Relativisztikus impulzus

A megmaradási törvényeket, akárcsak a természet többi törvényét, minden inerciális vonatkoztatási rendszerben be kell tartani, azaz változatlanoknak kell lenniük a Lorentz-transzformációk tekintetében. Vizsgáljuk meg, hogy a test tömegének és sebességének szorzataként meghatározott impulzusmegmaradás törvénye invariáns-e: p = mυ.

Tekintsük két azonos m tömegű részecske abszolút rugalmatlan központi ütközését. 50.1 feltétel teljes impulzus

részecskék megmarad a K rendszerben (az ütközés előtt és után egyenlő nullával ebben a rendszerben a részecskesebesség összetevői egyenlők v" 1 x ́ = V, v" 2 x ́ = - V).

Térjünk át a K rendszerre a képlet szerint

Így az ütközés előtt a részecskék összimpulzusának x tengelyre vetítése egyenlő

Az ütközés után a részecskék nyugalomban vannak a K rendszerben, ezért V sebességgel mozognak a K rendszerhez képest. Ezért az N összimpulzus vetülete 2mV.

A kapott eredmény azt jelenti, hogy a K rendszerben nem tartják be az impulzus megmaradásának törvényét, amelyet mυ-ként határoztunk meg. Csak azzal a feltétellel, hogy a részecskesebesség sokkal kisebb, mint c, elhanyagolható az expresszió és a 2mV közötti különbség. Ebből következik, hogy az impulzus mυ alakú definíciója csak akkor megfelelő, ha υ˂˂c A vákuumban a fénysebességhez hasonló sebességeknél az impulzust valahogy másképp kell meghatározni, és v/c→0 esetén ez egy A lendület új kifejezésének a newtoni kifejezésbe kell kerülnie

Kiderül, hogy az impulzusmegmaradás törvényének változatlanságát biztosító kifejezést E0.2-ből kapjuk, ha a dt időt a részecske saját dx idejére cseréljük (ami a dt-vel ellentétben invariáns). Az ilyen csere elvégzése után megkapjuk a kifejezést

Itt dr a részecske mozgása abban a referenciakeretben, amelyben a p impulzus meghatározásra kerül, dτ pedig a részecskével együtt mozgó óra által meghatározott időintervallum.

A D7.3 képlet segítségével behelyettesítjük

kifejezés E0.3) a dτ megfelelő idő intervalluma a dt intervallum által, annak a rendszernek az órájával mérve, amelyben a részecske impulzusát meghatározzák (ebben a rendszerben a részecske v = dr/dt sebességgel mozog).

Ennek eredményeként ezt kapjuk

Így a lendület relativisztikus kifejezésének formája van

Az E0.4) képletből az következik, hogy az impulzus sebességtől való függése összetettebb, mint azt a newtoni mechanika feltételezi.

Nézzük meg az elején tárgyalt példa segítségével.

szakaszában az E0.4) képlettel meghatározott impulzus-megmaradás törvényének invarianciája. A K rendszerben nyilvánvalóan a részecskék relativisztikus momentumainak összege az ütközés előtt és után is nulla.

A K rendszerben a tengelyre vetítés x a részecskék ütközés előtti összimpulzusa egyenlő

Ezzel elkeserítő eredményre jutottunk: a K rendszerben az ütközés utáni lendület eltér az ütközés előtti lendülettől.

Így elgondolkodtatóhoz érkezünk

eredmény: a K rendszerben az ütközés utáni impulzus különbözik az ütközés előtti impulzustól.

A lendület látszólagos meg nem őrzésének oka

K rendszer az, hogy egy összetett részecske M tömege nem 2m, hanem Ennek megfelelően az LE0.4) képlettel számított ütközés utáni impulzus egyenlő lesz

azaz egybeesik az ütközés előtti impulzussal.

Kapcsolódó információ:

1. A. Folyékony állapotban. B. Amorf állapotban. B. Gáz halmazállapotú. D. Kristályos állapotban. D. Az atomok ilyen elrendezése bármely halmazállapotban lehetséges

A lendület megmaradásának törvénye már emlékezetünkben is némi változáson ment keresztül. Magát a vákuumot azonban nem befolyásolták, az impulzus fogalma egyszerűen megváltozott. A relativitáselméletben, mint kiderült, az impulzus már nem marad meg, ha úgy értelmezzük, mint korábban. Az tény, hogy a tömeg nem marad állandó, hanem a sebesség függvényében változik, és ezért a lendület is változik. Ez a tömegváltozás a törvény szerint történik

ahol m 0 a nyugalmi test tömege, c a fénysebesség. Ebből a képletből jól látható, hogy közönséges sebességeknél (ha v nem túl nagy) m nagyon kevéssé különbözik m 0-tól, ezért az impulzust a régi képlet nagyon jó pontossággal fejezi ki.

Egy részecske impulzuskomponensei így írhatók fel

ahol v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Ha az összes kölcsönhatásban lévő részecske momentumának x-komponenseit összegezzük, akkor ez az összeg az ütközés előtt és után is azonos lesz. Ez az impulzus megmaradásának törvénye az x tengely irányában. Ugyanez megtehető bármely más irányban.

ch. 4 már láttuk, hogy az energiamegmaradás törvénye hibás, ha nem ismerjük fel az energia minden formájában való egyenértékűségét, ti. elektromos energia, mechanikus energia, sugárzási energia, termikus stb. Néhány ilyen formáról, például a hőről azt mondhatjuk, hogy energia „rejtett” bennük. Ez felveti a kérdést: nem léteznek-e „rejtett” impulzusformák, mondjuk a „hőimpulzus”? A helyzet az, hogy az impulzusokat nem lehet elrejteni; nagyon nehéz elrejteni a következő okok miatt.

A hőenergia mértéke – az atomok véletlenszerű mozgása egy testben – a sebességük összegzett négyzete. Az eredmény egy bizonyos pozitív mennyiség, amely nem rendelkezik irányjelleggel. A hő tehát a testben van, függetlenül attól, hogy egészében mozog-e vagy sem. Ezért az energia termikus formában való megmaradása nem túl nyilvánvaló. Másrészt, ha összeadjuk azokat a sebességeket, amelyeknek van irányuk, és az eredmény nem nulla, akkor ez azt jelenti, hogy maga az egész test mozog egy bizonyos irányba, és már képesek vagyunk megfigyelni az ilyen makromozgást. . Tehát nincs véletlenszerű belső lendületvesztés: egy testnek csak akkor van bizonyos lendülete, ha egészében mozog. Ez a fő oka annak, hogy az impulzusokat nehéz elrejteni. Ennek ellenére még mindig el lehet rejteni, például egy elektromágneses mezőben. Ez a relativitáselmélet másik jellemzője.

Newton úgy gondolta, hogy a távolsági interakciónak azonnalinak kell lennie. De ez tévesnek bizonyul. Vegyük például az elektromos erőket. Hadd elektromos töltés, amely egy bizonyos ponton található, hirtelen mozogni kezd, akkor a hatása egy másik ponton egy másik töltésre nem lesz azonnali: van egy kis késés. Ebben a helyzetben az impulzusok még akkor sem kompenzálódnak, ha a cselekvés és a reakció erők egyenlőek. Van egy rövid idő, amely alatt valami furcsa történik; míg az első töltés valamilyen erőt tapasztal, és impulzusának megváltoztatásával reagál rá, addig a második úgy áll, mintha mi sem történt volna, és nem változtatja meg az impulzust. A hatás átadása a második töltésre az őket elválasztó távolságon keresztül némi időbe telik: a „befolyás” nem azonnal, hanem egy bizonyos végsebességgel (bár nagyon nagy) 300 000 km/sec. Ez alatt a kis idő alatt a részecskék lendülete nem marad meg. De természetesen miután a második töltés megtapasztalja az első hatását, az impulzusok kompenzálódnak, teljes rend áll be, de egy bizonyos pillanatra mégis megsértették a törvényt. Úgy képzeljük el a dolgot, hogy ebben az intervallumban másfajta impulzus van, mint az mv részecskék impulzusa, ez pedig az elektromágneses tér impulzusa. Ha hozzáadjuk a részecskék momentumához, akkor ez az összeg minden pillanatban megmarad. Azonban az a tény, hogy egy elektromágneses mezőnek lehet lendülete és energiája, valósággá teszi, és az az állítás, hogy a részecskék között erők hatnak, az lesz az állítás, hogy egy részecske teret hoz létre, amely viszont egy másik részecskére hat. Maga a mező számos, a részecskékre hasonló tulajdonsággal rendelkezik; energiát és lendületet hordozhat. Szemléltetésképpen vegyünk egy másik példát; Az elektromágneses térben létezhetnek hullámok, amelyeket fénynek nevezünk. És kiderül, hogy a fény is hordoz valamilyen impulzust, így amikor ráesik egy tárgyra, az impulzusának egy részét átadja neki. Ez egyenértékű valamilyen erő hatásával, mert a megvilágított tárgy megváltoztatja a lendületét, mintha valami erő hatna rá. Tehát egy tárgyra esve a fény nyomást gyakorol rá. Bár ez a nyomás nagyon kicsi, mégis meglehetősen vékony műszerekkel mérhető.

Kiderült, hogy a kvantummechanikában az impulzus szintén nem mv, hanem valami egészen más. Itt már nehéz pontosan meghatározni, hogy mekkora a részecskesebesség, de a lendület még mindig létezik. A különbség az, hogy amikor a részecskék részecskeként működnek, akkor a lendületük még mindig mv, de amikor hullámként működnek, akkor az impulzus már az 1 cm-re eső hullámok számával mérhető: mint több hullám, annál nagyobb az impulzus. E különbség ellenére azonban a lendület megmaradásának törvénye a kvantummechanikában is érvényes. Newton f = ma egyenlete és az impulzusmegmaradás törvényének összes levezetése hibásnak bizonyult, ennek ellenére a kvantummechanikában végül ez a törvény tovább működik!

A klasszikus mechanika felfogása szerint a test tömege állandó mennyiség. Azonban in késő XIX V. elektronokkal végzett kísérletek során megállapították, hogy a test tömege függ mozgási sebességétől, azaz a növekedéssel növekszik. v törvényben

Ahol - pihenő tömeg, azaz egy anyagi pont tömege, abban az inerciális vonatkoztatási rendszerben mérve, amelyhez képest a pont nyugalmi állapotban van; m- a referenciakeret egy pontjának tömege, amelyhez képest sebességgel mozog v.

invariánsnak bizonyul a Lorentz-transzformációk tekintetében, ha tartalmazza a származékát relativisztikus impulzus:

(5.9)

(5.11)

A fenti képletekből az következik, hogy a vákuumban lévő fénysebességnél lényegesen kisebb sebességnél a klasszikus mechanika képletévé alakulnak. Ebből következően a klasszikus mechanika törvényei alkalmazhatóságának feltétele a feltétel. A Newton-törvényeket az SRT következményeként kapjuk a korlátozó esetre. És így, klasszikus mechanika- ez az alacsony (a vákuumban lévő fénysebességhez képest) sebességgel mozgó makrotestek mechanikája.

A tér homogenitása miatt a relativisztikus mechanikában a relativisztikus impulzus megmaradásának törvénye: zárt testrendszer relativisztikus lendülete megmarad, i.e. nem változik idővel.

A test sebességének változása a relativisztikus mechanikában tömegváltozást von maga után, következésképpen teljes energia, azaz A tömeg és az energia között kapcsolat van. Ez az egyetemes függőség - a tömeg és az energia kapcsolatának törvénye- A. Einstein megállapította:

(5.13)

Az (5.13)-ból az következik, hogy bármilyen tömeg (mozgó m vagy nyugalomban) egy bizonyos energiaértéknek felel meg. Ha egy test nyugalomban van, akkor nyugalmi energiája

A nyugalmi energia a test belső energiája, amely az összes részecske mozgási energiájából, kölcsönhatásuk potenciális energiájából és az összes részecske nyugalmi energiáinak összegéből áll.

A relativisztikus mechanikában a nyugalmi tömeg megmaradásának törvénye nem érvényes. Ezen az elképzelésen alapul a nukleáris tömeghiba és a magreakciók magyarázata.

A szervizben végzik A relativisztikus tömeg és energia megmaradásának törvénye: egy test (vagy rendszer) összenergiájának változása a tömegének egyenértékű változásával jár együtt:

Így a test tömege, amely a klasszikus mechanikában a tehetetlenség vagy a gravitáció mértéke, a relativisztikus mechanikában egyben a test energiatartalmának mértéke is.

Az (5.14) kifejezés fizikai jelentése az, hogy alapvetõ lehetõség van a nyugalmi tömeggel rendelkezõ anyagi tárgyak olyan elektromágneses sugárzássá való átmenetére, amelynek nincs nyugalmi tömege; ebben az esetben teljesül az energiamegmaradás törvénye.

Ennek klasszikus példája az elektron-pozitron pár megsemmisülése, és fordítva, az elektromágneses sugárzás kvantumából egy elektron-pozitron pár keletkezése:

A relativisztikus dinamikában az érték kinetikus energia E k a mozgás energiakülönbségeként definiálható Eés pihen E 0 törzs:

(5.15)

Amikor az (5.15) egyenlet lesz a klasszikus kifejezés

Az (5.13) és (5.11) képletekből megtaláljuk a relativisztikus kapcsolatot a test összenergiája és lendülete között:

(5.16)

A tömeg és az energia kapcsolatának törvényét teljes mértékben megerősítik a nukleáris reakciók során felszabaduló energia kísérletei. Széles körben használják a magreakciók és az elemi részecskék átalakulásának energiahatásának kiszámítására.

Rövid következtetések:

A speciális relativitáselmélet a tér és idő új elmélete, amely a klasszikus elképzeléseket váltotta fel. Az SRT alapja az a helyzet, amely szerint vákuumban semmilyen energia, jel nem terjedhet fénysebességet meghaladó sebességgel. Ebben az esetben a fény sebessége vákuumban állandó, és nem függ a terjedési iránytól. Ezt az álláspontot általában Einstein két posztulátuma formájában fogalmazzák meg - a relativitás elve és a fénysebesség állandóságának elve.

A klasszikus mechanika törvényeinek alkalmazási körét az anyagi tárgy mozgási sebessége korlátozza: ha egy test sebessége összemérhető a fénysebességgel, akkor relativisztikus képleteket kell alkalmazni. Így a fény sebessége vákuumban olyan kritérium, amely meghatározza a klasszikus törvények alkalmazhatóságának határát, mert ez a maximális jelátviteli sebesség.

A mozgó test tömegének a mozgási sebességtől való függését az összefüggés határozza meg

Egy test relativisztikus lendülete és ennek megfelelően a mozgásának dinamikájának egyenlete

A relativisztikus mechanikában a sebesség változása a tömegben, következésképpen a teljes energiában is megváltozik:

Az SRT-ben teljesül a relativisztikus tömeg és energia megmaradásának törvénye: egy test összenergiájának változása együtt jár a tömegének egyenértékű változásával:

Ennek a kapcsolatnak a fizikai jelentése a következő: alapvető lehetőség van a nyugalmi tömeggel rendelkező anyagi tárgyak átmenetére olyan elektromágneses sugárzássá, amely nem rendelkezik nyugalmi tömeggel; ebben az esetben teljesül az energiamegmaradás törvénye. Ez a kapcsolat elengedhetetlen a mag- és részecskefizika számára.

Kérdések az önkontrollhoz és az ismétléshez

1. Mi a relativitáselmélet mechanikai elvének fizikai lényege? Miben különbözik Galilei relativitáselmélete az Einstein-féle relativitáselvtől?

2. Milyen okai vannak a speciális relativitáselmélet megalkotásának?

3. Fogalmazza meg a speciális relativitáselmélet posztulátumait!

4. Írja fel a Lorentz-transzformációkat! Milyen feltételek mellett alakulnak át galilei átalakulásokká?

5. Mi a sebességek összeadásának relativisztikus törvénye?

6. Hogyan függ a mozgó test tömege a sebességtől a relativisztikus mechanikában?

7. Írja fel az alapegyenletet! relativisztikus dinamika. Miben különbözik a newtoni mechanika alaptörvényétől?

8. Mi a relativisztikus impulzus megmaradásának törvénye?

9. Hogyan fejeződik ki a kinetikus energia a relativisztikus mechanikában?

10. Fogalmazza meg a tömeg és az energia kapcsolatának törvényét! Mi a fizikai lényege? Határozza meg relativisztikus lendületét és mozgási energiáját!

Adott: kg; v=0,7c; Val vel=3· 10 8 m/s.

Megtalálja: p, E k.

Számítsuk ki a proton relativisztikus impulzusát a képlet segítségével

A részecske kinetikus energiája

Ahol E- mozgó proton összenergiája; E 0 - pihenési energia.

Válasz:R= 5,68·10-19 N·s; Ek= 7,69·10 -11 J.

Önállóan megoldandó problémák

1. Mekkora sebességgel kell mozognia a rúdnak, hogy a mozgás irányú méretei háromszorosára csökkenjenek?

2. A részecske sebességgel mozog v= 8 c. Határozza meg a teljes energiaarányt! relativisztikus részecske pihenő energiájához.

3. Határozza meg azt a sebességet, amellyel egy részecske relativisztikus impulzusa háromszorosára haladja meg newtoni impulzusát!

4. Határozza meg annak az elektronnak a relativisztikus impulzusát, amelynek mozgási energiája: Ek= 1 GeV.

5. Hány százalékkal nő egy elektron tömege, miután gyorsuló elektromos térben 1,5 MV potenciálkülönbségen halad át?

> Relativisztikus impulzus

Olvasni valamiről relativisztikus impulzus: képlet, tömeginvariancia és Lorentz-transzformációk. A newtoni fizika és a relativisztikus mechanika lendületének összehasonlítása.

Relativisztikus impulzusγm 0 vként van megadva (m 0 az objektum invariáns tömege, γ pedig a Lorentz-transzformáció).

Tanulási cél

• Hasonlítsa össze a newtoni és a relativisztikus impulzusokat olyan tárgyak esetében, amelyek sebessége kisebb vagy közel van a fényéhez.

Főbb pontok

• A newtoni fizika azt mutatja, hogy az abszolút idő és tér megfigyelő nélkül létezik, vagyis a fény sebessége rendszerenként változhat.
• A speciális relativitáselméletben a mozgásképlet nem referenciarendszeren alapul, a fénysebesség pedig invariáns.
• A klasszikus mechanikában a relativisztikus és a newtoni momentum megközelítőleg azonos.

Feltételek

• Speciális relativitáselmélet: A fény sebessége minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz marad.
• Lorentz-transzformációk – összekapcsolják az egyik referenciarendszer tér- és időkoordinátáit a másikkal.
• A galilei transzformáció két tartószerkezet koordinátái közötti transzformáció, amelyet stabil relatív elmozdulás jellemez.

Relativisztikus impulzus

A newtoni fizika azt állítja, hogy az abszolút idő és tér megfigyelő nélkül létezik. Itt jelent meg a galilei relativitáselmélet, amely kimondja, hogy a mozgás törvényei minden inerciarendszerben azonosak lesznek. Ez arra is utal, hogy a fény sebessége a rendszertől függően változik. De ez nem felel meg a megfigyeléseknek.

Létrehozás speciális elmélet A relativitáselmélet Albert Einstein arra alapozott, hogy a mozgásegyenletek nincsenek a vonatkoztatási rendszerhez kötve, de a fénysebesség változatlan marad. Ennek eredményeként a Galileo-transzformációt a Lorentz-transzformáció váltotta fel.

Albert Einstein 1921-ben

Vegyünk egy tartószerkezetet, amely egy másikhoz képest v sebességgel mozog x irányban. A galilei transzformáció koordinátákat javasol:

Miközben a Lorentz-transzformáció:

, ahol γ a Lorentz-együttható:

A fizika megmaradási törvényeinek változatlanoknak kell lenniük. Vagyis a megőrzendő tulajdonságnak változatlannak kell maradnia, és nem a mérési feltételek változásán kell alapulnia. Newton második törvénye nem tekinthető invariánsnak a Lorentz-transzformáció tekintetében. De meg lehet csinálni így:

m = γm 0 (m0 az objektum invariáns tömege).

A p = γm 0 v módosított impulzus megfelel Newton második törvényének:

Ha a sebesség kisebb, mint a fény, akkor a newtoni és a relativisztikus impulzus megközelítőleg egyenlő. De ahogy közeledünk a fénysebességhez, a relativisztikus sebesség végtelenné válik, a newtoni pedig tovább növekszik lineárisan.

Ez azt mutatja, hogy a relativisztikus momentum hogyan közelíti meg a végtelent, amikor eléri a fénysebesség jelét. A Newton-féle ekkor lineárisan növekszik

Az Egységes Államvizsga-kódoló témái: összenergia, tömeg és energia kapcsolata, nyugalmi energia.

A klasszikus dinamikában a Newton-törvényekkel kezdtük, majd áttértünk a lendületre, majd az energiára. Itt a bemutatás egyszerűsége érdekében pontosan az ellenkezőjét tesszük: az energiával kezdjük, majd továbblépünk az impulzusra, és a relativisztikus mozgásegyenlettel fejezzük be – Newton második relativitáselméleti törvényének módosítását.

Relativisztikus energia

Tegyük fel, hogy egy izolált tömegű test nyugalomban van egy adott vonatkoztatási rendszerben. A relativitáselmélet egyik leglenyűgözőbb vívmánya a híres Einstein képlete:

Itt van a test energiája, a fény sebessége vákuumban. Mivel a test nyugalomban van, az (1) képlettel számított energiát ún pihenő energia.

Az (1) képlet kimondja, hogy minden testnek magának van energiája – egyszerűen azért, mert a természetben létezik. Képletesen szólva, a természet bizonyos erőfeszítéseket fordított arra, hogy az anyag legkisebb részecskéiből „összerakjon” egy adott testet, és ezen erőfeszítések mértéke a test nyugalmi energiája. Ez az energia nagyon nagy; Tehát egy kilogramm anyag energiát tartalmaz

Kíváncsi vagyok, mennyi üzemanyagot kell elégetni, hogy ennyi energia szabaduljon fel? Vegyünk például egy fát. Fajlagos égéshője J/kg, így azt kapjuk: kg. Ez kilencmillió tonna!

Csak összehasonlításképpen: Oroszország egységes energiarendszere körülbelül tíz nap alatt termel ilyen energiát.

Miért maradt eddig észrevétlenül a testben rejlő hatalmas energia? Miért nem vettük figyelembe a nyugalmi energiát az energia megőrzésével és átalakításával kapcsolatos nem relativisztikus problémákban? Erre a kérdésre hamarosan választ adunk.

Mivel a test nyugalmi energiája egyenesen arányos a tömegével, a nyugalmi energiában bekövetkezett változás a testtömeg változásához vezet.

Így amikor egy testet felmelegítenek, annak belső energia, és ezért a testsúly növekszik! BAN BEN Mindennapi élet rendkívüli kicsisége miatt ezt a hatást nem vesszük észre. Például a kg tömegű víz felmelegítéséhez (a víz fajlagos hőkapacitása egyenlő ) hőmennyiséget kell átadnia:

A víztömeg növekedése egyenlő lesz:

Ilyen jelentéktelen tömegváltozást nem lehet észrevenni a mérőműszerek hibáinak hátterében.

Az (1) képlet a nyugalmi test energiáját adja meg. Mi változik, ha a test mozog?

Tekintsünk ismét egy álló referenciarendszert és egy viszonylag sebességgel mozgó rendszert. Legyen egy tömegtest nyugalomban a rendszerben; akkor a test energiája a rendszerben az (1) képlettel kiszámított nyugalmi energia. Kiderült, hogy egy rendszerbe való beköltözéskor az energia ugyanúgy átalakul, mint az idő - nevezetesen egy test energiája egy olyan rendszerben, amelyben a test sebességgel mozog, egyenlő:

( 2 )

A (2) képletet is Einstein hozta létre. A nagyságrend az teljes energia mozgó test. Mivel ezt a képletet a „relativisztikus gyök” osztja, amely kisebb, mint az egység, a mozgó test összenergiája meghaladja a nyugalmi energiát. A teljes energia csak akkor lesz egyenlő a nyugalmi energiával.

A teljes energia kifejezése (2) lehetővé teszi számunkra, hogy fontos következtetéseket vonjunk le a tárgyak lehetséges mozgási sebességéről a természetben.

1. Minden hatalmas testnek van egy bizonyos energiája, ezért az egyenlőtlenségnek teljesülnie kell

Ez azt jelenti: egy hatalmas test sebessége mindig kisebb, mint a fénysebesség.

2. A természetben vannak tömeg nélküli részecskék (például fotonok), energiát hordozó. A (2) képletbe behelyettesítéskor a számlálója nulla lesz. De a foton energiája nem nulla!

Az ellentmondás elkerülésének egyetlen módja ennek elfogadása tömeg nélküli részecskének fénysebességgel kell mozognia. Ekkor a képletünk nevezője nullára megy, így a (2) képlet egyszerűen meghibásodik. A tömeg nélküli részecskék energiájára vonatkozó képletek megtalálása nem tartozik a relativitáselmélet hatókörébe. Így a fotonenergia kifejezése a következőre van állítva kvantumfizika.

Intuitív módon érezhető, hogy a teljes energia (2) nyugalmi energiából és a tényleges „mozgás energiájából”, azaz a test mozgási energiájából áll. Alacsony sebességnél ez jól látható. Hozzávetőleges képleteket használunk, amelyek érvényesek:

( 3 )
( 4 )

Ezeket a képleteket használva következetesen a (2)-ből kapjuk:

( 5 )

Így alacsony mozgási sebességnél a teljes energia egyszerűen a nyugalmi energia és a mozgási energia összegére csökken. Ez szolgál motivációul a kinetikus energia fogalmának a relativitáselméletben való meghatározásához:

. ( 6 )

Amikor a (6) képlet nemrelativisztikus kifejezéssé változik.

Most megválaszolhatjuk a fent feltett kérdést, hogy miért nem vették még figyelembe a nyugalmi energiát a nem relativisztikus energiaviszonyokban. Amint az (5)-ből látható, kis mozgási sebességnél a nyugalmi energia egy tagként lép be a teljes energiába. Például a mechanika és a termodinamika problémáiban a testek energiájának változása legfeljebb több millió joule-t tesz ki; ezek a változások olyan jelentéktelenek a vizsgált testek nyugalmi energiáihoz képest, hogy tömegükben mikroszkopikus változásokhoz vezetnek. Ezért nagy pontossággal feltételezhetjük, hogy a testek össztömege nem változik mechanikai vagy termikus folyamatok során. Ennek eredményeként a testek nyugalmi energiáinak összegei a folyamat elején és végén egyszerűen lecsökkennek az energiamegmaradás törvényének mindkét részében!

De ez nem mindig történik meg. Más fizikai helyzetekben a testek energiájának változása az össztömeg észrevehetőbb változásához vezethet. Látni fogjuk például, hogy a nukleáris reakciókban a kiindulási és végtermékek tömegének különbsége általában egy százalék töredéke. Például egy uránmag bomlása során a bomlástermékek össztömege megközelítőleg kisebb. mint a kezdeti mag tömege. Az atommag tömegének ez az ezreléke szabadul fel energia formájában, ami egy atombomba felrobbanásakor egy várost elpusztíthat.

Rugalmatlan ütközés során a testek mozgási energiájának egy része belső energiájukká alakul. A teljes energia megmaradásának relativisztikus törvénye ezt a tényt veszi figyelembe: a testek össztömege az ütközés után növekszik!

Tekintsünk példának két tömegű testet, amelyek azonos sebességgel repülnek egymás felé. Rugalmatlan ütközés következtében tömegtest keletkezik, amelynek sebessége a lendület megmaradásának törvénye szerint nullával egyenlő (erről a törvényről később lesz szó). Az energiamegmaradás törvénye szerint a következőket kapjuk:

Látjuk, hogy a kapott test tömege meghaladja a testek ütközés előtti tömegeinek összegét. A -val egyenlő tömegtöbblet az ütköző testek mozgási energiájának belső energiává való átmenete miatt keletkezett.

Relativisztikus impulzus.

Az impulzus klasszikus kifejezése nem megfelelő a relativitáselméletben - különösen nem egyezik a sebességek összeadásának relativisztikus törvényével. Lássuk ezt legközelebb egyszerű példa.

Hagyja, hogy a rendszer sebességgel mozogjon a rendszerhez képest (1. ábra). A rendszerben lévő két tömegtest azonos sebességgel repül egymás felé. Rugalmatlan ütközés következik be.

A rendszerben a testek ütközés után megállnak. Keressük meg, mint fent, a kapott test tömegét:

Most nézzük meg az ütközési folyamatot a rendszer szemszögéből. Az ütközés előtt bal test sebességgel rendelkezik:

A jobb testnek van sebessége:

Rendszerünk nemrelativisztikus lendülete az ütközés előtt egyenlő:

Az ütközés után a keletkező tömegtest gyorsan mozog.
Nem relativisztikus lendülete egyenlő:

Amint látjuk, vagyis a nemrelativisztikus momentum nem konzervált.

Kiderült, hogy a relativitáselméletben az impulzus helyes kifejezését úgy kapjuk meg, hogy a klasszikus kifejezést elosztjuk a „relativisztikus gyökérrel”: a sebességgel mozgó tömegtest impulzusa egyenlő:

Térjünk vissza az imént vizsgált példához, és győződjünk meg arról, hogy most már minden rendben lesz a lendület megmaradásának törvényével.

Ütközés előtti rendszerimpulzus:

Impulzus ütközés után:

Most már minden rendben: !

Az energia és a lendület kapcsolata.

A (2) és (7) képletből a relativitáselméletben figyelemreméltó összefüggést kaphatunk az energia és az impulzus között. A képletek mindkét oldalát négyzetre emeljük:

Alakítsuk át a különbséget:

Ez a szükséges arány:

. ( 8 )

Ez a képlet lehetővé teszi az azonosítást egyszerű csatlakozás a foton energiája és lendülete között. A foton tömege nulla, és fénysebességgel mozog. Amint fentebb már megjegyeztük, magának a fotonnak az energiája és impulzusa nem található meg az SRT-ben: amikor a (2) és (7) képletbe behelyettesítjük a és értékeit, nullákat kapunk a számlálóban és a nevezőben. De a (8) segítségével könnyen megtaláljuk: , ill

( 9 )

A kvantumfizikában a foton energiájára egy kifejezést hoznak létre, amely után a (9) képlet segítségével meghatározzák a lendületét.

Relativisztikus mozgásegyenlet.

Tekintsünk egy tengely mentén egy erő hatására mozgó tömegtestet. A test mozgásegyenlete a klasszikus mechanikában Newton második törvénye:. Ha egy végtelenül kicsi idő alatt a test sebességének növekedése egyenlő, akkor , és a mozgásegyenlet a következő formában lesz felírva:

. ( 10 )

Most megjegyezzük, hogy ez a test nem relativisztikus lendületének változása. Ennek eredményeként megkapjuk Newton második törvényének „impulzus” formáját - a test impulzusának az időhöz viszonyított származéka megegyezik a testre ható erővel:

. ( 11 )

Mindezek a dolgok ismerősek számodra, de soha nem árt megismételni őket ;-)

A klasszikus mozgásegyenlet – Newton második törvénye – invariáns a Galilei-transzformációk tekintetében, amelyek a klasszikus mechanikában az egyik inercia-referenciarendszerből a másikba való átmenetet írják le (ez azt jelenti, hogy ezen átmenet során Newton második törvénye megtartja formáját). Az SRT-ben azonban az inerciális referenciarendszerek közötti átmenetet Lorentz-transzformációk írják le, és ezekre nézve Newton második törvénye már nem invariáns. Következésképpen a klasszikus mozgásegyenletet egy relativisztikusra kell cserélni, amely a Lorentz-transzformációk hatására is megtartja formáját.

Az a tény, hogy Newton második törvénye (10) nem lehet igaz az SRT-ben, jól látható a következő egyszerű példában. Tegyük fel, hogy a testre állandó erő hat. Ekkor a klasszikus mechanika szerint a test állandó gyorsulással fog mozogni; a test sebessége lineárisan nő, és idővel meghaladja a fénysebességet. De tudjuk, mi az valójában
a valóságban ez lehetetlen.

A relativitáselméletben a helyes mozgásegyenletről kiderül, hogy egyáltalán nem bonyolult.
A relativisztikus mozgásegyenlet alakja (11), ahol p a relativisztikus impulzus:

. ( 12 )

A relativisztikus impulzus deriváltja az idő függvényében egyenlő a testre kifejtett erővel.

A relativitáselméletben a (12) egyenlet helyettesíti Newton második törvényét.

Nézzük meg, hogyan fog ténylegesen mozogni egy m tömegű test állandó erő hatására. A (12) képlet feltételével kapjuk:

A sebességet innen kell kifejezni:

. ( 13 )

Lássuk, mit ad ez a képlet kis és hosszú mozgási időkre.
Hozzávetőleges összefüggéseket használunk:

, ( 14 )

. ( 15 )

A (14) és (15) képlet csak a bal oldali jelben tér el a (3) és (4) képlettől. Erősen ajánlom, hogy emlékezzen erre a négy közelítő egyenlőségre – gyakran használják a fizikában.

Tehát kezdjük kis mozgási időkkel. Alakítsuk át a (13) kifejezést a következőképpen:

A kicsiknek a következőket kínáljuk:

Közelítő képleteink következetes használatával a következőket kapjuk:

A zárójelben lévő kifejezés szinte nem különbözik az egységtől, így kis értékekhez a következőket találjuk:

Itt van a test gyorsulása. A klasszikus mechanikából általunk jól ismert eredményt kaptunk: egy test sebessége lineárisan növekszik az idő múlásával. Ez nem meglepő - rövid mozgási időkben a test sebessége is kicsi, így elhanyagolhatjuk a relativisztikus hatásokat és használhatjuk a hétköznapi newtoni mechanikát.

Most pedig térjünk át a nagy időkre. Alakítsuk át másképp a (13) képletet:

Nagy érték esetén a következőket kínáljuk:

Jól látható, hogy amikor a test sebessége folyamatosan közelíti a fénysebességet, de mindig kisebb marad - ahogy azt a relativitáselmélet megköveteli.

A (13) képlettel megadott testsebesség időfüggését grafikusan mutatja be az ábra. 2.

A grafikon kezdeti szakasza majdnem lineáris; A klasszikus mechanika még mindig működik itt. Ezt követően relativisztikus korrekciók lépnek érvénybe, a gráf meghajlik, és a görbénk nagyrészt aszimptotikusan közelít egy egyeneshez.