რიცხვთა სერია, რომლის წევრებს აქვთ თვითნებური ნიშნები (+), (?) ეწოდება ალტერნატიული სერია. ზემოთ განხილული ალტერნატიული სერიები არის ალტერნატიული სერიების განსაკუთრებული შემთხვევა; ნათელია, რომ ყველა ალტერნატიული სერია არ არის ალტერნატიული. მაგალითად, რიგი? ალტერნატიული, მაგრამ არა ალტერნატიული სერია.

გაითვალისწინეთ, რომ ალტერნატიულ სერიაში არის უსასრულოდ ბევრი ტერმინი, როგორც ნიშნით (+) ასევე ნიშნით (?). თუ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება, მაგალითად, სერია შეიცავს უარყოფით წევრთა სასრულ რაოდენობას, მაშინ მათი გაუქმება შეიძლება და მხოლოდ დადებითი ტერმინებისგან შემდგარი სერია შეიძლება ჩაითვალოს და პირიქით.

განმარტება 1. თუ რიცხვთა რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის S-ს, ხოლო ნაწილობრივი ჯამი უდრის S n-ს, მაშინ მას უწოდებენ რიგის ნაშთს და ე.ი. კონვერგენტული სერიის დარჩენილი ნაწილი მიდრეკილია 0-მდე.

განვიხილოთ კონვერგენტული ალტერნატიული სერია როგორც განსაკუთრებული შემთხვევაალტერნატიული სერია

სად. დავწეროთ ფორმაში, შემდეგ ლაიბნიცის კრიტერიუმით; მას შემდეგ, რაც, ე.ი. კონვერგენტული სერიის დარჩენილი ნაწილი მიდრეკილია 0-მდე.

ალტერნატიული სერიებისთვის შემოყვანილია აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენციის ცნებები.

განმარტება 2. სერია ითვლება აბსოლუტურად კონვერგენტად, თუ სერია, რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან, იყრის თავს.

განმარტება 3. თუ რიცხვთა სერია იყრის თავს და მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებით შედგენილი სერია განსხვავდება, მაშინ თავდაპირველ სერიას პირობითად (არააბსოლუტურად) კონვერგენტი ეწოდება.

თეორემა 2 (საკმარისი კრიტერიუმი ალტერნატიული სერიების დაახლოებისთვის). ალტერნატიული სერია იყრის თავს და აბსოლუტურად, თუ სერია, რომელიც შედგება მისი ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან, იყრის თავს.

მტკიცებულება. სერიის ნაწილობრივი ჯამით აღვნიშნოთ: , და? სერიის ნაწილობრივი ჯამი: . მოდით აღვნიშნოთ ყველა დადებითი წევრის ჯამით და ყველა უარყოფითი ტერმინის აბსოლუტური მნიშვნელობების ჯამით. ცხადია.

თეორემის პირობების მიხედვით სერიები იყრის თავს, მაშინ ის არსებობს და თანმიმდევრობაც ასეა? მონოტონურად მზარდი და არაუარყოფითი, მაშინ. ცხადია, მაშინ მიმდევრობები და არიან მონოტონურად მზარდი და შემოსაზღვრული და მათი საზღვრები ტოლია და. მაშინ. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ალტერნატიული სერიები იყრის თავს და აბსოლუტურად იყრის თავს. თეორემა დადასტურებულია.

კომენტარი. თეორემა 2 იძლევა მხოლოდ საკმარის პირობას ალტერნატიული სერიების კონვერგენციისთვის. საპირისპირო თეორემა არ არის ჭეშმარიტი, ე.ი. თუ ალტერნატიული სერიები იყრის თავს, მაშინ არ არის აუცილებელი, რომ მოდულებისგან შემდგარი სერიები გადაიზარდოს (ის შეიძლება იყოს კონვერგენტული ან განსხვავებული). მაგალითად, სერია იყრის თავს ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით (იხ. მაგალითი 1 ამ ლექციის), მაგრამ სერია, რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან (ჰარმონიული სერია) განსხვავდება.

მაგალითი 2. შეისწავლეთ რიგი პირობითი და აბსოლუტური კონვერგენციისთვის.

გამოსავალი. ეს სერია მონაცვლეობითია, რომლის ზოგადი ტერმინი აღინიშნა: . მოდით შევადგინოთ აბსოლუტური მნიშვნელობების სერია და გამოვიყენოთ მასზე დ'ალბერტის ტესტი. მოდით შევქმნათ ლიმიტი, სადაც, . გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ ვიღებთ: ამრიგად, სერიები იყრის თავს, რაც ნიშნავს, რომ თავდაპირველი ალტერნატიული სერია აბსოლუტურად იყრის თავს. პასუხი: სერია აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

მაგალითი 3. შეისწავლეთ რიგი აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენციისთვის.

გამოსავალი. ა) ჩვენ განვიხილავთ სერიას აბსოლუტური კონვერგენციისთვის. მოდით აღვნიშნოთ და შევადგინოთ აბსოლუტური მნიშვნელობების სერია. ვიღებთ სერიას დადებითი ტერმინებით, რომელზედაც გამოვიყენებთ ზღვრულ ტესტს სერიების შესადარებლად (თეორემა 2, ლექცია 2, სექცია 2.2). სერიასთან შესადარებლად, განიხილეთ სერია, რომელსაც აქვს ფორმა. ეს სერია არის დირიხლეს სერია მაჩვენებლით, ე.ი. ის განსხვავდება. შევადგინოთ და გამოვთვალოთ შემდეგი ლიმიტი. ვინაიდან ლიმიტი არსებობს, არ არის 0-ის ტოლი და არ არის ?-ის ტოლი, მაშინ ორივე სერია ერთნაირად იქცევა. ამრიგად, სერია განსხვავდება, რაც ნიშნავს, რომ ორიგინალური სერია არ არის აბსოლუტურად კონვერგენტული.

ბ) შემდეგ, ჩვენ განვიხილავთ თავდაპირველ სერიას პირობითი კონვერგენციისთვის. ამისათვის შევამოწმოთ ლაიბნიცის კრიტერიუმის პირობების შესრულება (თეორემა 1, სექცია 3.1). პირობა 1): , სადაც, ე.ი. ეს სერია ალტერნატიულია. მე-2 პირობის შესამოწმებლად სერიის ტერმინების მონოტონური კლების შესახებ ვიყენებთ შემდეგი მეთოდი. განვიხილოთ დამხმარე ფუნქცია განსაზღვრული at (ფუნქცია ისეთია, რომ at გვაქვს). ამ ფუნქციის მონოტონურობის შესამოწმებლად, ვიპოვოთ მისი წარმოებული: . ეს წარმოებული ზე. შესაბამისად, ფუნქცია მონოტონურად მცირდება x-ის მითითებულ მნიშვნელობებზე. ვივარაუდოთ, მივიღებთ სად. ეს ნიშნავს, რომ პირობა 2) დაკმაყოფილებულია. 3 პირობის შესამოწმებლად ვპოულობთ საერთო ტერმინის ზღვარს: , ე.ი. მესამე პირობა დაკმაყოფილებულია. ამრიგად, ორიგინალური სერიისთვის ლაიბნიცის ტესტის ყველა პირობა დაკმაყოფილებულია, ე.ი. ის იყრის თავს.

პასუხი: სერია პირობითად იყრის თავს.

აბსოლუტურად და პირობითად კონვერგენტული სერიების თვისებები

თვისება 1. თუ რიგი აბსოლიტურად კონვერგენტულია, მაშინ ის აბსოლიტურად იყრის თავს მისი წევრების ნებისმიერი პერმუტაციისთვის და რიგის ჯამი არ არის დამოკიდებული წევრთა თანმიმდევრობაზე. თუ? ყველა მისი დადებითი ტერმინების ჯამი, არა? უარყოფითი ტერმინების ყველა აბსოლუტური მნიშვნელობის ჯამი, მაშინ სერიის ჯამი ტოლია.

თვისება 2. თუ რიგი აბსოლუტურად კონვერგენტულია და, მაშინ სერიაც აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

თვისება 3. თუ სერიები აბსოლუტურად კონვერგენტულია, მაშინ სერიები ასევე აბსოლუტურად კონვერგენციულია.

თვისება 4 (რიმანის თეორემა). თუ რიგი პირობითად კონვერგენტულია, მაშინ რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ A, შეგვიძლია გადავაწყოთ ამ რიგის ტერმინები ისე, რომ მისი ჯამი აღმოჩნდეს ზუსტად A-ს ტოლი; უფრო მეტიც, შესაძლებელია პირობითად კონვერგენტული სერიის პირობების გადალაგება ისე, რომ ამის შემდეგ იგი განსხვავდებოდეს.

რიცხვთა სერიას, რომელიც შეიცავს უსასრულო რაოდენობის დადებით და უსასრულო რაოდენობის უარყოფით წევრებს, ეწოდება მონაცვლეობა.

აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენცია

სერია ითვლება აბსოლუტურად კონვერგენტურად, თუ სერია ასევე იყრის თავს.

თუ სერია აბსოლუტურად იყრის თავს, მაშინ ის კონვერგენტულია (ჩვეულებრივი გაგებით). საპირისპირო განცხადება არ შეესაბამება სიმართლეს.

სერიას ეწოდება პირობითად კონვერგენტი, თუ ის თავისთავად იყრის თავს და მისი წევრების მოდულებისაგან შემდგარი სერია განსხვავდება.

გადახედეთ სერიას კონვერგენციისთვის .

გამოვიყენოთ ლაიბნიცის საკმარისი ტესტი ალტერნატიული სერიებისთვის. ვიღებთ

რადგან . აქედან გამომდინარე, ამ სერიასიყრის თავს.

38. ალტერნატიული რიგები. ლაიბნიცის ნიშანი.

ალტერნატიული სერიების განსაკუთრებული შემთხვევაა ალტერნატიული სერია, ანუ სერია, რომელშიც თანმიმდევრულ ტერმინებს აქვთ საპირისპირო ნიშნები.

ლაიბნიცის ტესტი

ერთმანეთის გვერდით მონაცვლეობითი ნიშნებისთვის გამოიყენება ლაიბნიცის კონვერგენციის საკმარისი კრიტერიუმი.

მოდით (an) იყოს რიცხვითი მიმდევრობა ისეთი, რომ

1. an+1< an для всех n;

შემდეგ იწყება ალტერნატიული სერია.

39. ფუნქციური სერია. სიმძლავრის სერია. კონვერგენციის რადიუსი. კონვერგენციის ინტერვალი.

ფუნქციური სერიის და სიმძლავრის სერიის კონცეფცია

ჩვეულებრივი რიცხვების სერია, გახსოვდეთ, შედგება რიცხვებისგან:

სერიის ყველა წევრი არის NUMBERS.

ფუნქციური სერია შედგება ფუნქციებისგან:

პოლინომების, ფაქტორებისა და სხვა საჩუქრების გარდა, სერიის საერთო წევრი აუცილებლად შეიცავს ასო "X". მაგალითად, ასე გამოიყურება:

რიცხვების სერიების მსგავსად, ნებისმიერი ფუნქციური სერია შეიძლება დაიწეროს გაფართოებული ფორმით:

როგორც ხედავთ, ფუნქციონალური სერიის ყველა წევრი ფუნქციებია.

ფუნქციური სერიების ყველაზე პოპულარული ტიპია დენის სერია.

განმარტება:

სიმძლავრის სერია არის სერია, რომლის საერთო ტერმინი მოიცავს დამოუკიდებელი ცვლადის დადებით მთელ რიცხვებს.

ბევრ სახელმძღვანელოში სიმძლავრეების სერია უბრალოდ შემდეგნაირად იწერება: სად არის რიცხვითი სერიების ძველი ნაცნობი „შევსება“ (პოლინომები, ხარისხები, ფაქტორები, დამოკიდებულია მხოლოდ „ენ“-ზე). უმარტივესი მაგალითი:

მოდით შევხედოთ ამ გაფართოებას და კიდევ ერთხელ გავიგოთ განმარტება: სიმძლავრის სერიის ტერმინები შეიცავს "x"-ებს დადებით მთელ რიცხვებში (ბუნებრივ) ხარისხებში.

ძალიან ხშირად, სიმძლავრის სერია შეიძლება მოიძებნოს შემდეგ „მოდიფიკაციებში“: ან სადაც a არის მუდმივი. მაგალითად:

მკაცრად რომ ვთქვათ, სიმძლავრის სერიების გამარტივებული აღნიშვნები მთლად სწორი არ არის. ექსპონენტში, მარტოხელა ასო "en"-ის ნაცვლად შეიძლება იყოს უფრო რთული გამოხატულება, მაგალითად:

ან ეს სიმძლავრის სერია:

თუ მხოლოდ ხარისხის ინდექსები "XA"-სთვის იყო ბუნებრივი.

სიმძლავრის სერიების კონვერგენცია.

კონვერგენციის ინტერვალი, კონვერგენციის რადიუსი და კონვერგენციის არე

არ არის საჭირო ტერმინების ასეთი სიმრავლის შეშინება. უმჯობესია აირჩიოთ მარტივი ექსპერიმენტული სერია და დაუყოვნებლივ დაიწყოთ მისი გარკვევა.

გთხოვთ, შეიყვაროთ და დაეხმაროთ სიმძლავრის სერიას. ცვლადს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა „მინუს უსასრულობამდე“. მოდით ჩავანაცვლოთ რამდენიმე თვითნებური "x" მნიშვნელობა სერიის საერთო ტერმინში:

თუ x=1, მაშინ

თუ x=-1, მაშინ

განმარტება 1

რიცხვთა სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, რომლის ტერმინებს აქვთ თვითნებური ნიშნები (+), (?), ეწოდება ალტერნატიული რიგი.

ზემოთ განხილული ალტერნატიული სერიები არის ალტერნატიული სერიების განსაკუთრებული შემთხვევა; ნათელია, რომ ყველა ალტერნატიული სერია არ არის ალტერნატიული. მაგალითად, სერია $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ მონაცვლეობით, მაგრამ არა მონაცვლეობითი სერია.

გაითვალისწინეთ, რომ ალტერნატიულ სერიაში არის უსასრულოდ ბევრი ტერმინი როგორც ნიშნით (+) ასევე ნიშნით (-). თუ ეს სიმართლეს არ შეესაბამება, მაგალითად, სერია შეიცავს უარყოფით წევრთა სასრულ რაოდენობას, მაშინ მათი გაუქმება შეიძლება და მხოლოდ დადებითი ტერმინებისგან შემდგარი სერია შეიძლება ჩაითვალოს და პირიქით.

განმარტება 2

თუ რიცხვების სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ გადაიყრება და მისი ჯამი უდრის S, ნაწილობრივიჯამი უდრის $S_n$-ს, შემდეგ $r_(n) =S-S_(n) $ ეწოდება სერიის ნარჩენს და $\mathop(\lim)\limits_(n\to \infty) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\ to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, ე.ი. კონვერგენტული სერიის დარჩენილი ნაწილი მიდრეკილია 0-მდე.

განმარტება 3

სერიას $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ეწოდება აბსოლუტურად კონვერგენტული, თუ სერია, რომელიც შედგება მისი ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებით $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \მარჯვნივ| $.

განმარტება 4

თუ რიცხვების სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ იყრის თავს და სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\right| $, რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან, განსხვავდება, შემდეგ თავდაპირველ სერიას ეწოდება პირობითად (არა აბსოლუტური) კონვერგენტი.

თეორემა 1 (საკმარისი კრიტერიუმი ალტერნატიული სერიების დაახლოებისთვის)

ალტერნატიული სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ იყრის თავს და აბსოლუტურად, თუ მისი ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან შემდგარი სერია იყრის $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \მარჯვნივ| $.

კომენტარი

თეორემა 1 იძლევა მხოლოდ საკმარის პირობას ალტერნატიული სერიების კონვერგენციისთვის. საპირისპირო თეორემა არ არის ჭეშმარიტი, ე.ი. თუ ალტერნატიული სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ იყრის თავს, მაშინ არ არის აუცილებელი, რომ სერია, რომელიც შედგება $\sum \limits _(n=1) მოდულებისაგან. ^( \infty )\left|u_(n) \მარჯვნივ| $ (ეს შეიძლება იყოს კონვერგენტული ან განსხვავებული). მაგალითად, სერია $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ იყრის თავს ლაიბნიცის კრიტერიუმის მიხედვით და სერია, რომელიც შედგება მისი ტერმინების აბსოლუტური მნიშვნელობებით $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (ჰარმონიული სერია) განსხვავდება.

საკუთრება 1

თუ სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ არის აბსოლიტურად კონვერგენტული, მაშინ ის აბსოლიტურად კონვერგირდება მისი ტერმინების ნებისმიერი პერმუტაციისთვის და სერიების ჯამი არ არის დამოკიდებული პირობების თანმიმდევრობა. თუ $S"$ არის მისი ყველა დადებითი წევრის ჯამი, ხოლო $S""$ არის უარყოფითი წევრების ყველა აბსოლუტური მნიშვნელობების ჯამი, მაშინ სერიის ჯამი $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ უდრის $S=S"-S""$-ს.

საკუთრება 2

თუ სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ არის აბსოლუტურად კონვერგენტული და $C=(\rm const)$, მაშინ სერია $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ ასევე აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

საკუთრება 3

თუ სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ და $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ აბსოლუტურად კონვერგენტულია, მაშინ სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ ასევე აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

თვისება 4 (რიმანის თეორემა)

თუ რიგი პირობითად კონვერგენტულია, მაშინ რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ A, შეგვიძლია გადავაწყოთ ამ რიგის ტერმინები ისე, რომ მისი ჯამი აღმოჩნდეს ზუსტად A-ს ტოლი; უფრო მეტიც, შესაძლებელია პირობითად კონვერგენტული სერიის პირობების გადალაგება ისე, რომ ამის შემდეგ იგი განსხვავდებოდეს.

მაგალითი 1

შეისწავლეთ სერია პირობითი და აბსოლუტური კონვერგენციისთვის

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

გამოსავალი. ეს სერია მონაცვლეობითია, რომლის ზოგადი ტერმინი აღინიშნა: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

მაგალითი 2

შეისწავლეთ სერია $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ აბსოლუტური და პირობითი კონვერგენციისთვის.

1. მოდით შევამოწმოთ სერია აბსოლუტური კონვერგენციისთვის. მოდით ავღნიშნოთ $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ და შევადგინოთ აბსოლუტური მნიშვნელობების სერია $a_(n) =\ მარცხენა|u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. ვიღებთ სერიას $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ დადებითი ტერმინებით, რაზეც ვიყენებთ სერიების შედარების შემზღუდველ კრიტერიუმს. შედარებისთვის $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ განიხილეთ სერია, რომელსაც აქვს ფორმა $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. ეს სერია არის დირიხლეს სერია მაჩვენებლით $p=\frac(1)(2)
2. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ თავდაპირველ სერიას $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ პირობითად კონვერგენცია. ამისათვის ვამოწმებთ ლაიბნიცის ტესტის პირობების შესრულებას. პირობა 1: $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, სადაც $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , ე.ი. ეს სერია მონაცვლეობითია. მე-2 პირობის შესამოწმებლად სერიის ტერმინების მონოტონური კლების შესახებ, ვიყენებთ შემდეგ მეთოდს. განვიხილოთ დამხმარე ფუნქცია $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ განსაზღვრული $x\in-ზე)