აქ განვიხილავთ ფუნქციების უფრო ფართო კლასის სერიის გაფართოებებს, ვიდრე ადრე განვიხილეთ, კერძოდ: შევისწავლით ისეთ (ერთმნიშვნელოვან) ფუნქციებს, რომლებიც არ არის მსგავსი მთელ წრეში. ზ-ზო z - zq g = 0, ე.ი. ფუნქციის გაფართოება zq წერტილის პუნქციურ უბანში. ეს გაფართოებები შესაძლებელს ხდის ფუნქციების შესწავლას იმ წერტილების სიახლოვეს, სადაც ისინი კარგავენ ანალიტიკურობას (სინგულარული წერტილები).

გაითვალისწინეთ, რომ სიმძლავრის სერიები ახლა ჩვენთვის საკმარისი არ იქნება, რადგან ასეთი სერიები წარმოადგენს მხოლოდ ფუნქციებს, რომლებიც ანალიტიკურია მთელ წრეზე. z - zq (იხ. თეორემა 22.1). მაგრამ ჩვენ დავამატებთ წევრებს c n (z - zo) nარაუარყოფითი მნიშვნელობებით ნშესაბამის წევრებთან ერთად ნ= -1, -2,... და განვიხილოთ ორი სერიის ჯამი

ფუნქციის გაფართოება f(z)რგოლში ჩვენ შევხედავთ ფორმას

და სერიის კონვერგენციის ქვეშ c n (z - zq)"გაგებულია, როგორც კონვერგენცია

ორივე მწკრივის შესაძლებლობა მარჯვენა მხარეს (25.1). როგორც §22-ში, ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემებს ასეთი დაშლის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ. დავიწყოთ არსებობის თეორემით.

თეორემა 25.1 (ლორანის თეორემა). F(z) ფუნქცია იყოს აპოლიტიკური V რგოლში= (g z - zo:

რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულით

(აქ p არის თვითნებური რიცხვი r-სა და R-ს შორის).

მტკიცებულება. დაე z-ბეჭდის ნებისმიერი წერტილი ვ.ავაშენოთ ბეჭედი ვ= (z" C, - zq R") იწვა რგოლში ვდა შეიცავს პუნქტს ზ.ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ნომრები G"და რ 1 ისე რომ g R" (სურ. 47).

მოდით აღვნიშნოთ გდა Г> წრე 1C - ზო = R"და |C - ზო= g"; ჩვენ ვაყენებთ ორივე წრის გადაკვეთას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მოდით TV აღვნიშნოთ წრე |C - ზა= g" საათის ისრის შემოვლით. ფუნქცია f(z)არის ანალიტიკური V 7 დახურულ დომენში, რომლის საზღვარი Г 7 შედგება მრუდების Гх და 17-ისგან (შეგახსენებთ, რომ საზღვრის ირგვლივ დომენი უნდა დარჩეს მარცხნივ). კოშის ინტეგრალური ფორმულით (იხ. თეორემა 18.1)

პირველი ინტეგრალის სერიის გაფართოება მარჯვენა მხარეს (25.4) ხორციელდება ისევე, როგორც თეორემა 22.2-ის მტკიცებულებაში. ჩვენ წარმოვადგენთ ფუნქციას ფორმაში

უფრო მეტიც, სერია (25.5) ცვლადში აბსოლიტურად და თანაბრად იყრის თავს

C IV-ზე ტოლობების (25.5) გამრავლება ^-:/(?) ფუნქციით, შეზღუდვები

Г1-ზე (შენიშვნა 20.5-ის მიხედვით, სერიების ერთგვაროვანი კონვერგენცია (25.5) ამ შემთხვევაში არ არის დარღვეული) და IV-ის გასწვრივ ტერმინალურად ინტეგრირება მივიღებთ

ასე რომ, ჩვენ გავაფართოვეთ პირველი ინტეგრალი (25.4)-ის მარჯვენა მხარეს, ძალაუფლების კონვერგენტურ სერიაში. (z - G"). მეორე ინტეგრალი (25.4) სხვაგვარად უნდა გაფართოვდეს, რადგან C € Γ-სთვის ეს იქნება ზ - ზო >|C - Zq და, შესაბამისად, სერია (25.5) განსხვავდება. ჩვენ გვაქვს

ფორმულის (22.C) ხელახლა გამოყენებით მივიღებთ

ყველა C € Г2-სთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია

სერიიდან მოყოლებული qi nიყრის თავს, მაშინ ერთიანი კრიტერიუმის ძალით

ვაიერშტრასის კონვერგენცია (თეორემა 20.2), (25.8)-ის მარჯვენა მხარეს მდებარე სერიები ემთხვევა Г-ს ოაბსოლუტურად და ერთნაირად ცვლადში?. ჩვენთვის მოსახერხებელია ამ სერიის ოდნავ განსხვავებული ფორმით გადაწერა ახალი შემაჯამებელი ინდექსის შემოღებით. რომთანასწორობა რომ = -p- 1, ე.ი. ნ = -რომ - 1. როცა ნიღებს მნიშვნელობებს 0,1,2,..., ინდექსს რომგადის -1, -2, -3____ მნიშვნელობებს

გავამრავლოთ ტოლობები (25.9)-ზე f(Q(რაც არ დაარღვევს უნიფორმას

სერიების დაახლოება (25.9) წრეზე Γr) და ინტეგრირება ტერმინის მიხედვით Γr-ის გასწვრივ:

ინდექსი რომფორმულებში (25.10), (25.11) შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ასოთი; კერძოდ, შეგვიძლია ისევ აღვნიშნოთ n-ით, სადაც ნ= - 1,- 2,... გაფართოებების (25.6) და (25.10) ჩანაცვლებით (25.4) მივიღებთ ტოლობას (25.2). ფუნქცია. არის ანალიტიკური

(ერთად - ზო)ნ+ლ

რგოლში g g 0 p, ისეთი რომ r მაშინ ორივე წრე Ti და Гг შეიძლება შეიცვალოს წრით |С - zq = р. ამ შემთხვევაში ტოლობები (25.7) და (25.11) ჩაიწერება ერთჯერადი ფორმულა(25.3). თეორემა 25.3 დადასტურებულია.

სერია (25.2) მთელი რიცხვებით (ზ- -ე) (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი), რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმით -

ლამ (25.3), ე.წ ლორანის გვერდითფუნქციები ვ(ზ).მწკრივი ^2 c n (z -

ნ=0

• - ზო)ნდაურეკა მარჯვენა ნაწილიდა სერიალი c n (z - zq) u (დაწერეთ

ასევე c n( z - z o) n) - ძირითადი ნაწილი Laurent სერია (გონივრული

სახელების ზუსტი ბუნება მოგვიანებით გახდება ცნობილი).

ახლა მივმართოთ გაფართოების უნიკალურობის საკითხს (25.2).

თეორემა 25.2 (უნიკალურობის თეორემა ლორანის სერიაში ფუნქციის გაფართოებისთვის). შეუშვით რამდენიმე რგოლი V= (g z - zo (25.2). შემდეგ f(z) არის

ანალიტიკური ფუნქცია V-ში და კოეფიციენტები n-ით, n = 0, ±1, ±2.... გაფართოებები ცალსახად განისაზღვრება ფორმულებით (25.3).

მტკიცებულება. ვინაიდან, თეორემის პირობების მიხედვით, სერია (25.2) იყრის თავს V,შემდეგ ორივე სერია იყრის თავს (25.1) კომპოზიციის მარჯვენა მხარეს

ტყუილი სერია (25.2). პირველი არის რიგი Y1 °n(z ~ z o) n ~არის

ჩვეულებრივი სიმძლავრის სერია, რომელიც იკრიბება ცენტრთან გარკვეულ წრეში ზოდა განსხვავდებიან ამ წრის გარეთ. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა ვ, შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის წრეში. თანხიდან გამომდინარე

სიმძლავრის სერია ანალიტიკურია კონვერგენციის წრეში (საკუთრება 21.6), მაშინ

ჯამი Si (.გ) სერია c n (z - zq) h არის ანალიტიკური in ვ.ქონებით 21.5,

ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს ნებისმიერ წრეში z- zq R"

მაგრამ რიცხვი c n(z - zo) n -მოდით შევცვალოთ ცვლადები დაყენებით Z=

=-, რომ= - n შემდეგ შესწავლილი სერია მიიღებს V ფორმას C-uZკ. ეს

z ~ z o k=l

სერია არის სიმძლავრის სერია ცვლადის მიმართ ზ სცენტრი ზო= 0: ის ხვდება რაღაც წრეში თან R "o ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს (თვისება 21.5). ახლა დავუბრუნდეთ ცვლადს ზ.შემდეგ შემოხაზეთ

/?o გადავა ნაკრებში --- z - zo >1 / რო,იმათ. წრის ექსტერიერში zq რადიუსის ცენტრით 1/Lo- ამრიგად, სერია

^2 c n (z -ზო)ნიყრის თავს |z - ზო > ლ/როანალიტიკურ ფუნქციას ნ=-1

tion 5-2(g) და განსხვავდება at ზ - zo 1 /Rq. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა V,შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის რეგიონში ზ-ზო >ამ რიგის 1/იაო. ამავე დროს, ტერიტორიაზე ზ- ზო > 1 //?დაახლოებით ს N® მაგრამკონვერგენცია ერთგვაროვანი იქნება. კერძოდ, რადი თანაბრად იყრის თავს |ზ - ზო > გ“, თუ გ" >გ.

ასე რომ, ორივე სერია (25.1) მარჯვენა მხარეს ერწყმის რგოლში ვდა მათი ჯამები Si(z) და S-j(z) ანალიტიკურია ვ.ასე რომ ფუნქცია f(z) =სი (z) + 4* S-z(z)ანალიტიკური წელს ვ.

ვაჩვენოთ, რომ კოეფიციენტები s pგაფართოებები განისაზღვრება ცალსახად ფორმულებით (25.3). ავიღოთ წრე Г = (ზ - ზო= /?), სად დ ავიღოთ ნომრები G"და R"ისე რომ d ორივე მწკრივი მარჯვენა მხარეს (25.1) ერთნაირად ერწყმის რგოლს ვ= = (z; z - ზო R 1)-ეს ნიშნავს რიგს

მასში ერთნაირად იყრის თავს. ეს თვისება დარჩება ორივე მხარის თვითნებურ ძალაზე გამრავლების შემდეგ (z - zo)~ n ~ l, n = О, ±1, ±2_____ რადგან თითოეული ეს გრადუსი არის ლიმიტის ფუნქცია

ღირებული in ვ(იხ. შენიშვნა 20.5):

თეორემა 20.4-ის ძალით, შედეგად მიღებული სერიები შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით Γ გასწვრივ:

ახლა გამოვიყენოთ თანასწორობა (15.7):

რომლის მიხედვითაც (25.12) მარცხენა მხარეს ყველა ინტეგრალი ნულის ტოლია, გარდა ერთისა, რომლისთვისაც k - p - 1 = - 1 (ე.ი. რომ = წ)და რომელიც უდრის 2ტგგ. ამრიგად, ჯამში (25.12) რჩება მხოლოდ ერთი ვადა k = n,და ვიღებთ

რომელიც უტოლდება თანასწორობას (25.3). თეორემა 25.2 დადასტურებულია.

თეორემა 25.2-ის მტკიცებულებაში დავადგინეთ, რომ სერია (25.2) მცირდება ორი სიმძლავრის სერიის გაერთიანებამდე, რომელთაგან ერთი კონვერგირდება წრის შიგნით zq ცენტრით, ხოლო მეორე უფრო მცირე რადიუსის წრის გარეთ, იგივე ცენტრით (თუ მეორე წრის რადიუსი უფრო დიდი იყო, მაშინ სერიების კონვერგენციის სიმრავლე (25.2) ცარიელი იქნებოდა). ავღნიშნოთ ამ წრეების რადიუსი რ და გშესაბამისად (აქ არ არის ნათქვამი, რომ ეს რიცხვები ემთხვევა ბეჭდის გარე და შიდა რადიუსებს ვთეორემებში 25.1, 25.2). აქედან და სიმძლავრის სერიის თვისებებიდან (იხ. §21) გამომდინარეობს შემდეგი თვისებებისერია (25.2).

საკუთრება 25.3. სერიის კონვერგენციის ნაკრები (25.2) არის ბეჭედი V= (z z - zq R) მის საზღვარზე ზოგიერთი ან ყველა წერტილის შესაძლო დამატებით. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია r = 0 შემთხვევები და R =ოო.

საკუთრება 25.4. ჯამი 5 (გ) რიგი (25.2) არის ანალიტიკური ფუნქცია V რგოლის შიგნით.

ქონება 25.5. მწკრივი (25.2) შეიძლება ნებისმიერი რიცხვის V რგოლში ტერმინების ტერმინების ინტეგრირება და დიფერენცირებაჯმ. მიღებულ სერიას აქვს V კონვერგენციის იგივე რგოლი, რა

და ორიგინალური სერია (25.2); კონვერგენცია სასაზღვრო წერტილებში შეიძლება არ იყოს დაცული.

საკუთრება 25.6. თუ V = (გ ზოარის f(z.) ფუნქციის ლორანის სერიის კონვერგენციის რგოლი) და 0

მტკიცებულება. ლორანის ფუნქციების სერია/ (z)არის ერთიანი oo 1

ორი სიმძლავრის სერიის კომბინაცია °n(z ~ z o) nდა c_*Z*, სადაც ზ =-.

n=0 კ-ზ-ზ0

ამ სერიების კონვერგენციის წრეებია ზ- 2o| რ და z - zo = R და = 1/გ (ე.ი. z - zo = გ)ტყუილი ცალკეული წერტილები

ფუნქციები Si(z) = c n(z - Zq)შენ და S-2 (z) = Cn(z-z 0)nშესაბამისად

რეალურად. შესაბამისად, ეს წრეები შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს f(z)= Si (გ) + S-2 (z),ქ.ე.დ.

Laurent-ის სერიის გაფართოებების მოსაძებნად, ფართოდ გამოიყენება იგივე ტექნიკა, რაც ტეილორის სერიის გაფართოებისთვის, კერძოდ, ჩანაცვლების მეთოდი, ტერმინების ტერმინების ინტეგრაცია და დიფერენციაცია და ა.შ.

მაგალითი 25.7. იპოვეთ ფუნქციის ყველა ლორენტის გაფართოება

/( g) = f ხარისხებში (z - 1).

" z(z - 1)

გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ცვლადის ცვლილება: ვ = z- 1, ე.ი. z = w +

1. ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას r/(rc) = .

ვ. . ერთხელ -(ვ

მიღებული წილადი ჩადეთ უმარტივესი წილადების ჯამში (დამატებითი ინფორმაციისთვის უმარტივესი წილადების ჯამში გაფართოების შესახებ იხილეთ §32 ჩვენ ვეძებთ გაფართოებას).

სად ადა დნომრები, რომლებსაც ცდილობთ იპოვოთ. ამ მიზნით, ჩვენ მივყავართ წილადებს მარჯვნივ საერთო მნიშვნელზე:

აქედან გამომდინარეობს w + 2 = A(w + 1) + Bw,და თანასწორობა მოქმედებს ყველა ღირებულებისთვის ვ, მათ შორის w = 0 და w =- 1 (ეს გამომდინარეობს მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიეს თანასწორობა). ზე w = 0 მივიღებთ 2 = .4, ე.ი. ა= 2; ჩანაცვლება w =-1, ჩვენ გვაქვს 1 = -B,იმათ. IN= - 1. ამრიგად,

ამ ფუნქციას აქვს ცალკეული წერტილები w = 0, w = - 1 და, შესაბამისად, აპოლიტიკური რგოლებში V'i = (0 ვ

ზე w> 1 შედეგად მიღებული სერია წყვეტს შეკრებას. ამიტომ ფუნქციის გაფართოება გ(ვ)რინგში უ 2 წილადი უნდა გარდაიქმნას:

როდის | w| > 1 იქნება -

ნაცვლად ზჩასვით ლ/ვ.მითითებული ჩანაცვლების განხორციელებისას ვიღებთ

(ჩვენ გავაკეთეთ ჩანაცვლება k = - (n+ 1) და გამოიყენა ტოლობა (- 1)* = (-I) - *). ცვლადზე დაბრუნება z-w+ 1, ვიღებთ ფუნქციის საჭირო გაფართოებებს f(z):

ახალი წევრი - - (ძირითადი ნაწილის ყველა სხვა კოეფიციენტი ტოლია

ჩვენ ნულოვანი ვართ) და სერია (25.13) იძლევა გაფართოების სწორ ნაწილს. 1 z - 1| z - 1| = 0 რადიუსით 0u|r-1| = 1 რადიუსით 1) შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს ვ(ზ).

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულებისაიტზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება ვებ გვერდზე, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომლებიც ავტომატურად გენერირებულია Wolfram Alpha-ს მიერ. . გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდიხელს შეუწყობს საიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. ის დიდი ხანია მუშაობს (და, ვფიქრობ, იმუშავებს სამუდამოდ), მაგრამ უკვე მორალურად მოძველებულია.

თუ თქვენ რეგულარულად იყენებთ მათემატიკურ ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax - სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკურ აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

არსებობს ორი გზა MathJax–ის გამოყენების დასაწყებად: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს საიტზე, რომელიც იქნება შესაფერისი მომენტიავტომატურად იტვირთება დისტანციური სერვერიდან (სერვერების სია); (2) ჩამოტვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი - უფრო რთული და შრომატევადი - დააჩქარებს თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვას და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და სულ რაღაც 5 წუთში შეძლებთ MathJax-ის ყველა ფუნქციის გამოყენებას თქვენს საიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან ორი კოდის ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდზე:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის და ან ტეგის შემდეგ დაუყოვნებლივ. პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვამთ, გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად უმარტივესი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი ჩამოტვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). სულ ესაა. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ ჩასვათ მათემატიკური ფორმულები თქვენი საიტის ვებ გვერდებში.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობით. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის ასაგებად განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად სიბრტყეებით 27 თანაბარ კუბებად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. შედეგი არის ნაკრები, რომელიც შედგება დარჩენილი 20 პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. უსასრულოდ ვაგრძელებთ ამ პროცესს, ვიღებთ მენგერის ღრუბელს.

თეორემა ანალიტიკური ფუნქციის სიმძლავრის სერიად გაფართოების შესახებ (ტეილორის თეორემა).

დაე, ფუნქცია იყოს ანალიტიკური უბრალოდ დაკავშირებულ დომენში ნაწილებად გლუვი საზღვრით
,
. შემდეგ ფუნქცია
ფართოვდება ძალაუფლების სერიებად
წრეში
(მანძილი წერტილიდან ტერიტორიის საზღვრამდე).

მტკიცებულება.წერტილი შიგნით დევს , ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მთლიანად ტყუილები ამ ტერიტორიაზე

.

ფუნქცია
- ანალიტიკურში და ზე
. ანუ
on .

.

და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით

. მართლაც, კოშის ინტეგრალური ფორმულის დასკვნა

. გაითვალისწინეთ, რომ ტეილორის სერია რეალური ცვლადის ფუნქციისთვის დაიწერა ზუსტად იმავე გზით:
. ამრიგად, ნაჩვენებია, რომ ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურია წრეში, გაფართოვებულია მასში კონვერგენტული სიმძლავრის სერიაში. ეს დაშლა ერთადერთია, რაც აღმოჩნდება ტეილორის გვერდითამ ფუნქციისთვის. გაფართოების კოეფიციენტები გამოითვლება ცალსახად ფორმულების გამოყენებით

.

კოშის უტოლობები.

, სად

. ამრიგად, კოშის უტოლობა მოქმედებს ტეილორის სერიის კოეფიციენტებისთვის ფუნქციის გაფართოების წერტილის სამეზობლოში.
. კოშის ინტეგრალური თეორემის დასკვნის საფუძველზე გამრავლებით დაკავშირებული დომენისთვის, აქ R შეიძლება არჩეული იყოს ნებისმიერი გზით, სანამ R არ აღემატება მანძილს წერტილიდან. გ ტერიტორიის საზღვრამდე.

ლორანის სერია.

ლორანის რიგს მწკრივი ეწოდება
=
+
.

მეორე ტერმინი არის სიმძლავრის სერია და, როგორც ნებისმიერი სიმძლავრის სერია, იყრის თავს წრეში
. ამ ტერმინს უწოდებენ ლორანის სერიის სწორ ნაწილს და, როგორც სიმძლავრის სერიის ჯამი, არის ანალიტიკური ფუნქცია.

პირველ ტერმინს Laurent-ის სერიის ძირითად ნაწილს უწოდებენ. მასში ჩანაცვლების გაკეთება
, ძირითად ნაწილს ვწერთ ფორმაში
. ცვლადთან შედარებით t

ეს არის სიმძლავრის სერია, რომელიც გადადის გარკვეულ წრეში
. დავუბრუნდეთ z ცვლადს, აღმოვაჩენთ, რომ ძირითადი ნაწილი თავსდება r რადიუსის წრის გარეთ:

. Laurent სერია იყრის თავს რეგიონში, რომელიც წარმოადგენს რეგულარული და ძირითადი ნაწილების კონვერგენციის რეგიონების კვეთას. ამიტომაც ლორანის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის წრიული რგოლი
. დაახლოების რადიუსები r, R დადგენილია სიმძლავრის სერიებისთვის ჩვეული წესით, ასევე შესწავლილია კონვერგენცია რგოლის საზღვრებში, როგორც სიმძლავრის სერიებში. რგოლი შეიძლება იყოს გადაგვარებული, წრე, თუ r = R, ან ცარიელი ნაკრები, თუ r > R.

ლორანის თეორემა.

ფუნქცია
, ანალიტიკური წრიულ რგოლში
და მის საზღვარზე, ფართოვდება მასში კონვერგენციულ Laurent სერიაში.

განვიხილოთ წრიული ბეჭედი , ავაშენოთ მის შიგნით კიდევ ერთი წრიული რგოლი რადიუსებით ასე რომ . განვიხილოთ თვითნებური წერტილი შიდა რგოლში დახაზეთ მისგან, როგორც ცენტრიდან, რადიუსის წრე ისე, რომ იგი მთლიანად დევს შიდა რგოლში. = +

კოშის თეორემით გამრავლებით დაკავშირებული დომენისთვის
=
-
.

განვიხილოთ თითოეული ტერმინი ცალკე.

1) ბ პირველი ვადამოდით გავიმეოროთ ყველა გამოთვლა ტეილორის თეორემის მტკიცებულებიდან გამომდინარე
,
.

მას შემდეგ, რაც შედეგად მიღებული სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით
.

ფუნქცია
- ანალიტიკური შესახებ
მაშასადამე, ის უწყვეტია და შემოიფარგლება . ანუ
on .

მოდით გავამრავლოთ მიღებული სერია უწყვეტი შემოსაზღვრული ფუნქციით
.

. ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით
. შესაბამისად, მისი ინტეგრირება შესაძლებელია ტერმინის მიხედვით, კონვერგენტული სერიის მიღებით.

, სადაც არის ტეილორის სერიის კოეფიციენტები

=

).

2) განვიხილოთ მეორე ტერმინი, ვარაუდით
,
.

ეს სამართლიანია, რადგან აქ
.

ფუნქცია
- ანალიტიკური შესახებ
მაშასადამე, ის უწყვეტია და შემოიფარგლება . ანუ
on .

მოდით გავამრავლოთ მიღებული სერია უწყვეტი შემოსაზღვრული ფუნქციით

. ეს სერია მაჟორიზებულია უსასრულოდ კონვერტაციით

ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
და ერთიანად იყრის თავს ვეიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით წრის გარეთ
. შესაბამისად, მისი ინტეგრირება შესაძლებელია ტერმინის მიხედვით, კონვერგენტული სერიის მიღებით.

, სადაც არის ტეილორის სერიის კოეფიციენტები
.
(კოშის თეორემის დასკვნა გამრავლებით დაკავშირებული დომენისთვის, ინტეგრაცია დასრულდა შეიძლება შეიცვალოს ინტეგრაციით
).

მიღებულ გაფართოებებს დავუმატებთ ორ ტერმინს, მივიღებთ ფუნქციის გაფართოებას ლორანის სერიებში

, სადაც ლორანის სერიის კოეფიციენტები .
.

ლორანის სერიის კოეფიციენტებისთვის კოშის უტოლობა ანალოგიურად არის მიღებული
.

ფუნქციის გაფართოება Taylor, Maclaurin და Laurent სერიებში საიტზე პრაქტიკული უნარების მომზადებისთვის. ფუნქციის ეს სერიის გაფართოება მათემატიკოსებს საშუალებას აძლევს შეაფასონ ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობა მისი განსაზღვრების დომენის გარკვეულ მომენტში. ასეთი ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა გაცილებით ადვილია ბრედისის ცხრილის გამოყენებასთან შედარებით, რაც ასე შეუსაბამოა კომპიუტერული ტექნოლოგიების ეპოქაში. ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიაში ნიშნავს ამ სერიის წრფივი ფუნქციების კოეფიციენტების გამოთვლას და ამის ჩაწერას სწორი ფორმა. მოსწავლეები ერთმანეთში ურევენ ამ ორ სერიას, ვერ ხვდებიან რა არის ზოგადი შემთხვევა, და რა არის მეორე განსაკუთრებული შემთხვევა. ერთხელ და სამუდამოდ შეგახსენებთ მაკლარინის სერიას - განსაკუთრებული შემთხვევატეილორის სერია, ანუ ეს არის ტეილორის სერია, მაგრამ x = 0 წერტილში. ყველა მოკლე ჩანაწერი ცნობილი ფუნქციების გაფართოებისთვის, როგორიცაა e^x, Sin(x), Cos(x) და სხვა, არის ტეილორის სერიის გაფართოებები, მაგრამ არგუმენტისთვის 0 წერტილში. რთული არგუმენტის ფუნქციებისთვის, Laurent სერია არის ყველაზე გავრცელებული პრობლემა TFCT-ში, რადგან ის წარმოადგენს ორმხრივ უსასრულო სერიას. ეს არის ორი სერიის ჯამი. ჩვენ გირჩევთ ნახოთ დაშლის მაგალითი პირდაპირ ვებსაიტზე, ამის გაკეთება ძალიან ადვილია ნებისმიერი ნომრით „მაგალითი“ და შემდეგ ღილაკზე „გადაწყვეტა“. ფუნქციის სწორედ ეს გაფართოება სერიად ასოცირდება მაჟორიზებელ სერიასთან, რომელიც ზღუდავს თავდაპირველ ფუნქციას გარკვეულ რეგიონში ორდინატთა ღერძის გასწვრივ, თუ ცვლადი ეკუთვნის აბსცისის რეგიონს. ვექტორული ანალიზი შედარებულია მათემატიკის სხვა საინტერესო დისციპლინასთან. ვინაიდან თითოეული ტერმინი შესასწავლია, პროცესი საკმაოდ დიდ დროს მოითხოვს. ტეილორის ნებისმიერი სერია შეიძლება ასოცირებული იყოს მაკლორინის სერიებთან x0-ით ნულით შეცვლით, მაგრამ მაკლორინის სერიებისთვის ზოგჯერ აშკარა არ არის ტეილორის სერიის საპირისპირო წარმოდგენა. რამდენიც არ უნდა იყოს საჭირო ამის გაკეთება სუფთა ფორმა, მაგრამ საინტერესოა ზოგადი თვითგანვითარებისთვის. Laurent-ის ყველა სერია შეესაბამება ორმხრივ უსასრულო სიმძლავრის სერიას მთელ რიცხვებში უფლებამოსილებები ზ-ასხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იგივე ტეილორის ტიპის სერია, მაგრამ ოდნავ განსხვავებული კოეფიციენტების გამოთვლაში. ლორანის სერიის კონვერგენციის რეგიონზე ცოტა მოგვიანებით, რამდენიმე თეორიული გამოთვლების შემდეგ ვისაუბრებთ. როგორც გასულ საუკუნეში, ფუნქციის ეტაპობრივი გაფართოება სერიაში ძნელად მიიღწევა ტერმინების საერთო მნიშვნელზე მიყვანით, რადგან მნიშვნელებში ფუნქციები არაწრფივია. პრობლემების ფორმულირებით საჭიროა ფუნქციური მნიშვნელობის სავარაუდო გამოთვლა. იფიქრეთ იმაზე, რომ როდესაც ტეილორის სერიის არგუმენტი არის წრფივი ცვლადი, მაშინ გაფართოება ხდება რამდენიმე ეტაპად, მაგრამ სურათი სრულიად განსხვავებულია, როდესაც გაფართოებული ფუნქციის არგუმენტი რთული ან არაწრფივი ფუნქციაა, მაშინ პროცესი სიმძლავრის სერიაში ასეთი ფუნქციის წარმოდგენა აშკარაა, რადგან ამ გზით ადვილია გამოთვლა, თუმცა მიახლოებითი მნიშვნელობა, განსაზღვრების რეგიონის ნებისმიერ წერტილში, მინიმალური შეცდომით, რომელიც მცირე გავლენას ახდენს შემდგომ გამოთვლებზე. ეს ასევე ეხება მაკლარინის სერიებს. როცა აუცილებელია ფუნქციის გამოთვლა ნულოვან წერტილში. თუმცა, თავად ლორანის სერია აქ წარმოდგენილია წარმოსახვითი ერთეულებით თვითმფრინავზე გაფართოებით. ასევე არ იქნება უშედეგოდ სწორი გადაწყვეტილებაამოცანები მთელი პროცესის განმავლობაში. ეს მიდგომა არ არის ცნობილი მათემატიკაში, მაგრამ ის ობიექტურად არსებობს. შედეგად, თქვენ შეგიძლიათ მიხვიდეთ ეგრეთ წოდებული წერტილოვანი ქვესიმრავლეების დასკვნამდე და სერიებში ფუნქციის გაფართოებისას თქვენ უნდა გამოიყენოთ ამ პროცესისთვის ცნობილი მეთოდები, როგორიცაა წარმოებულების თეორიის გამოყენება. კიდევ ერთხელ დავრწმუნდით, რომ მასწავლებელი მართალი იყო, რომელმაც გამოთვლების შემდგომი გამოთვლების შედეგების შესახებ თავისი ვარაუდი გააკეთა. აღვნიშნოთ, რომ ტეილორის სერია, მიღებული მათემატიკის ყველა კანონის მიხედვით, არსებობს და განისაზღვრება მთელ რიცხვით ღერძზე, თუმცა, საიტის სერვისის ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაივიწყოთ ორიგინალური ფუნქციის ტიპი, რადგან შეიძლება აღმოჩნდეს. რომ თავდაპირველად აუცილებელია ფუნქციის განსაზღვრის დომენის დადგენა, ანუ ჩაწერა და შემდგომი განხილვისაგან გამორიცხვა ის პუნქტები, რომლებშიც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული რეალური რიცხვების დომენში. ასე ვთქვათ, ეს აჩვენებს თქვენს ეფექტურობას პრობლემის გადაჭრაში. ნულოვანი არგუმენტის მქონე მაკლარინის სერიის აგება არ იქნება გამონაკლისი ნათქვამიდან. ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნის პროცესი არ გაუქმებულა და ამ მათემატიკურ ოპერაციას მთელი სერიოზულობით უნდა მიუდგეთ. ლორანის სერიის შემთხვევაში, რომელიც შეიცავს ძირითად ნაწილს, პარამეტრს "a" დაერქმევა იზოლირებული სინგულარული წერტილი, ხოლო ლორანის სერია გაფართოვდება რგოლში - ეს არის მისი ნაწილების კონვერგენციის არეების კვეთა, შესაბამისად. მოჰყვება შესაბამისი თეორემა. მაგრამ ყველაფერი არ არის ისეთი რთული, როგორც ეს ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს გამოუცდელი სტუდენტისთვის. ტეილორის სერიების შესწავლის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ ლორანის სერია - განზოგადებული შემთხვევა რიცხვების სივრცის გაფართოებისთვის. ფუნქციის ნებისმიერი სერიის გაფართოება შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ ფუნქციის განსაზღვრის დომენის წერტილში. მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ფუნქციების ისეთი თვისებები, როგორიცაა პერიოდულობა ან უსასრულო დიფერენციალურობა. ჩვენ ასევე გირჩევთ გამოიყენოთ ტეილორის სერიის ელემენტარული ფუნქციების მზა გაფართოებების ცხრილი, რადგან ერთი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათობით სხვადასხვა სიმძლავრის სერიებით, როგორც ეს ჩანს ჩვენი ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით. ონლაინ სერიამაკლარინის დადგენა ისეთივე მარტივია, როგორც მსხლის დაჭედვა, თუ იყენებთ საიტის უნიკალურ სერვისს, უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ სწორი წერილობითი ფუნქცია და წარმოდგენილ პასუხს რამდენიმე წამში მიიღებთ, გარანტირებული იქნება ზუსტი და სტანდარტული. წერილობითი ფორმა. თქვენ შეგიძლიათ დააკოპიროთ შედეგი პირდაპირ სუფთა ასლში მასწავლებელს წარსადგენად. სწორი იქნებოდა ჯერ განვსაზღვროთ რგოლებში განსახილველი ფუნქციის ანალიტიურობა და შემდეგ ცალსახად განვაცხადოთ, რომ ის გაფართოვდება ლორანის სერიაში ყველა ასეთ რგოლში. მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგვავიწყდეს უარყოფითი ძალების შემცველი Laurent სერიის პირობები. რაც შეიძლება მეტი ყურადღება გაამახვილეთ ამაზე. კარგად გამოიყენეთ ლორანის თეორემა ფუნქციის გაფართოების შესახებ მთელ რიცხვებში.

თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა რიგის წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:
,
სად r n- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ტერმინი ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც რიცხვი x არის x-სა და a-ს შორის.

f(x)=

წერტილში x 0 = რიგის ელემენტების რაოდენობა 3 4 5 6 7

გამოიყენეთ ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ფუნქციების შეყვანის წესები:

თუ რაიმე ღირებულებისთვის X r n→0 საათზე ნ→∞, მაშინ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა ხდება კონვერგენტული ამ მნიშვნელობისთვის ტეილორის სერია:
,
ამგვარად, ფუნქცია f(x) შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში განსახილველ x წერტილში, თუ:
1) მას აქვს ყველა ბრძანების წარმოებულები;
2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

როდესაც a = 0 ვიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინის სერია:
,
მაკლარინის სერიის უმარტივესი (ელემენტარული) ფუნქციების გაფართოება:
ექსპონენციალური ფუნქციები
, R=∞
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ფუნქცია actgx არ ფართოვდება x-ის ხარისხებში, რადგან ctg0=∞
ჰიპერბოლური ფუნქციები


ლოგარითმული ფუნქციები
, -1