თეორემა ანალიტიკური ფუნქციის სიმძლავრის სერიად გაფართოების შესახებ (ტეილორის თეორემა).

დაე, ფუნქცია იყოს ანალიტიკური უბრალოდ დაკავშირებულ დომენში ნაწილებად გლუვი საზღვრით
,
. შემდეგ ფუნქცია
ფართოვდება ძალაუფლების სერიებად
წრეში
(მანძილი წერტილიდან ტერიტორიის საზღვრამდე).

მტკიცებულება.წერტილი შიგნით დევს , ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ მთლიანად ტყუილები ამ ტერიტორიაზე

.

ფუნქცია
- ანალიტიკურში და ზე
. ანუ
on .

.

და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით

. ფაქტობრივად, კოშის ინტეგრალური ფორმულის დასკვნა

. გაითვალისწინეთ, რომ ტეილორის სერია რეალური ცვლადის ფუნქციისთვის დაიწერა ზუსტად იმავე გზით:
. ამრიგად, ნაჩვენებია, რომ ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურია წრეში, გაფართოვებულია მასში კონვერგენტული სიმძლავრის სერიაში. ეს დაშლა ერთადერთია, რაც აღმოჩნდება ტეილორის გვერდითამ ფუნქციისთვის. გაფართოების კოეფიციენტები გამოითვლება ცალსახად ფორმულების გამოყენებით

.

კოშის უტოლობები.

, სად

. ამრიგად, კოშის უტოლობა მოქმედებს ტეილორის სერიის კოეფიციენტებისთვის ფუნქციის გაფართოების წერტილის სამეზობლოში.
. კოშის ინტეგრალური თეორემის დასკვნის საფუძველზე გამრავლებით დაკავშირებული დომენისთვის, აქ R შეიძლება არჩეული იყოს ნებისმიერი გზით, სანამ R არ აღემატება მანძილს წერტილიდან. გ ტერიტორიის საზღვრამდე.

ლორანის სერია.

ლორანის რიგს მწკრივი ეწოდება
=
+
.

მეორე ტერმინი არის სიმძლავრის სერია და, როგორც ნებისმიერი სიმძლავრის სერია, იყრის თავს წრეში
. ამ ტერმინს უწოდებენ ლორანის სერიის სწორ ნაწილს და, სიმძლავრის სერიის ჯამის მსგავსად, არის ანალიტიკური ფუნქცია.

პირველ ტერმინს Laurent-ის სერიის ძირითად ნაწილს უწოდებენ. მასში ჩანაცვლების გაკეთება
, ძირითად ნაწილს ვწერთ ფორმაში
. ცვლადთან შედარებით t

ეს არის სიმძლავრის სერია, რომელიც გადადის გარკვეულ წრეში
. დავუბრუნდეთ z ცვლადს, აღმოვაჩენთ, რომ ძირითადი ნაწილი თავსდება r რადიუსის წრის გარეთ:

. Laurent სერია იყრის თავს რეგიონში, რომელიც წარმოადგენს რეგულარული და ძირითადი ნაწილების კონვერგენციის რეგიონების კვეთას. ამიტომაც ლორანის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის წრიული რგოლი
. კონვერგენციის r,R რადიუსი განისაზღვრება სიმძლავრის სერიებისთვის ჩვეული წესით. რგოლი შეიძლება იყოს გადაგვარებული, წრე, თუ r = R, ან ცარიელი ნაკრები, თუ r > R.

ლორანის თეორემა.

ფუნქცია
, ანალიტიკური წრიულ რგოლში
და მის საზღვარზე, ფართოვდება მასში კონვერგენციულ Laurent სერიაში.

განვიხილოთ წრიული ბეჭედი , ავაშენოთ მის შიგნით კიდევ ერთი წრიული რგოლი რადიუსებით ასე რომ . განვიხილოთ თვითნებური წერტილი შიდა რგოლში დახაზეთ მისგან, როგორც ცენტრიდან, რადიუსის წრე ისე, რომ იგი მთლიანად დევს შიდა რგოლში. = +

კოშის თეორემით გამრავლებით დაკავშირებული დომენისთვის
=
-
.

კოშის ინტეგრალური ფორმულის მიხედვით

განვიხილოთ თითოეული ტერმინი ცალკე. 1) ბპირველი ვადა
,
.

მოდით გავიმეოროთ ყველა გამოთვლა ტეილორის თეორემის მტკიცებულებიდან გამომდინარე
და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით
.

ფუნქცია
მას შემდეგ, რაც შედეგად მიღებული სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
- ანალიტიკური შესახებ . ანუ
on .

მაშასადამე, ის უწყვეტი და შეზღუდულია
.

მოდით გავამრავლოთ მიღებული სერია უწყვეტი შემოსაზღვრული ფუნქციით
და წრეში ერთნაირად იყრის თავს ვაიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით
. ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით

. შესაბამისად, მისი ინტეგრირება შესაძლებელია ტერმინის მიხედვით, კონვერგენტული სერიების მისაღებად.

=

).

, სადაც არის ტეილორის სერიის კოეფიციენტები
,
.

2) განვიხილოთ მეორე ტერმინი, ვარაუდით
.

ფუნქცია
მას შემდეგ, რაც შედეგად მიღებული სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
- ანალიტიკური შესახებ . ანუ
on .

მაშასადამე, ის უწყვეტი და შეზღუდულია

ეს სამართლიანია, რადგან აქ

. ეს სერია მაჟორიზებულია უსასრულოდ კონვერტაციით
ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით
. ეს სერია მაჟორიზებულია კონვერგენტული უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიით

და ერთიანად იყრის თავს ვეიერშტრასის კრიტერიუმის მიხედვით წრის გარეთ
.
, სადაც არის ტეილორის სერიის კოეფიციენტები შეიძლება შეიცვალოს ინტეგრაციით
).

მიღებულ გაფართოებებს დავუმატებთ ორ ტერმინს, მივიღებთ ფუნქციის გაფართოებას ლორანის სერიებში

, სადაც ლორანის სერიის კოეფიციენტები .
.

ლორანის სერიის კოეფიციენტებისთვის კოშის უტოლობა ანალოგიურად არის მიღებული
.

აქ განვიხილავთ ფუნქციების უფრო ფართო კლასის სერიის გაფართოებებს, ვიდრე ადრე განვიხილეთ, კერძოდ: შევისწავლით ისეთ (ერთმნიშვნელოვან) ფუნქციებს, რომლებიც არ არის მსგავსი მთელ წრეში. ზ-ზო z - zq g = 0, ე.ი. ფუნქციის გაფართოება zq წერტილის პუნქციურ უბანში. ეს გაფართოებები შესაძლებელს ხდის ფუნქციების შესწავლას იმ წერტილების სიახლოვეს, სადაც ისინი კარგავენ ანალიტიკურობას (სინგულარული წერტილები).

გაითვალისწინეთ, რომ სიმძლავრის სერიები ახლა ჩვენთვის საკმარისი არ იქნება, რადგან ასეთი სერიები წარმოადგენს მხოლოდ ფუნქციებს, რომლებიც ანალიტიკურია მთელ წრეზე. z - zq (იხ. თეორემა 22.1). მაგრამ ჩვენ დავამატებთ წევრებს c n (z - zo) nარაუარყოფითი მნიშვნელობებით ნშესაბამის წევრებთან ერთად ნ= -1, -2,... და განვიხილოთ ორი სერიის ჯამი

ფუნქციის გაფართოება f(z)რგოლში ჩვენ შევხედავთ ფორმას

და სერიის კონვერგენციის ქვეშ c n (z - zq)"გაგებულია, როგორც კონვერგენცია

ორივე მწკრივის შესაძლებლობა მარჯვენა მხარეს (25.1). როგორც §22-ში, ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემებს ასეთი დაშლის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ. დავიწყოთ არსებობის თეორემით.

თეორემა 25.1 (ლორანის თეორემა). F(z) ფუნქცია იყოს აპოლიტიკური V რგოლში= (g z - zo:

რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულით

(აქ p არის თვითნებური რიცხვი r-სა და R-ს შორის).

მტკიცებულება. დაე z-ბეჭდის ნებისმიერი წერტილი ვ.ავაშენოთ ბეჭედი ვ= (z" C, - zq R") წევს რგოლში ვდა შეიცავს პუნქტს ზ.ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ნომრები G"და რ 1 ისე რომ g R" (სურ. 47).

მოდით აღვნიშნოთ გდა Г> წრე 1C - ზო = R"და |C - ზო= r"; ჩვენ ვაყენებთ ორივე წრის გადაკვეთას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მოდით TV აღვნიშნოთ წრე |C - ზა= g" საათის ისრის შემოვლით. ფუნქცია f(z)არის ანალიტიკური V 7 დახურულ დომენში, რომლის საზღვარი Г 7 შედგება მრუდების Гх და 17-ისგან (შეგახსენებთ, რომ საზღვრის ირგვლივ დომენი უნდა დარჩეს მარცხნივ). კოშის ინტეგრალური ფორმულით (იხ. თეორემა 18.1)

პირველი ინტეგრალის სერიის გაფართოება მარჯვენა მხარეს (25.4) ხორციელდება ისევე, როგორც თეორემა 22.2-ის მტკიცებულებაში. ჩვენ წარმოვადგენთ ფუნქციას ფორმაში

უფრო მეტიც, სერია (25.5) ცვლადში აბსოლიტურად და თანაბრად იყრის თავს

C IV-ზე ტოლობების (25.5) გამრავლება ^-:/(?) ფუნქციით, შეზღუდვები

Г1-ზე (შენიშვნა 20.5-ის მიხედვით, სერიების ერთგვაროვანი კონვერგენცია (25.5) ამ შემთხვევაში არ არის დარღვეული) და IV-ის გასწვრივ ტერმინალურად ინტეგრირება მივიღებთ

ასე რომ, ჩვენ გავაფართოვეთ პირველი ინტეგრალი (25.4)-ის მარჯვენა მხარეს, ძალაუფლების კონვერგენტურ სერიაში. (z - G"). მეორე ინტეგრალი (25.4) სხვაგვარად უნდა გაფართოვდეს, რადგან C € Γ-სთვის ეს იქნება ზ - ზო >|C - Zq და, შესაბამისად, სერია (25.5) განსხვავდება. გვაქვს

ფორმულის (22.C) ხელახლა გამოყენებით მივიღებთ

ყველა C € Г2-სთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია

სერიიდან მოყოლებული qi nიყრის თავს, მაშინ ერთიანი კრიტერიუმის ძალით

ვაიერშტრასის კონვერგენცია (თეორემა 20.2) (25.8)-ის მარჯვენა მხარეს მყოფი სერიები ემთხვევა Г-ს. ოაბსოლუტურად და ერთნაირად ცვლადში?. ჩვენთვის მოსახერხებელია ამ სერიის ოდნავ განსხვავებული ფორმით გადაწერა ახალი შემაჯამებელი ინდექსის შემოღებით. რომთანასწორობა რომ = -p- 1, ე.ი. ნ = -რომ - 1. როცა ნიღებს მნიშვნელობებს 0,1,2,..., ინდექსს რომგადის -1, -2, -3____ მნიშვნელობებს

გავამრავლოთ ტოლობები (25.9)-ზე f(Q(რაც არ დაარღვევს უნიფორმას

სერიების დაახლოება (25.9) წრეზე Γr) და ინტეგრირება ტერმინის მიხედვით Γr-ის გასწვრივ:

ინდექსი რომფორმულებში (25.10), (25.11) შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ასოთი; კერძოდ, შეგვიძლია ისევ აღვნიშნოთ n-ით, სადაც ნ= - 1,- 2,... გაფართოებების (25.6) და (25.10) ჩანაცვლებით (25.4) მივიღებთ ტოლობას (25.2). ფუნქცია. არის ანალიტიკური

(ერთად - ზო)ნ+ლ

რგოლში g g 0 p, ისეთი რომ r მაშინ ორივე წრე Ti და Гг შეიძლება შეიცვალოს წრით |С - zq = р. ამ შემთხვევაში ტოლობები (25.7) და (25.11) ჩაიწერება ერთჯერადი ფორმულა(25.3). თეორემა 25.3 დადასტურებულია.

სერია (25.2) მთელი რიცხვებით (ზ- -ე) (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი), რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმით -

ლამ (25.3), ე.წ ლორანის გვერდითფუნქციები ვ(ზ).მწკრივი ^2 c n (z -

ნ=0

• - ზო)ნდაურეკა მარჯვენა ნაწილიდა სერიალი c n (z - zq) u (დაწერეთ

ასევე c n( z - z o) n) - ძირითადი ნაწილი Laurent სერია (გონივრული

სახელების ზუსტი ბუნება მოგვიანებით გახდება ცნობილი).

ახლა მივმართოთ გაფართოების უნიკალურობის საკითხს (25.2).

თეორემა 25.2 (უნიკალურობის თეორემა ლორანის სერიაში ფუნქციის გაფართოებისთვის). შეუშვით რამდენიმე რგოლი V= (g z - zo (25.2). შემდეგ f(z) არის

ანალიტიკური ფუნქცია V-ში და კოეფიციენტები n-ით, n = 0, ±1, ±2.... გაფართოებები განისაზღვრება ცალსახად ფორმულებით, (25.3).

მტკიცებულება. ვინაიდან, თეორემის პირობების მიხედვით, სერია (25.2) იყრის თავს V,შემდეგ ორივე სერია იყრის თავს (25.1) კომპოზიციის მარჯვენა მხარეს

ტყუილი სერია (25.2). პირველი არის რიგი Y1 °n(z ~ z o) n ~არის

ჩვეულებრივი სიმძლავრის სერია, რომელიც იკრიბება ცენტრთან გარკვეულ წრეში ზოდა განსხვავდებიან ამ წრის გარეთ. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ერწყმის ვ, შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის წრეში. თანხიდან გამომდინარე

სიმძლავრის სერია ანალიტიკურია კონვერგენციის წრეში (საკუთრება 21.6), მაშინ

ჯამი Si (.გ) სერია c n (z - zq) h არის ანალიტიკური in ვ.ქონებით 21.5,

ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს ნებისმიერ წრეში z- zq R"

მაგრამ რიცხვი c n(z - zo) n -მოდით შევცვალოთ ცვლადები დაყენებით Z=

=-, რომ= - n შემდეგ შესწავლილი სერია მიიღებს V ფორმას C-uZკ. ეს

z ~ z o k=l

სერია არის სიმძლავრის სერია ცვლადის მიმართ ზ სცენტრი ზო= 0: ის ხვდება რაღაც წრეში თან R "o ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს (თვისება 21.5). ახლა დავუბრუნდეთ ცვლადს ზ.შემდეგ შემოხაზეთ

/?o გადავა ნაკრებში --- z - zo >1 / რო,იმათ. წრის ექსტერიერში zq ცენტრით რადიუსით 1/Lo- ამრიგად, სერია

^2 c n (z -ზო)ნიყრის თავს |z - ზო > ლ/როანალიტიკურ ფუნქციას ნ=-1

tion 5-2(g) და განსხვავდება at ზ - zo 1 /Rq. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ერწყმის V,შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის რეგიონში ზ-ზო >ამ რიგის 1/იაო. ამავე დროს, ტერიტორიაზე ზ- ზო > 1 //?დაახლოებით ს N® მაგრამკონვერგენცია ერთგვაროვანი იქნება. კერძოდ, რადი თანაბრად იყრის თავს |ზ - ზო > გ“, თუ გ" >გ.

ასე რომ, ორივე სერია (25.1) მარჯვენა მხარეს ერწყმის რგოლში ვდა მათი ჯამები Si(z) და S-j(z) ანალიტიკურია ვ.ასე რომ ფუნქცია f(z) =სი (z) + 4* S-z(z)ანალიტიკური წელს ვ.

ვაჩვენოთ, რომ კოეფიციენტები s pგაფართოებები განისაზღვრება ცალსახად ფორმულებით (25.3). ავიღოთ წრე Г = (ზ - ზო= /?), სად დ ავიღოთ ნომრები G"და R"ისე რომ d ორივე მწკრივი მარჯვენა მხარეს (25.1) ერთნაირად ერწყმის რგოლს ვ= = (z; z - ზო R 1)-ეს ნიშნავს რიგს

მასში ერთნაირად იყრის თავს. ეს თვისება დარჩება ორივე მხარის თვითნებურ ძალაზე გამრავლების შემდეგ (z - zo)~ n ~ l, n = О, ±1, ±2_____ რადგან თითოეული ეს გრადუსი არის ლიმიტის ფუნქცია

ღირებული in ვ(იხ. შენიშვნა 20.5):

თეორემა 20.4-ის ძალით, შედეგად მიღებული სერიები შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით Γ-ის გასწვრივ:

ახლა გამოვიყენოთ თანასწორობა (15.7):

რომლის მიხედვითაც (25.12) მარცხენა მხარეს ყველა ინტეგრალი ნულის ტოლია, გარდა ერთისა, რომლისთვისაც k - p - 1 = - 1 (ე.ი. რომ = წ)და რომელიც უდრის 2ტგგ. ამრიგად, ჯამში (25.12) რჩება მხოლოდ ერთი ვადა k = n,და ვიღებთ

რომელიც უტოლდება თანასწორობას (25.3). თეორემა 25.2 დადასტურებულია.

თეორემა 25.2-ის მტკიცებულებაში დავადგინეთ, რომ სერია (25.2) მცირდება ორი სიმძლავრის სერიის გაერთიანებამდე, რომელთაგან ერთი კონვერგირდება წრის შიგნით zq ცენტრით, ხოლო მეორე უფრო მცირე რადიუსის წრის გარეთ, იგივე ცენტრით (თუ მეორე წრის რადიუსი უფრო დიდი იყო, მაშინ სერიების კონვერგენციის სიმრავლე (25.2) ცარიელი იქნებოდა). ავღნიშნოთ ამ წრეების რადიუსი რ და გშესაბამისად (აქ არ არის ნათქვამი, რომ ეს რიცხვები ემთხვევა ბეჭდის გარე და შიდა რადიუსებს ვთეორემებში 25.1, 25.2). აქედან და სიმძლავრის სერიის თვისებებიდან (იხ. §21) გამომდინარეობს შემდეგი თვისებებისერია (25.2).

საკუთრება 25.3. სერიის კონვერგენციის ნაკრები (25.2) არის ბეჭედი V= (z z - zq R) მის საზღვარზე ზოგიერთი ან ყველა წერტილის შესაძლო დამატებით. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია r = 0 შემთხვევები და R =ოო.

საკუთრება 25.4. ჯამი 5 (გ) რიგი (25.2) არის ანალიტიკური ფუნქცია V რგოლის შიგნით.

ქონება 25.5. მწკრივი (25.2) შეიძლება ნებისმიერი რიცხვის V რგოლში ტერმინების ტერმინების ინტეგრირება და დიფერენცირებაჯმ. მიღებულ სერიას აქვს V კონვერგენციის იგივე რგოლი, რა

და ორიგინალური სერია (25.2); კონვერგენცია სასაზღვრო წერტილებში შეიძლება არ იყოს დაცული.

საკუთრება 25.6. თუ V = (გ ზოარის f(z.) ფუნქციის ლორანის სერიის კონვერგენციის რგოლი) და 0

მტკიცებულება. ლორანის ფუნქციების სერია/ (z)არის ერთიანი oo 1

ორი სიმძლავრის სერიის კომბინაცია °n(z ~ z o) nდა c_*Z*, სადაც ზ =-.

n=0 კ-ზ-ზ0

ამ სერიების კონვერგენციის წრეებია ზ- 2o| რ და z - zo = R და = 1/გ (ე.ი. z - zo = გ)ტყუილი ცალკეული წერტილები

ფუნქციები Si(z) = c n(z - Zq)შენ და S-2 (z) = Cn(z-z 0) nშესაბამისად

რეალურად. შესაბამისად, ეს წრეები შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს f(z)= Si (გ) + S-2 (z),ქ.ე.დ.

Laurent-ის სერიის გაფართოებების მოსაძებნად, ფართოდ გამოიყენება იგივე ტექნიკა, რაც ტეილორის სერიის გაფართოებისთვის, კერძოდ, ჩანაცვლების მეთოდი, ტერმინების ტერმინების ინტეგრაცია და დიფერენციაცია და ა.შ.

მაგალითი 25.7. იპოვეთ ფუნქციის ყველა ლორენტის გაფართოება

/( g) = f ძალაუფლებაში (z - 1).

" z(z - 1)

გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ცვლადის ცვლილება: ვ = z- 1, ე.ი. z = w +

1. ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას r/(rc) = .

ვ. . ერთხელ -(ვ

+ 1) wj

მიღებული წილადი ჩადეთ უმარტივესი წილადების ჯამში (დამატებითი ინფორმაციისთვის უმარტივესი წილადების ჯამში გაფართოების შესახებ იხილეთ §32 ჩვენ ვეძებთ გაფართოებას). სადდა ად

ნომრები, რომლებსაც ცდილობთ იპოვოთ. ამ მიზნით, ჩვენ მივყავართ წილადებს მარჯვნივ საერთო მნიშვნელზე: აქედან გამომდინარეობს + 1) + w + 2 = A(w Bw, ვდა თანასწორობა მოქმედებს ყველა ღირებულებისთვის , მათ შორის w = , მათ შორის 0 და - 1 (ეს გამომდინარეობს მარცხენა დამარჯვენა ნაწილები , მათ შორისეს თანასწორობა). ზე სად 0 მივიღებთ 2 = .4, ე.ი. , მათ შორის= 2; ჩანაცვლება -1, ჩვენ გვაქვს 1= -B, იმათ. IN

= - 1. ამრიგად, , მათ შორის 0, ამ ფუნქციას აქვს ცალკეული წერტილები w = -

1 და, შესაბამისად, აპოლიტიკური რგოლებში V'i = (0 ვ ზე w> 1 შედეგად მიღებული სერია წყვეტს თანხვედრას. ამიტომ, ფუნქციის გაფართოებაგ(ვ) რინგში 2 უ

წილადი უნდა გარდაიქმნას:

როდის | w| > 1 იქნება - ზნაცვლად ჩასვითლ/ვ.

მითითებული ჩანაცვლების განხორციელებისას ვიღებთ (ჩვენ გავაკეთეთ ჩანაცვლება k = - (n + 1) და გამოიყენა ტოლობა (- 1)* = (-I) - *). ცვლადზე დაბრუნება z-w + 1, ვიღებთ ფუნქციის საჭირო გაფართოებებს

f(z): - ახალი წევრი -

(ძირითადი ნაწილის ყველა სხვა კოეფიციენტი ტოლია ვ(ზ).

ჩვენ ნულოვანი ვართ) და სერია (25.13) იძლევა გაფართოების სწორ ნაწილს. 1 z - 1| z - 1| = 0 რადიუსით 0u|r-1| = 1 რადიუსით 1) შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს
,
მიღებული წილადი ჩადეთ უმარტივესი წილადების ჯამში (დამატებითი ინფორმაციისთვის უმარტივესი წილადების ჯამში გაფართოების შესახებ იხილეთ §32 ჩვენ ვეძებთ გაფართოებას). თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა რიგის წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ტერმინი ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც რიცხვი x არის x-სა და a-ს შორის.

f(x)=

წერტილში x 0 = რიგის ელემენტების რაოდენობა 3 4 5 6 7

გამოიყენეთ ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ფუნქციების შეყვანის წესები:

თუ რაიმე ღირებულებისთვის X თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა რიგის წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:→0 საათზე ნ→∞, მაშინ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა ხდება კონვერგენტული ამ მნიშვნელობისთვის ტეილორის სერია:
,
ამგვარად, ფუნქცია f(x) შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში განსახილველ x წერტილში, თუ:
1) მას აქვს ყველა ბრძანების წარმოებულები;
2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

როდესაც a = 0 ვიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინის სერია:
,
მაკლარინის სერიის უმარტივესი (ელემენტარული) ფუნქციების გაფართოება:
ექსპონენციალური ფუნქციები
, R=∞
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ფუნქცია actgx არ ფართოვდება x-ის ხარისხებში, რადგან ctg0=∞
ჰიპერბოლური ფუნქციები


ლოგარითმული ფუნქციები
, -1