აქ განვიხილავთ ფუნქციების უფრო ფართო კლასის სერიის გაფართოებებს, ვიდრე ადრე განვიხილეთ, კერძოდ: შევისწავლით ისეთ (ერთმნიშვნელოვან) ფუნქციებს, რომლებიც არ არის მსგავსი მთელ წრეში. ზ-ზო z - zq g = 0, ე.ი. ფუნქციის გაფართოება zq წერტილის პუნქციურ უბანში. ეს გაფართოებები შესაძლებელს ხდის ფუნქციების შესწავლას იმ წერტილების სიახლოვეს, სადაც ისინი კარგავენ ანალიტიკურობას (სინგულარული წერტილები).

გაითვალისწინეთ, რომ სიმძლავრის სერიები ჩვენთვის საკმარისი არ იქნება, რადგან ასეთი სერიები წარმოადგენს მხოლოდ ფუნქციებს, რომლებიც ანალიტიკურია მთელ წრეზე. z - zq (იხ. თეორემა 22.1). მაგრამ ჩვენ დავამატებთ წევრებს c n (z - zo) nარაუარყოფითი მნიშვნელობებით ნშესაბამის წევრებთან ერთად ნ= -1, -2,... და განვიხილოთ ორი სერიის ჯამი

ფუნქციის გაფართოება f(z)რგოლში ჩვენ შევხედავთ ფორმას

და სერიის კონვერგენციის ქვეშ c n (z - zq)"გაგებულია, როგორც კონვერგენცია

ორივე მწკრივის შესაძლებლობა მარჯვენა მხარეს (25.1). როგორც §22-ში, ჩვენ დავამტკიცებთ თეორემებს ასეთი დაშლის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ. დავიწყოთ არსებობის თეორემით.

თეორემა 25.1 (ლორანის თეორემა). F(z) ფუნქცია იყოს აპოლიტიკური V რგოლში= (g z - zo:

რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულით

(აქ p არის თვითნებური რიცხვი r-სა და R-ს შორის).

მტკიცებულება. დაე z-ბეჭდის ნებისმიერი წერტილი ვ.ავაშენოთ ბეჭედი ვ= (z" C, - zq R") იწვა რგოლში ვდა შეიცავს პუნქტს ზ.ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ნომრები G"და რ 1 ისე რომ g R" (სურ. 47).

მოდით აღვნიშნოთ გდა Г> წრე 1C - ზო = R"და |C - ზო= g"; ჩვენ ვაყენებთ ორივე წრის გადაკვეთას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მოდით TV აღვნიშნოთ წრე |C - ზა= g" საათის ისრის შემოვლით. ფუნქცია f(z)არის ანალიტიკური V 7 დახურულ დომენში, რომლის საზღვარი Г 7 შედგება მრუდების Гх და 17-ისგან (შეგახსენებთ, რომ საზღვრის ირგვლივ დომენი უნდა დარჩეს მარცხნივ). კოშის ინტეგრალური ფორმულით (იხ. თეორემა 18.1)

პირველი ინტეგრალის სერიის გაფართოება მარჯვენა მხარეს (25.4) ხორციელდება ისევე, როგორც თეორემა 22.2-ის მტკიცებულებაში. ჩვენ წარმოვადგენთ ფუნქციას ფორმაში

უფრო მეტიც, სერია (25.5) ცვლადში აბსოლიტურად და თანაბრად იყრის თავს

C IV-ზე ტოლობების (25.5) გამრავლება ^-:/(?) ფუნქციით, შეზღუდვები

Г1-ზე (შენიშვნა 20.5-ის მიხედვით, სერიების ერთგვაროვანი კონვერგენცია (25.5) ამ შემთხვევაში არ არის დარღვეული) და IV-ის გასწვრივ ტერმინალურად ინტეგრირება მივიღებთ

ასე რომ, ჩვენ გავაფართოვეთ პირველი ინტეგრალი (25.4)-ის მარჯვენა მხარეს, ძალაუფლების კონვერგენტურ სერიაში. (z - G"). მეორე ინტეგრალი (25.4) სხვაგვარად უნდა გაფართოვდეს, რადგან C € Γ-სთვის ეს იქნება ზ - ზო >|C - Zq და, შესაბამისად, სერია (25.5) განსხვავდება. ჩვენ გვაქვს

ფორმულის (22.C) ხელახლა გამოყენებით მივიღებთ

ყველა C € Г2-სთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია

სერიიდან მოყოლებული qi nიყრის თავს, მაშინ ერთიანი კრიტერიუმის ძალით

ვაიერშტრასის კონვერგენცია (თეორემა 20.2), (25.8)-ის მარჯვენა მხარეს მდებარე სერიები ემთხვევა Г-ს ოაბსოლუტურად და ერთნაირად ცვლადში?. ჩვენთვის მოსახერხებელია ამ სერიის ოდნავ განსხვავებული ფორმით გადაწერა ახალი შემაჯამებელი ინდექსის შემოღებით. რომთანასწორობა რომ = -p- 1, ე.ი. ნ = -რომ - 1. როცა ნიღებს მნიშვნელობებს 0,1,2,..., ინდექსს რომგადის -1, -2, -3____ მნიშვნელობებს

გავამრავლოთ ტოლობები (25.9)-ზე f(Q(რაც არ დაარღვევს უნიფორმას

სერიების დაახლოება (25.9) წრეზე Γr) და ინტეგრირება ტერმინის მიხედვით Γr-ის გასწვრივ:

ინდექსი რომფორმულებში (25.10), (25.11) შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ასოთი; კერძოდ, შეგვიძლია ისევ აღვნიშნოთ n-ით, სადაც ნ= - 1,- 2,... გაფართოებების (25.6) და (25.10) ჩანაცვლებით (25.4) მივიღებთ ტოლობას (25.2). ფუნქცია. არის ანალიტიკური

(ერთად - ზო)ნ+ლ

რგოლში g g 0 p, ისეთი რომ r მაშინ ორივე წრე Ti და Гг შეიძლება შეიცვალოს წრით |С - zq = р. ამ შემთხვევაში ტოლობები (25.7) და (25.11) ჩაიწერება ერთჯერადი ფორმულა(25.3). თეორემა 25.3 დადასტურებულია.

სერია (25.2) მთელი რიცხვებით (ზ- -ე) (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი), რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმით -

ლამ (25.3), ე.წ ლორანის გვერდითფუნქციები ვ(ზ).მწკრივი ^2 c n (z -

ნ=0

• - ზო)ნდაურეკა მარჯვენა ნაწილიდა სერია c n (z - zq) u (დაწერეთ

ასევე c n( z - z o) n) - ძირითადი ნაწილი Laurent სერია (გონივრული

სახელების ზუსტი ბუნება მოგვიანებით გახდება ცნობილი).

ახლა მივმართოთ გაფართოების უნიკალურობის საკითხს (25.2).

თეორემა 25.2 (უნიკალურობის თეორემა ლორანის სერიაში ფუნქციის გაფართოებისთვის). შეუშვით რამდენიმე რგოლი V= (g z - zo (25.2). შემდეგ f(z) არის

ანალიტიკური ფუნქცია V-ში და კოეფიციენტები n-ით, n = 0, ±1, ±2.... გაფართოებები ცალსახად განისაზღვრება ფორმულებით (25.3).

მტკიცებულება. ვინაიდან, თეორემის პირობების მიხედვით, სერია (25.2) იყრის თავს V,შემდეგ ორივე სერია იყრის თავს (25.1) კომპოზიციის მარჯვენა მხარეს

ტყუილი სერია (25.2). პირველი არის რიგი Y1 °n(z ~ z o) n ~არის

ჩვეულებრივი სიმძლავრის სერია, რომელიც იკრიბება ცენტრთან გარკვეულ წრეში ზოდა განსხვავდებიან ამ წრის გარეთ. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ერწყმის ვ, შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის წრეში. თანხიდან გამომდინარე

სიმძლავრის სერია ანალიტიკურია კონვერგენციის წრეში (საკუთრება 21.6), მაშინ

ჯამი Si (.გ) სერია c n (z - zq) h არის ანალიტიკური in ვ.ქონებით 21.5,

ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს ნებისმიერ წრეში z- zq R"

მაგრამ რიცხვი c n(z - zo) n -მოდით შევცვალოთ ცვლადები დაყენებით Z=

=-, რომ= - n შემდეგ შესწავლილი სერია მიიღებს V ფორმას C-uZკ. ეს

z ~ z o k=l

სერია არის სიმძლავრის სერია ცვლადის მიმართ ზ სცენტრი ზო= 0: ის ხვდება რაღაც წრეში თან R "o ეს სერია ერთნაირად იყრის თავს (თვისება 21.5). ახლა დავუბრუნდეთ ცვლადს ზ.შემდეგ შემოხაზეთ

/?o გადავა ნაკრებში --- z - zo >1 / რო,იმათ. წრის ექსტერიერში zq რადიუსის ცენტრით 1/Lo- ამრიგად, სერია

^2 c n (z -ზო)ნიყრის თავს |z - ზო > ლ/როანალიტიკურ ფუნქციას ნ=-1

tion 5-2(g) და განსხვავდება at ზ - zo 1 /Rq. ვინაიდან ეს სერია ერთმანეთს ერწყმის V,შემდეგ მთელი ბეჭედი ვდევს კონვერგენციის რეგიონში ზ-ზო >ამ რიგის 1/იაო. ამავე დროს, ტერიტორიაზე ზ- ზო > 1 //?დაახლოებით ს N® მაგრამკონვერგენცია ერთგვაროვანი იქნება. კერძოდ, რადი თანაბრად იყრის თავს |ზ - ზო > გ“, თუ გ" >გ.

ასე რომ, ორივე სერია (25.1) მარჯვენა მხარეს ერწყმის რგოლში ვდა მათი ჯამები Si(z) და S-j(z) ანალიტიკურია ვ.ასე რომ ფუნქცია f(z) =სი (z) + 4* S-z(z)ანალიტიკური წელს ვ.

ვაჩვენოთ, რომ კოეფიციენტები s pგაფართოებები განისაზღვრება ცალსახად ფორმულებით (25.3). ავიღოთ წრე Г = (ზ - ზო= /?), სად დ ავიღოთ ნომრები G"და R"ისე რომ d ორივე მწკრივი მარჯვენა მხარეს (25.1) ერთნაირად ერწყმის რგოლს ვ= = (z; z - ზო R 1)-ეს ნიშნავს რიგს

მასში ერთნაირად იყრის თავს. ეს თვისება დარჩება ორივე მხარის თვითნებურ ძალაზე გამრავლების შემდეგ (z - zo)~ n ~ l, n = О, ±1, ±2_____ რადგან თითოეული ეს გრადუსი არის ლიმიტის ფუნქცია

ღირებული in ვ(იხ. შენიშვნა 20.5):

თეორემა 20.4-ის ძალით, შედეგად მიღებული სერიები შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით Γ გასწვრივ:

ახლა გამოვიყენოთ თანასწორობა (15.7):

რომლის მიხედვითაც (25.12) მარცხენა მხარეს ყველა ინტეგრალი ნულის ტოლია, გარდა ერთისა, რომლისთვისაც k - p - 1 = - 1 (ე.ი. რომ = წ)და რომელიც უდრის 2ტგგ. ამრიგად, ჯამში (25.12) რჩება მხოლოდ ერთი ვადა k = n,და ვიღებთ

რომელიც უტოლდება თანასწორობას (25.3). თეორემა 25.2 დადასტურებულია.

თეორემა 25.2-ის მტკიცებულებაში დავადგინეთ, რომ სერია (25.2) მცირდება ორი სიმძლავრის სერიის გაერთიანებამდე, რომელთაგან ერთი კონვერგირდება წრის შიგნით zq ცენტრით, ხოლო მეორე უფრო მცირე რადიუსის წრის გარეთ, იგივე ცენტრით (თუ მეორე წრის რადიუსი უფრო დიდი იყო, მაშინ სერიების კონვერგენციის სიმრავლე (25.2) ცარიელი იქნებოდა). ავღნიშნოთ ამ წრეების რადიუსი რ და გშესაბამისად (აქ არ არის ნათქვამი, რომ ეს რიცხვები ემთხვევა ბეჭდის გარე და შიდა რადიუსებს ვთეორემებში 25.1, 25.2). აქედან და სიმძლავრის სერიის თვისებებიდან (იხ. §21) გამომდინარეობს შემდეგი თვისებებისერია (25.2).

საკუთრება 25.3. სერიის კონვერგენციის ნაკრები (25.2) არის ბეჭედი V= (z z - zq R) მის საზღვარზე ზოგიერთი ან ყველა წერტილის შესაძლო დამატებით. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია r = 0 შემთხვევები და R =ოო.

საკუთრება 25.4. ჯამი 5 (გ) რიგი (25.2) არის ანალიტიკური ფუნქცია V რგოლის შიგნით.

ქონება 25.5. მწკრივი (25.2) შეიძლება ნებისმიერი რიცხვის V რგოლში ტერმინების ტერმინების ინტეგრირება და დიფერენცირებაჯმ. მიღებულ სერიას აქვს V კონვერგენციის იგივე რგოლი, რა

და ორიგინალური სერია (25.2); კონვერგენცია სასაზღვრო წერტილებში შეიძლება არ იყოს დაცული.

საკუთრება 25.6. თუ V = (გ ზოარის f(z.) ფუნქციის ლორანის სერიის კონვერგენციის რგოლი) და 0

მტკიცებულება. ლორანის ფუნქციების სერია/ (z)არის ერთიანი oo 1

ორი სიმძლავრის სერიის კომბინაცია °n(z ~ z o) nდა c_*Z*, სადაც ზ =-.

n=0 კ-ზ-ზ0

ამ სერიების კონვერგენციის წრეებია ზ- 2o| რ და z - zo = R და = 1/გ (ე.ი. z - zo = გ)არის ცალკეული წერტილები

ფუნქციები Si(z) = c n(z - Zq)შენ და S-2 (z) = Cn(z-z 0)nშესაბამისად

რეალურად. შესაბამისად, ეს წრეები შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს f(z)= Si (გ) + S-2 (z),ქ.ე.დ.

Laurent-ის სერიის გაფართოებების მოსაძებნად, ფართოდ გამოიყენება იგივე ტექნიკა, რაც ტეილორის სერიის გაფართოებისთვის, კერძოდ, ჩანაცვლების მეთოდი, ტერმინების ტერმინების ინტეგრაცია და დიფერენციაცია და ა.შ.

მაგალითი 25.7. იპოვეთ ფუნქციის Laurent-ის ყველა გაფართოება

/( g) = f ძალაუფლებაში (z - 1).

" z(z - 1)

გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ცვლადის ცვლილება: ვ = z- 1, ე.ი. z = w +

1. ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას r/(rc) = .

ვ. . ერთხელ -(ვ

მიღებული წილადი ჩადეთ უმარტივესი წილადების ჯამში (დამატებითი ინფორმაციისთვის უმარტივესი წილადების ჯამში გაფართოების შესახებ იხილეთ §32 ჩვენ ვეძებთ გაფართოებას).

სად ადა დნომრები, რომლებსაც ცდილობთ იპოვოთ. ამ მიზნით, ჩვენ მივყავართ წილადებს მარჯვნივ საერთო მნიშვნელზე:

აქედან გამომდინარეობს w + 2 = A(w + 1) + Bw,და თანასწორობა მოქმედებს ყველა ღირებულებისთვის ვ, მათ შორის w = 0 და w =- 1 (ეს გამომდინარეობს მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებიეს თანასწორობა). ზე w = 0 მივიღებთ 2 = .4, ე.ი. ა= 2; ჩანაცვლება w =-1, ჩვენ გვაქვს 1 = -B,იმათ. IN= - 1. ამრიგად,

ამ ფუნქციას აქვს ცალკეული წერტილები w = 0, w = - 1 და, შესაბამისად, აპოლიტიკური რგოლებში V'i = (0 ვ

ზე w> 1 შედეგად მიღებული სერია წყვეტს შეკრებას. ამიტომ ფუნქციის გაფართოება გ(ვ)რინგში უ 2 წილადი უნდა გარდაიქმნას:

როდის | w| > 1 იქნება -

ნაცვლად ზჩასვით ლ/ვ.მითითებული ჩანაცვლების განხორციელებისას ვიღებთ

(ჩვენ გავაკეთეთ ჩანაცვლება k = - (n+ 1) და გამოიყენა ტოლობა (- 1)* = (-I) - *). ცვლადზე დაბრუნება z-w+ 1, ვიღებთ ფუნქციის საჭირო გაფართოებებს f(z):

ახალი წევრი - - (ძირითადი ნაწილის ყველა სხვა კოეფიციენტი ტოლია

ჩვენ ნულოვანი ვართ) და სერია (25.13) იძლევა გაფართოების სწორ ნაწილს. 1 z - 1| z - 1| = 0 რადიუსით 0u|r-1| = 1 რადიუსით 1) შეიცავს ფუნქციის სინგულარულ წერტილებს ვ(ზ).

ტეილორის წოდებები ემსახურება ეფექტური საშუალებებიწრეში ანალიტიკური ფუნქციების შესასწავლად zol რგოლის დომენში ანალიტიკური ფუნქციების შესასწავლად შესაძლებელია ტეილორის გაფართოებების განზოგადების ფორმის დადებით და უარყოფით ძალებში (z - zq) გაფართოებების აგება. სერია (1), გაგებული, როგორც ორი სერიის ჯამი, ეწოდება Laurent სერიას. ცხადია, რომ (1) სერიის დაახლოების რეგიონი არის ზოგადი ნაწილითითოეული სერიის კონვერგენციის სფეროები (2). მოდი ვიპოვოთ იგი. პირველი სერიის კონვერგენციის არეალი არის წრე, რომლის რადიუსი განისაზღვრება კოში-ჰადამარის ფორმულით, სერია (3) უახლოვდება ანალიტიკურ ფუნქციას, ხოლო უფრო მცირე რადიუსის ნებისმიერ წრეში ის იყრის თავს. აბსოლუტურად და ერთგვაროვნად. მეორე სერია არის სიმძლავრის სერია ცვლადის მიმართ (5) ხვდება მისი დაახლოების წრეში რთული ცვლადის m-*oo ანალიტიკურ ფუნქციასთან და უფრო მცირე რადიუსის ნებისმიერ წრეში ის აბსოლიტურად და თანაბრად იყრის თავს. ნიშნავს, რომ სერიის (4) კონვერგენციის არე არის წრის გარეგანი მხარე - თუ მაშინ არის (3) და (4) სერიების დაახლოების საერთო არე - წრიული რგოლი, რომელშიც სერია (1) გადადის ანალიტიკურ ფუნქციასთან. უფრო მეტიც, ნებისმიერ რგოლში ის აბსოლიტურად და ერთნაირად იყრის თავს. მაგალითი 1. დაადგინეთ რად ლორანის სერიის იზოლირებული სინგულარული წერტილების კონვერგენციის ფართობი და მათი კლასიფიკაცია M პირველი რიგის კონვერგენციის ფართობი არის წრის გარე მხარე, ხოლო მეორე რიგის კონვერგენციის არე. წრის შიგნით, ამრიგად, ამ სერიას იყრის წრეში თეორემა 15. ნებისმიერი f(z), ერთმნიშვნელოვანი და აპოლიტიკური ფუნქცია წრიულ რგოლში შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ამ რგოლში, როგორც კონვერგენტული სერიის ჯამი, რომლის კოეფიციენტები Cn ცალსახად არის განსაზღვრული და გამოთვლილი ფორმულები, სადაც 7p არის m რადიუსის წრე. მოდით დავაფიქსიროთ R რგოლის შიგნით თვითნებური z წერტილი. ავაშენოთ წრეები r წერტილში ცენტრებით, რომელთა რადიუსი აკმაყოფილებს უტოლობებს და განვიხილოთ ახალი რგოლი, კოშის ინტეგრალური თეორემის გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს თითოეული ინტეგრალი ჯამში (8). 7d* წრის გასწვრივ ყველა წერტილისთვის, ერთგვაროვანი კონვერგენტული სერიის ჯამური კავშირი დაკმაყოფილებულია, მაშასადამე, წილადი ^ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს vi- / "/ ორივე ნაწილის გამრავლებით უწყვეტი ფუნქციით (O და განხორციელებით. წრის გასწვრივ ტერმინალური ინტეგრაცია, მივიღებთ, რომ მეორე ინტეგრალის ტრანსფორმაციას ვახორციელებთ ოდნავ განსხვავებულად ir>-ის ყველა წერტილისთვის, შესაბამისად, წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ერთგვაროვნად კონვერგენტული სერიების ჯამი ორივე ნაწილის გამრავლებით უწყვეტი ფუნქციით) და 7/ წრის გასწვრივ ინტეგრირება, მივიღებთ იმას, რომ ინტეგრადები ფორმულებში (10) და (12) არის ანალიტიკური ფუნქციები წრიულ რგოლში. მაშასადამე, კოშის თეორემით, შესაბამისი ინტეგრალების მნიშვნელობები არ შეიცვლება, თუ წრეებს 7/r და 7r/ შევცვლით ნებისმიერი წრეებით, რაც საშუალებას გვაძლევს გავაერთიანოთ ფორმულები (10) და (12), ჩავანაცვლოთ ინტეგრალები (8) ფორმულის მარჯვენა მხარე მათი გამონათქვამებით (9) და (11), შესაბამისად, ვიღებთ საჭირო გაფართოებას, ვინაიდან z არის რგოლის თვითნებური წერტილი, აქედან გამომდინარეობს, რომ სერია (14) გადადის ფუნქციასთან f(. ჩ) ამ რგოლში ყველგან და ნებისმიერ რგოლში სერია აბსოლუტურად და ერთნაირად ემთხვევა ამ ფუნქციას. ახლა დავამტკიცოთ, რომ ფორმის (6) დაშლა უნიკალურია. დავუშვათ, რომ არის კიდევ ერთი გაფართოება, შემდეგ ყველგან R რგოლში გვექნება სერიები (15) ერთნაირად. გავამრავლოთ ტოლობის ორივე მხარე (სადაც m არის ფიქსირებული მთელი რიცხვი და გავაერთიანოთ ორივე სერიული ტერმინი. შედეგად მივიღებთ მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვნივ - ქ. ამრიგად, (4, = ქ. მას შემდეგ, რაც m არის თვითნებური რიცხვი, ბოლო ტოლობა ადასტურებს გაფართოების უნიკალურობას (6), რომლის კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულებით (7), ეწოდება რგოლში ფუნქციის Laurent ამ სერიის ტერმინების კომპლექტს არაუარყოფითი ძალებით უწოდებენ ლორანის სერიის სწორ ნაწილს, ხოლო უარყოფითებს - მის ძირითად ნაწილს Laurent-ის სერიის კოეფიციენტებისთვის ფორმულები (. 7) პრაქტიკაში იშვიათად გამოიყენება, რადგან, როგორც წესი, ისინი საჭიროებენ რთულ გამოთვლებს. ჩვეულებრივ, თუ შესაძლებელია, გამოიყენება ელემენტარული ფუნქციების მზა ტეილორის გაფართოებები. დაშლის უნიკალურობიდან გამომდინარე, ნებისმიერი ლეგალური მეთოდი იწვევს იმავე შედეგს. მაგალითი 2. განვიხილოთ ლორანის სერიის ფუნქციების გაფართოებები სხვადასხვა სფეროში, თუ ვივარაუდებთ, რომ Fuiscia /(r)-ს აქვს ორი სინგულარული წერტილი: . შესაბამისად, არსებობს სამი რგოლოვანი რეგიონი, რომლის ცენტრია r = 0 წერტილში. თითოეულ მათგანში ფუნქცია /(r) არის ანალიტიკური: ა) წრე არის რგოლი, წრის გარე მხარე (სურ. 27). მოდით ვიპოვოთ /(z) ფუნქციის Laurent გაფართოებები თითოეულ ამ რეგიონში. წარმოვადგენთ /(z) ელემენტარულ წილადების ჯამს ა) წრე ჩვენ ვცვლით მიმართებას (16) შემდეგნაირად. : ეს გაფართოება არის /(z) ფუნქციის ტეილორის სერია. ბ) -r ფუნქციის რგოლი კონვერგენტული რჩება ამ რგოლში, ვინაიდან სერია (19) j^j ფუნქციისთვის |z| > 1 განსხვავდება. მაშასადამე, ჩვენ გარდაქმნით ფუნქციას /(z) შემდეგნაირად: კვლავ გამოვიყენებთ ფორმულას (19), მივიღებთ, რომ ეს სერია ერთვის. (18) და (21) გაფართოებების (20) მიმართებით ჩანაცვლებით, ვიღებთ გ) წრის გარე ფუნქციისთვის -z |z| > 2 განსხვავდება და (21) ფუნქციისთვის - წარმოვადგინოთ ფუნქცია f(z) შემდეგი სახით: / (18) და (19) ფორმულების გამოყენებით მივიღებთ OR 1-ს ეს მაგალითი გვიჩვენებს, რომ იგივე ფუნქციისთვის f(z) Laurent-ის გაფართოებას, ზოგადად, აქვს სხვადასხვა სახისსხვადასხვა ბეჭდებისთვის. მაგალითი 3. იპოვეთ ლორანის ფუნქციის მე-8 სერიის გაფართოება ლორანის სერიის იზოლირებული სინგულარული წერტილები და მათი კლასიფიკაცია რგოლის დომენში A ვიყენებთ f(z) ფუნქციის წარმოდგენას შემდეგი ფორმით: და გარდაქმნით მეორე წევრს გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულა ვიღებთ ნაპოვნი გამონათქვამების ჩანაცვლებით ფორმულაში (22), გვაქვს მაგალითი 4. გავაფართოვოთ ფუნქცია ლორანის სერიებში zq = 0 წერტილში. ნებისმიერი კომპლექსისთვის გვაქვს Put This. გაფართოება მოქმედებს ნებისმიერი წერტილისთვის z Ф 0. ინ ამ შემთხვევაშირგოლის რეგიონი წარმოადგენს მთელ კომპლექსურ სიბრტყეს ერთი გამოგდებული წერტილით z - 0. ეს რეგიონი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი მიმართებით: ეს ფუნქცია არის ანალიტიკური რეგიონში ლორანის სერიის კოეფიციენტების ფორმულებიდან (13), იგივე გამოყენებით. მსჯელობით, როგორც წინა აბზაცში, შეიძლება მივიღოთ Kouiw უტოლობა. თუ ფუნქცია f(z) შემოიფარგლება წრეზე, სადაც M არის მუდმივი), მაშინ იზოლირებული სინგულარული წერტილები zo წერტილს ეწოდება f(z) ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილი, თუ არსებობს წერტილის რგოლის სამეზობლო. ამ სიმრავლეს ზოგჯერ უწოდებენ 2o წერტილის პუნქციას, რომლისთვისაც ფუნქცია f(z) უნიკალური და ანალიტიკურია. თავად zo წერტილში ფუნქცია ან განუსაზღვრელია, ან არა ცალსახა და ანალიტიკური. zo წერტილთან მიახლოებისას /(r) ფუნქციის ქცევიდან გამომდინარე, განასხვავებენ სინგულარული წერტილების სამ ტიპს. იზოლირებული ცალკეული წერტილი ეწოდება: 1) მოსახსნელი, თუ არის სასრული 2) pmusach თუ 3) არსებითად სინგულარული წერტილი, თუ ფუნქციას f(z) არ აქვს ლიმიტი. ფუნქცია π-ის პუნქცია ცენტრის მიერ. თეორემა 16. f(z) ფუნქციის იზოლირებული ცალმხრივი წერტილი z0 არის მოხსნადი სინგულარული წერტილი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ f(z) ფუნქციის Laurent გაფართოება zo წერტილის სამეზობლოში არ შეიცავს ძირითად ნაწილს, ე.ი. აქვს ფორმა Let zo იყოს მოსახსნელი სინგულარული წერტილი. შემდეგ არის სასრული, შესაბამისად, ფუნქცია f(z) შემოიფარგლება z წერტილის პროკოლოგიურ სამეზობლოში, ჩვენ ვსვამთ კოშის უტოლობების მიხედვით, ვინაიდან p შეიძლება ავირჩიოთ თვითნებურად მცირე, მაშინ ყველა კოეფიციენტი უარყოფით ხარისხებზე (z. - 20) ტოლია ნულის: პირიქით, მოდით Laurent ფუნქციის /(r) გაფართოება zq წერტილის სამეზობლოში შეიცავს მხოლოდ სწორ ნაწილს, ანუ აქვს ფორმა (23) და, შესაბამისად, არის ტეილორი. ადვილი მისახვედრია, რომ z -* z0-სთვის /(z) ფუნქციას აქვს ზღვრული მნიშვნელობა: თეორემა 17. f(z) ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილი zq არის ამოღებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუნქცია J(z) არის. შემოსაზღვრულია ზქ წერტილის ზოგიერთ პუნქციურ უბანში, ზღმეჩაი არა. მოდით r იყოს /(r) ფუნქციის ამოსახსნელი სინგულარული წერტილი. თუ დავუშვებთ, რომ ფუნქცია /(r) არის ანალიტიკური რაღაც წრეში, რომლის ცენტრია r წერტილში. ეს განსაზღვრავს წერტილის სახელს - მოსახსნელი. f(z) ფუნქციის პოლუსის რიგი არის jfa ფუნქციის ნულის რიგი. შემდეგი განცხადება გამომდინარეობს თეორემებიდან 16 და 18. თეორემა 19. იზოლირებული სინგულარული წერტილი არსებითად სინგულარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ლორანის გაფართოების ძირითადი ნაწილი ამ წერტილის პუნქციურ სამეზობლოში შეიცავს უსასრულოდ ბევრ არანულოვან წევრს. მაგალითი 5. ფუნქციის სინგულარული წერტილია zo = 0. გვაქვს Laurent Series იზოლირებული სინგულარული წერტილები და მათი კლასიფიკაცია ამიტომ, zo = O არის მოხსნადი სინგულარული წერტილი. /(z) ფუნქციის გაფართოება ლორანის სერიად ნულოვანი წერტილის სიახლოვეს შეიცავს მხოლოდ სწორ ნაწილს: მაგალითი7. /(z) = f(z) ფუნქციის სინგულარული წერტილი არის zq = 0. განვიხილოთ ამ ფუნქციის ქცევა რეალურ და წარმოსახვით ღერძებზე: რეალურ ღერძზე x 0-ზე, წარმოსახვით ღერძზე შესაბამისად, არსებობს არ არის არც სასრული და არც უსასრულო ზღვარი f(z)-სთვის z -* 0 არ არსებობს. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი r = 0 არის f(z) ფუნქციის არსებითად სინგულარული წერტილი. ვიპოვოთ f(z) ფუნქციის ლორანის გაფართოება ნულოვანი წერტილის სიახლოვეს. ნებისმიერი კომპლექსისთვის C გვაქვს Set. შემდეგ ლორანის გაფართოება შეიცავს უსასრულო რაოდენობის წევრებს z-ის უარყოფითი ძალებით.

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულებისაიტზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება ვებ გვერდზე, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომლებიც ავტომატურად გენერირებულია Wolfram Alpha-ს მიერ. . გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდიხელს შეუწყობს ვებსაიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. ის დიდი ხანია მუშაობს (და, ვფიქრობ, იმუშავებს სამუდამოდ), მაგრამ უკვე მორალურად მოძველებულია.

თუ თქვენ რეგულარულად იყენებთ მათემატიკურ ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax - სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკურ აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

MathJax–ის გამოყენების დასაწყებად ორი გზა არსებობს: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს საიტზე, რაც შესაფერისი მომენტიავტომატურად იტვირთება დისტანციური სერვერიდან (სერვერების სია); (2) ჩამოტვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი - უფრო რთული და შრომატევადი - დააჩქარებს თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვას და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და სულ რაღაც 5 წუთში შეძლებთ MathJax-ის ყველა ფუნქციის გამოყენებას თქვენს საიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან ორი კოდის ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდზე:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის და ან ტეგის შემდეგ დაუყოვნებლივ. პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვამთ, გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად ყველაზე მარტივი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი ჩამოტვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). სულ ესაა. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ ჩასვათ მათემატიკური ფორმულები თქვენი საიტის ვებ გვერდებში.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის ასაგებად განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად სიბრტყეებით 27 თანაბარ კუბებად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. შედეგი არის ნაკრები, რომელიც შედგება დარჩენილი 20 პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. ამ პროცესის უსასრულოდ გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ მენგერის ღრუბელს.

თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა რიგის წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:
,
სად r n- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ტერმინი ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც რიცხვი x არის x-სა და a-ს შორის.

f(x)=

წერტილში x 0 = რიგის ელემენტების რაოდენობა 3 4 5 6 7

ფუნქციების შეყვანის წესები:

თუ რაიმე ღირებულებისთვის X r n→0 საათზე ნ→∞, მაშინ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა ხდება კონვერგენტული ამ მნიშვნელობისთვის ტეილორის სერია:
,
ამგვარად, ფუნქცია f(x) შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში განსახილველ x წერტილში, თუ:
1) მას აქვს ყველა ბრძანების წარმოებულები;
2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

როდესაც a = 0 ვიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლარინის სერია:
,
მაკლარინის სერიის უმარტივესი (ელემენტარული) ფუნქციების გაფართოება:
ექსპონენციალური ფუნქციები
, R=∞
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ფუნქცია actgx არ ფართოვდება x-ის ხარისხებში, რადგან ctg0=∞
ჰიპერბოლური ფუნქციები


ლოგარითმული ფუნქციები
, -1