в равнината с въображаеми единици. Също така правилното решение на проблема по време на цялостния процес няма да бъде без успех. Този подход не е познат в математиката, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до извода за така наречените поточкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да използвате методи, известни за този процес, като например прилагането на теорията на производните. За пореден път се убеждаваме, че учителят е бил прав, който е направил своите предположения за резултатите от следизчислителните изчисления. Нека отбележим, че серията Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числена ос, но, скъпи потребители на услугата на сайта, не забравяйте вида на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се установи областта на дефиниция на функцията, тоест да се напишат и изключат от по-нататъшно разглеждане онези точки, в които функцията не е дефинирана в областта на реалните числа. Така да се каже, това ще покаже вашата ефективност при решаването на проблема. Изграждането на ред на Маклорен с нулева стойност на аргумента няма да бъде изключение от казаното. Процесът на намиране на областта на дефиниране на функция не е отменен и трябва да подходите към тази математическа операция с цялата сериозност. В случай на серия на Лоран, съдържаща основната част, параметърът "а" ще се нарича изолирана особена точка, а серията на Лоран ще бъде разширена в пръстен - това е пресечната точка на областите на сближаване на неговите части, следователно ще последва съответната теорема. Но не всичко е толкова сложно, колкото може да изглежда на пръв поглед за неопитен ученик. След като сте изучавали серията Тейлър, можете лесно да разберете серията Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството на числата. Всяко серийно разширение на функция може да се извърши само в точка от областта на дефиниране на функцията. Трябва да се вземат предвид свойства на функциите като периодичност или безкрайна диференцируемост. Също така ви предлагаме да използвате таблицата с готови разширения в редове на Тейлър на елементарни функции, тъй като една функция може да бъде представена от до десетки различни степенни редове, както може да се види от използването на нашия онлайн калкулатор. Онлайн серията Maclaurin е толкова лесна за определяне, ако използвате уникалната услуга на уебсайта, просто трябва да въведете правилната писмена функция и ще получите представения отговор след няколко секунди, той е гарантирано точен и в стандартна писмена форма. Можете да копирате резултата директно в чисто копие за изпращане на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на въпросната функция в пръстени и след това недвусмислено да се каже, че тя е разширима в серия на Лоран във всички такива пръстени. Важно е да не изпускате от поглед условията на серията на Лоран, съдържащи отрицателни сили. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте добре теоремата на Лоран за разлагането на функция в цели степени.