მექანიკურ სისტემას, რომელიც შედგება მატერიალური წერტილისგან (სხეულისგან), რომელიც ჩამოკიდებულია გაუწელვებელ უწონო ძაფზე (მისი მასა უმნიშვნელოა სხეულის წონასთან შედარებით), ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში ეწოდება მათემატიკური გულსაკიდი (სხვა სახელი არის ოსცილატორი). ამ მოწყობილობის სხვა ტიპები არსებობს. ძაფის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ უწონო ჯოხი. მათემატიკის გულსაკიდიშეუძლია ნათლად გამოავლინოს ბევრი საინტერესო ფენომენის არსი. როდესაც ვიბრაციის ამპლიტუდა მცირეა, მის მოძრაობას ჰარმონიული ეწოდება.

მექანიკური სისტემის მიმოხილვა

ამ ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულა გამოიღო ჰოლანდიელმა მეცნიერმა ჰიუგენსმა (1629-1695). ი. ნიუტონის ეს თანამედროვე ძალიან დაინტერესებული იყო ამ მექანიკური სისტემით. 1656 წელს მან შექმნა პირველი საათი ქანქარის მექანიზმით. მათ დრო განსაკუთრებული სიზუსტით გაზომეს იმ დროისთვის. ეს გამოგონება გახდა ყველაზე მნიშვნელოვანი ეტაპიფიზიკური ექსპერიმენტებისა და პრაქტიკული აქტივობების შემუშავებაში.

თუ ქანქარა წონასწორობის მდგომარეობაშია (დაკიდებული ვერტიკალურად), ის დაბალანსდება ძაფის დაჭიმვის ძალით. ბრტყელი ქანქარა გაუწელვებელ ძაფზე არის სისტემა, რომელსაც აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი დაწყვილებით. როდესაც თქვენ შეცვლით მხოლოდ ერთ კომპონენტს, იცვლება მისი ყველა ნაწილის მახასიათებლები. ასე რომ, თუ ძაფი ჩანაცვლდება ღეროთი, მაშინ ამ მექანიკურ სისტემას ექნება თავისუფლების მხოლოდ 1 ხარისხი. რა თვისებები აქვს მათემატიკური ქანქარას? ამ უმარტივეს სისტემაში ქაოსი წარმოიქმნება პერიოდული დარღვევების გავლენის ქვეშ. იმ შემთხვევაში, როდესაც დაკიდების წერტილი არ მოძრაობს, მაგრამ რხევა, ქანქარას აქვს ახალი წონასწორული პოზიცია. სწრაფი რხევებით მაღლა და ქვევით, ეს მექანიკური სისტემა იძენს სტაბილურ „თავდაყირა“ პოზიციას. მას ასევე აქვს საკუთარი სახელი. მას კაპიცას ქანქარას უწოდებენ.

ქანქარის თვისებები

მათემატიკურ ქანქარას აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები. ყველა მათგანი დადასტურებულია ცნობილი ფიზიკური კანონებით. ნებისმიერი სხვა ქანქარის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია სხვადასხვა გარემოებებზე, როგორიცაა სხეულის ზომა და ფორმა, დაკიდების წერტილსა და სიმძიმის ცენტრს შორის დაშორება და მასის განაწილება ამ წერტილთან შედარებით. ამიტომაც არის ჩამოკიდებული სხეულის პერიოდის განსაზღვრა საკმაოდ რთული ამოცანა. გაცილებით ადვილია მათემატიკური ქანქარის პერიოდის გამოთვლა, რომლის ფორმულა ქვემოთ იქნება მოცემული. მსგავსი მექანიკური სისტემების დაკვირვების შედეგად შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი შაბლონები:

თუ გულსაკიდის ერთი და იგივე სიგრძის შენარჩუნებისას სხვადასხვა წონას დავკიდებთ, მაშინ მათი რხევების პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა მათი მასები ძლიერ ცვალებადი იქნება. შესაბამისად, ასეთი ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.

თუ სისტემის გაშვებისას ქანქარა გადახრილია არც თუ ისე დიდი, არამედ სხვადასხვა კუთხით, მაშინ ის დაიწყებს რხევას იმავე პერიოდით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებით. სანამ გადახრები წონასწორობის ცენტრიდან არ არის ძალიან დიდი, მათი სახით ვიბრაციები საკმაოდ ახლოს იქნება ჰარმონიულთან. ასეთი ქანქარის პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული რხევის ამპლიტუდაზე. მოცემული მექანიკური სისტემის ამ თვისებას ეწოდება იზოქრონიზმი (ბერძნულიდან თარგმნილია „ქრონოსი“ - დრო, „ისოს“ - თანაბარი).

მათემატიკური ქანქარის პერიოდი

ეს მაჩვენებელი წარმოადგენს ბუნებრივი რხევების პერიოდს. რთული ფორმულირების მიუხედავად, პროცესი თავისთავად ძალიან მარტივია. თუ მათემატიკური ქანქარის ძაფის სიგრძე არის L და აჩქარება თავისუფალი დაცემა g, მაშინ ეს მნიშვნელობა უდრის:

პატარების პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული ქანქარის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე. ამ შემთხვევაში, ქანქარა მოძრაობს როგორც მათემატიკური, მოცემული სიგრძით.

მათემატიკური ქანქარის რხევები

მათემატიკური ქანქარა რხევა, რაც შეიძლება აღწერილი იყოს მარტივი დიფერენციალური განტოლებით:

x + ω2 sin x = 0,

სადაც x (t) უცნობი ფუნქციაა (ეს არის გადახრის კუთხე ქვედა წონასწორობის პოზიციიდან t მომენტში, გამოხატული რადიანებით); ω არის დადებითი მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება ქანქარის პარამეტრებიდან (ω = √g/L, სადაც g არის გრავიტაციის აჩქარება, ხოლო L არის მათემატიკური ქანქარის სიგრძე (შეჩერება).

წონასწორობის პოზიციის მახლობლად მცირე ვიბრაციების განტოლება (ჰარმონიული განტოლება) ასე გამოიყურება:

x + ω2 sin x = 0

ქანქარის რხევითი მოძრაობები

მათემატიკური გულსაკიდი, რომელიც აკეთებს მცირე რხევებს, მოძრაობს სინუსოიდის გასწვრივ. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება აკმაყოფილებს ასეთი მოძრაობის ყველა მოთხოვნას და პარამეტრს. ტრაექტორიის დასადგენად აუცილებელია სიჩქარის და კოორდინატის დაყენება, საიდანაც შემდეგ განისაზღვრება დამოუკიდებელი მუდმივები:

x = ცოდვა (θ 0 + ωt),

სადაც θ 0 არის საწყისი ფაზა, A არის რხევის ამპლიტუდა, ω არის ციკლური სიხშირე, რომელიც განისაზღვრება მოძრაობის განტოლებიდან.

მათემატიკური ქანქარა (ფორმულები დიდი ამპლიტუდებისთვის)

ეს მექანიკური სისტემა, რომელიც რხევა მნიშვნელოვანი ამპლიტუდით, ექვემდებარება მოძრაობის უფრო რთულ კანონებს. ასეთი ქანქარისთვის ისინი გამოითვლება ფორმულის მიხედვით:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

სადაც sn არის იაკობის სინუსი, რომელიც u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

სადაც ε = E/mL2 (mL2 არის ქანქარის ენერგია).

არაწრფივი ქანქარის რხევის პერიოდი განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც Ω = π/2 * ω/2K(u), K არის ელიფსური ინტეგრალი, π - 3,14.

ქანქარის მოძრაობა სეპარატრიქსის გასწვრივ

სეპარატრიქსი არის დინამიური სისტემის ტრაექტორია, რომელსაც აქვს ორგანზომილებიანი ფაზის სივრცე. მათემატიკური ქანქარა მის გასწვრივ არაპერიოდულად მოძრაობს. დროის უსასრულოდ შორეულ მომენტში ის თავისი უმაღლესი პოზიციიდან გვერდზე ეცემა ნულოვანი სიჩქარით, შემდეგ თანდათან იძენს მას. ის საბოლოოდ ჩერდება და უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.

თუ ქანქარის რხევების ამპლიტუდა უახლოვდება რიცხვს π , ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ფაზის სიბრტყეზე მოძრაობა უახლოვდება სეპარატრიქსს. ამ შემთხვევაში, მცირე მამოძრავებელი პერიოდული ძალის გავლენის ქვეშ, მექანიკური სისტემა ავლენს ქაოტურ ქცევას.

როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან φ კუთხით, წარმოიქმნება სიმძიმის ტანგენციალური ძალა Fτ = -mg sin φ. მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ ეს ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია ქანქარის გადახრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. როდესაც x-ით აღვნიშნავთ ქანქარის გადაადგილებას L რადიუსით წრიული რკალის გასწვრივ, მისი კუთხური გადაადგილება უდრის φ = x/L. მეორე კანონი, რომელიც განკუთვნილია პროგნოზებისა და ძალისთვის, მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:

მგ τ = Fτ = -mg sin x/L

ამ დამოკიდებულებიდან გამომდინარე, ცხადია, რომ ეს ქანქარა არის არაწრფივი სისტემა, რადგან ძალა, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს იგი წონასწორობის მდგომარეობაში, ყოველთვის პროპორციულია არა x გადაადგილების, არამედ sin x/L.

მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი ასრულებს მცირე რხევებს, ის ჰარმონიული ოსცილატორია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ხდება მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს ჰარმონიული რხევები. ეს მიახლოება პრაქტიკულად მოქმედებს 15-20° კუთხისთვის. დიდი ამპლიტუდის მქონე ქანქარის რხევები არ არის ჰარმონიული.

ნიუტონის კანონი ქანქარის მცირე რხევებისთვის

თუ მოცემული მექანიკური სისტემა ასრულებს მცირე ვიბრაციას, ნიუტონის მე-2 კანონი ასე გამოიყურება:

მგ τ = Fτ = -m* g/L* x.

ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური ქანქარა პროპორციულია მისი გადაადგილების მინუს ნიშნით. ეს არის მდგომარეობა, რის გამოც სისტემა ხდება ჰარმონიული ოსცილატორი. გადაადგილებასა და აჩქარებას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული უდრის წრიული სიხშირის კვადრატს:

ω02 = გ/ლ; ω0 = √ გ/ლ.

ეს ფორმულა ასახავს ამ ტიპის ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივ სიხშირეს. ამის საფუძველზე,

T = 2π/ ω0 = 2π√ გ/ლ.

ენერგიის შენარჩუნების კანონის საფუძველზე გამოთვლები

ქანქარის თვისებები ასევე შეიძლება აღწერილი იყოს ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით. გასათვალისწინებელია, რომ გრავიტაციულ ველში ქანქარა უდრის:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

ჯამი უდრის კინეტიკურ ან მაქსიმალურ პოტენციალს: Epmax = Ekmsx = E

ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის შემდეგ აიღეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარის წარმოებული:

ვინაიდან მუდმივი სიდიდეების წარმოებული უდრის 0-ს, მაშინ (Ep + Ek)" = 0. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = მგ/2L*2x*x" ​​= მგ/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

აქედან გამომდინარე:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

ბოლო ფორმულის საფუძველზე ვხვდებით: α = - g/L*x.

მათემატიკური ქანქარის პრაქტიკული გამოყენება

აჩქარება მერყეობს გრძედის მიხედვით, რადგან დედამიწის ქერქის სიმკვრივე არ არის ერთნაირი მთელ პლანეტაზე. სადაც უფრო მაღალი სიმკვრივის ქანები გვხვდება, ის ოდნავ უფრო მაღალი იქნება. მათემატიკური ქანქარის აჩქარება ხშირად გამოიყენება გეოლოგიური კვლევისთვის. იგი გამოიყენება სხვადასხვა მინერალების მოსაძებნად. უბრალოდ, ქანქარის რხევების რაოდენობის დათვლით, შეიძლება დედამიწის ნაწლავებში ნახშირის ან მადნის აღმოჩენა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ ნამარხებს აქვთ სიმკვრივე და მასა უფრო დიდი, ვიდრე ქვევით ფხვიერი ქანები.

მათემატიკური გულსაკიდი გამოიყენეს ისეთი გამოჩენილი მეცნიერების მიერ, როგორებიც არიან სოკრატე, არისტოტელე, პლატონი, პლუტარქე, არქიმედე. ბევრ მათგანს სჯეროდა, რომ ამ მექანიკურ სისტემას შეუძლია გავლენა მოახდინოს ადამიანის ბედსა და ცხოვრებაზე. არქიმედესმა გამოთვლებში გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა. დღესდღეობით ბევრი ოკულტისტი და ექსტრასენსი იყენებს ამ მექანიკურ სისტემას თავიანთი წინასწარმეტყველებების შესასრულებლად ან დაკარგული ადამიანების მოსაძებნად.

ცნობილმა ფრანგმა ასტრონომმა და ბუნებისმეტყველმა კ.ფლამარიონმა ასევე გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა კვლევისთვის. ის ამტკიცებდა, რომ მისი დახმარებით შეძლო ახალი პლანეტის აღმოჩენის წინასწარმეტყველება, ტუნგუსკის მეტეორიტის გამოჩენა და სხვა. მნიშვნელოვანი მოვლენები. მეორე მსოფლიო ომის დროს გერმანიაში (ბერლინი) ფუნქციონირებდა სპეციალიზებული Pendulum Institute. დღესდღეობით მიუნხენის პარაფსიქოლოგიის ინსტიტუტი მსგავს კვლევებს ეწევა. ამ დაწესებულების თანამშრომლები ქანქარით მუშაობას „რადიესთეზიას“ უწოდებენ.

ქანქარები ნაჩვენებია ნახ. 2, წარმოადგენს გაფართოებულ სხეულებს სხვადასხვა ფორმებიდა ზომები, რხევა შეჩერების ან საყრდენი წერტილის გარშემო. ასეთ სისტემებს ფიზიკურ ქანქარებს უწოდებენ. წონასწორობის მდგომარეობაში, როდესაც სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ვერტიკალურზე დაკიდების (ან საყრდენი წერტილის) ქვემოთ, სიმძიმის ძალა დაბალანსებულია (დეფორმირებული ქანქარის ელასტიური ძალების მეშვეობით) საყრდენის რეაქციით. წონასწორობის პოზიციიდან გადახრისას გრავიტაცია და დრეკადობის ძალები განსაზღვრავენ ქანქარის კუთხური აჩქარებას დროის ყოველ მომენტში, ანუ განსაზღვრავენ მისი მოძრაობის (რხევის) ბუნებას. ჩვენ ახლა უფრო დეტალურად განვიხილავთ რხევების დინამიკას ეგრეთ წოდებული მათემატიკური ქანქარის უმარტივესი მაგალითის გამოყენებით, რომელიც წარმოადგენს გრძელ თხელ ძაფზე დაკიდებულ მცირე წონას.

მათემატიკური ქანქარაში ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ძაფის მასა და წონის დეფორმაცია, ანუ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ქანქარის მასა კონცენტრირებულია წონაში, ხოლო ელასტიური ძალები კონცენტრირებულია ძაფში, რომელიც ითვლება განუვითარებლად. . ახლა ვნახოთ, რა ძალების ქვეშ ირხევა ჩვენი ქანქარა მას შემდეგ, რაც ის წონასწორული პოზიციიდან რაიმე გზით მოიხსნება (ბიძგი, გადახრა).

როდესაც ქანქარა ისვენებს წონასწორობის მდგომარეობაში, სიმძიმის ძალა, რომელიც მოქმედებს მის წონაზე და მიმართულია ვერტიკალურად ქვემოთ, დაბალანსებულია ძაფის დაჭიმვის ძალით. გადახრილ მდგომარეობაში (ნახ. 15) სიმძიმის ძალა მოქმედებს ძაფის გასწვრივ მიმართული დაძაბულობის ძალის კუთხით. მოდით დავშალოთ სიმძიმის ძალა ორ კომპონენტად: ძაფის მიმართულებით () და მასზე პერპენდიკულარულად (). ქანქარის რხევისას ძაფის დაჭიმვის ძალა ოდნავ აჭარბებს კომპონენტს - ცენტრიდანული ძალის ოდენობით, რაც აიძულებს დატვირთვას რკალში გადაადგილება. კომპონენტი ყოველთვის მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ; როგორც ჩანს, ის ცდილობს ამ მდგომარეობის აღდგენას. ამიტომ მას ხშირად აღმდგენი ძალას უწოდებენ. რაც უფრო მეტია ქანქარა გადახრილი, მით მეტია აბსოლუტური მნიშვნელობა.

ბრინჯი. 15. ქანქარის წონასწორობის პოზიციიდან გადახრისას ძალის აღდგენა

ასე რომ, როგორც კი ქანქარა, მისი რხევების დროს, იწყებს გადახრას წონასწორული პოზიციიდან, ვთქვათ, მარჯვნივ, ჩნდება ძალა, რომელიც უფრო ანელებს მის მოძრაობას, რაც უფრო შორდება. საბოლოო ჯამში, ეს ძალა შეაჩერებს მას და უკან დააბრუნებს წონასწორობის პოზიციას. თუმცა, როგორც მივუახლოვდებით ამ პოზიციას, ძალა უფრო და უფრო მცირდება და წონასწორობის მდგომარეობაში თავად გახდება ნული. ამრიგად, ქანქარა გადის წონასწორობის მდგომარეობაში ინერციით. როგორც კი ის მარცხნივ გადახრას დაიწყებს, კვლავ გამოჩნდება ძალა, რომელიც იზრდება მზარდი გადახრით, მაგრამ ახლა მიმართულია მარჯვნივ. მოძრაობა მარცხნივ კვლავ შენელდება, შემდეგ ქანქარა შეჩერდება წამით, რის შემდეგაც დაიწყება აჩქარებული მოძრაობა მარჯვნივ და ა.შ.

რა ემართება ქანქარის ენერგიას რხევისას?

პერიოდის განმავლობაში ორჯერ - ყველაზე დიდ გადახრებზე მარცხნივ და მარჯვნივ - ქანქარა ჩერდება, ანუ ამ მომენტებში სიჩქარე ნულის ტოლია და შესაბამისად ნულის ტოლია და კინეტიკური ენერგია. მაგრამ ზუსტად ამ მომენტებში ქანქარის სიმძიმის ცენტრი მაღლდება უდიდეს სიმაღლემდე და, შესაბამისად, პოტენციური ენერგია უდიდესია. პირიქით, წონასწორობის პოზიციის გავლის მომენტებში პოტენციური ენერგია ყველაზე დაბალია, ხოლო სიჩქარე და კინეტიკური ენერგია აღწევს უდიდეს მნიშვნელობებს.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ქანქარის ხახუნის ძალები ჰაერთან და შეჩერების წერტილში არსებული ხახუნის უგულებელყოფა შეიძლება. მაშინ, ენერგიის შენარჩუნების კანონის მიხედვით, ეს მაქსიმალური კინეტიკური ენერგია ზუსტად უდრის პოტენციური ენერგიის ჭარბს წონასწორობის პოზიციაზე პოტენციურ ენერგიაზე უდიდესი გადახრის პოზიციაზე.

ასე რომ, როდესაც ქანქარა რხევა, ხდება კინეტიკური ენერგიის პერიოდული გადასვლა პოტენციურ ენერგიაში და პირიქით, და ამ პროცესის პერიოდი ნახევარია, ვიდრე თავად ქანქარის რხევის პერიოდი. თუმცა, ქანქარის მთლიანი ენერგია (პოტენციური და კინეტიკური ენერგიების ჯამი) ყოველთვის მუდმივია. ის უდრის იმ ენერგიას, რომელიც გადაეცა ქანქარას გაშვებისას, არ აქვს მნიშვნელობა, იქნება ეს პოტენციური ენერგიის სახით (საწყისი გადახრა) თუ კინეტიკური ენერგიის სახით (საწყისი ბიძგი).

ეს ეხება ნებისმიერ რხევას ხახუნის ან სხვა პროცესის არარსებობის შემთხვევაში, რომელიც ენერგიას ართმევს რხევის სისტემას ან აძლევს მას ენერგიას. ამიტომ ამპლიტუდა უცვლელი რჩება და განისაზღვრება ბიძგის საწყისი გადახრის ან ძალით.

აღდგენის ძალის იგივე ცვლილებებს და ენერგიის იგივე გადაცემას მივიღებთ, თუ ბურთის ძაფზე ჩამოკიდების ნაცვლად, მას ვერტიკალურ სიბრტყეში სფერულ თასში ან წრეწირის გასწვრივ მოხრილ ღარში ვახვევთ. ამ შემთხვევაში, ძაფის დაჭიმვის როლს აიღებს ჭიქის ან წყალგამყოფის კედლების წნევა (ჩვენ კვლავ უგულებელყოფთ ბურთის ხახუნს კედლებთან და ჰაერთან).

მათემატიკის გულსაკიდი- ეს მატერიალური წერტილი, ჩამოკიდებული უწონად და გაუწელვებელ ძაფზე, რომელიც მდებარეობს დედამიწის გრავიტაციულ ველში. მათემატიკური ქანქარა არის იდეალიზებული მოდელი, რომელიც სწორად აღწერს რეალურ ქანქარს მხოლოდ გარკვეულ პირობებში. ნამდვილი გულსაკიდი შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკურად, თუ ძაფის სიგრძე ბევრად აღემატება მასზე დაკიდებული სხეულის ზომას, ძაფის მასა უმნიშვნელოა სხეულის მასასთან შედარებით, ხოლო ძაფის დეფორმაციები იმდენად მცირეა. რომ მათი საერთოდ უგულებელყოფა შეიძლება.

ოსცილატორული სისტემაში ამ შემთხვევაშიქმნიან ძაფს, მასზე მიმაგრებულ სხეულს და დედამიწას, რომლის გარეშეც ეს სისტემა ვერ იქნებოდა ქანქარად.

სად ა X – აჩქარება, გ - თავისუფალი ვარდნის აჩქარება, X- გადაადგილება, ლ– ქანქარის ძაფის სიგრძე.

ეს განტოლება ე.წ მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების განტოლება.ის სწორად აღწერს განსახილველ ვიბრაციას მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი დაშვებები:

2) განიხილება ქანქარის მხოლოდ მცირე რხევები მცირე რხევის კუთხით.

ნებისმიერი სისტემის თავისუფალი ვიბრაცია აღწერილია ყველა შემთხვევაში მსგავსი განტოლებით.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების მიზეზებია:

1. დაძაბულობისა და მიზიდულობის მოქმედება ქანქარზე, რაც ხელს უშლის მას წონასწორული პოზიციიდან გადაადგილებას და აიძულებს მას ხელახლა დაცემას.

2. ქანქარის ინერცია, რის გამოც იგი სიჩქარის შენარჩუნებით არ ჩერდება წონასწორულ მდგომარეობაში, არამედ გადის მასში შემდგომში.

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდი

მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევის პერიოდი არ არის დამოკიდებული მის მასაზე, მაგრამ განისაზღვრება მხოლოდ ძაფის სიგრძით და გრავიტაციის აჩქარებით იმ ადგილას, სადაც მდებარეობს ქანქარა.

ენერგიის გარდაქმნა ჰარმონიული რხევების დროს

ზამბარის ქანქარის ჰარმონიული რხევების დროს ელასტიურად დეფორმირებული სხეულის პოტენციური ენერგია გარდაიქმნება მის კინეტიკურ ენერგიად, სადაც კ – ელასტიურობის კოეფიციენტი, X -ქანქარის გადაადგილების მოდული წონასწორული პოზიციიდან, მ- ქანქარის მასა, ვ- მისი სიჩქარე. ჰარმონიული ვიბრაციის განტოლების მიხედვით:

, .

მთლიანი ენერგიაგაზაფხულის გულსაკიდი:

.

ჯამური ენერგია მათემატიკური ქანქარისთვის:

მათემატიკური ქანქარის შემთხვევაში

ენერგიის გარდაქმნები ზამბარის ქანქარის რხევების დროს ხდება კონსერვაციის კანონის შესაბამისად მექანიკური ენერგია (). როდესაც ქანქარა მოძრაობს ქვევით ან ზემოთ მისი წონასწორული პოზიციიდან, მისი პოტენციური ენერგია იზრდება და მისი კინეტიკური ენერგია მცირდება. როდესაც ქანქარა გადის წონასწორობის პოზიციას ( X= 0), მისი პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია და ქანქარის კინეტიკურ ენერგიას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა, მისი მთლიანი ენერგიის ტოლი.

ამრიგად, ქანქარის თავისუფალი რხევების პროცესში მისი პოტენციური ენერგია გადაიქცევა კინეტიკურად, კინეტიკური პოტენციალად, პოტენციალი შემდეგ ისევ კინეტიკურად და ა.შ. მაგრამ მთლიანი მექანიკური ენერგია უცვლელი რჩება.

იძულებითი ვიბრაციები. რეზონანსი.

გარე პერიოდული ძალის გავლენის ქვეშ წარმოქმნილ რხევებს უწოდებენ იძულებითი რხევები. გარეგანი პერიოდული ძალა, რომელსაც ფორსირებას უწოდებენ, აწვდის რხევის სისტემას დამატებითი ენერგია, რომელიც მიდის ხახუნის გამო წარმოქმნილი ენერგიის დანაკარგების შესავსებად. თუ მამოძრავებელი ძალა დროთა განმავლობაში იცვლება სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით, მაშინ იძულებითი რხევები იქნება ჰარმონიული და დაუცველი.

თავისუფალი რხევებისგან განსხვავებით, როდესაც სისტემა ენერგიას იღებს მხოლოდ ერთხელ (როდესაც სისტემა წონასწორობიდან გამოდის), იძულებითი რხევების შემთხვევაში სისტემა მუდმივად შთანთქავს ამ ენერგიას გარე პერიოდული ძალის წყაროდან. ეს ენერგია ანაზღაურებს ხახუნის დაძლევაზე დახარჯულ დანაკარგებს და, შესაბამისად, რხევითი სისტემის მთლიანი ენერგია კვლავ უცვლელი რჩება.

იძულებითი რხევების სიხშირე მამოძრავებელი ძალის სიხშირის ტოლია. იმ შემთხვევაში, როდესაც მამოძრავებელი ძალის სიხშირე υ ემთხვევა რხევითი სისტემის ბუნებრივ სიხშირეს υ 0 , მკვეთრად იზრდება იძულებითი რხევების ამპლიტუდა - რეზონანსი. რეზონანსი ხდება იმის გამო, რომ როდესაც υ = υ 0 გარე ძალა, რომელიც დროულად მოქმედებს თავისუფალი ვიბრაციებით, ყოველთვის შეესაბამება რხევადი სხეულის სიჩქარეს და ასრულებს დადებით მუშაობას: რხევადი სხეულის ენერგია იზრდება და მისი რხევების ამპლიტუდა დიდი ხდება. ამპლიტუდის გრაფიკი იძულებითი რხევები ა თ მამოძრავებელი ძალის სიხშირეზე υ ნახატზე ნაჩვენები ამ გრაფიკს რეზონანსის მრუდი ეწოდება:

რეზონანსის ფენომენი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მთელ რიგ ბუნებრივ, სამეცნიერო და სამრეწველო პროცესებში. მაგალითად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ რეზონანსის ფენომენი ხიდების, შენობების და სხვა სტრუქტურების დაპროექტებისას, რომლებიც განიცდიან ვიბრაციას დატვირთვის ქვეშ, წინააღმდეგ შემთხვევაში, გარკვეულ პირობებში ეს სტრუქტურები შეიძლება განადგურდეს.

განმარტება

მათემატიკის გულსაკიდი- ეს არის რხევითი სისტემა, რომელიც არის ფიზიკური ქანქარის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომლის მთელი მასა კონცენტრირებულია ერთ წერტილში, ქანქარის მასის ცენტრში.

ჩვეულებრივ, მათემატიკური ქანქარა წარმოდგენილია ბურთის სახით, რომელიც ჩამოკიდებულია გრძელ უწონო და გაუწვდომელ ძაფზე. ეს არის იდეალიზებული სისტემა, რომელიც ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს გრავიტაციის გავლენის ქვეშ. მათემატიკური გულსაკიდის კარგი მიახლოება არის მასიური პატარა ბურთი, რომელიც რხევა თხელ გრძელ ძაფზე.

გალილეო იყო პირველი, ვინც შეისწავლა მათემატიკური ქანქარის თვისებები გრძელ ჯაჭვზე ჭაღის რხევის შესწავლით. მან აღმოაჩინა, რომ მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი არ არის დამოკიდებული ამპლიტუდაზე. თუ ქანქარის გაშვებისას ის გადახრილია სხვადასხვა მცირე კუთხით, მაშინ მისი რხევები მოხდება იმავე პერიოდით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებით. ამ თვისებას იზოქრონიზმს უწოდებენ.

მათემატიკური ქანქარის მოძრაობის განტოლება

მათემატიკური ქანქარა ჰარმონიული ოსცილატორის კლასიკური მაგალითია. ის ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს, რომლებიც აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით:

\[\ddot(\varphi)+(\omega)^2_0\varphi =0\ \მარცხნივ(1\მარჯვნივ),\]

სადაც $\varphi $ არის ძაფის (შეჩერების) გადახრის კუთხე წონასწორობის პოზიციიდან.

(1) განტოლების ამონახსნი არის ფუნქცია $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega)_0t+\alpha \right)\left(2\მარჯვნივ),\ )\]

სადაც $\alpha $ არის რხევების საწყისი ფაზა; $(\varphi )_0$ - რხევების ამპლიტუდა; $(\omega )_0$ - ციკლური სიხშირე.

ჰარმონიული ოსცილატორის რხევები პერიოდული მოძრაობის მნიშვნელოვანი მაგალითია. ოსცილატორი ემსახურება როგორც მოდელი კლასიკური და კვანტური მექანიკის ბევრ პრობლემას.

მათემატიკური ქანქარის რხევის ციკლური სიხშირე და პერიოდი

მათემატიკური ქანქარის ციკლური სიხშირე დამოკიდებულია მხოლოდ მისი შეჩერების სიგრძეზე:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\მარჯვნივ).\]

მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი ($T$) ამ შემთხვევაში უდრის:

გამოთქმა (4) გვიჩვენებს, რომ მათემატიკური ქანქარის პერიოდი დამოკიდებულია მხოლოდ მისი შეჩერების სიგრძეზე (დაკიდების წერტილიდან დატვირთვის სიმძიმის ცენტრამდე მანძილი) და სიმძიმის აჩქარებაზე.

ენერგიის განტოლება მათემატიკური ქანქარისთვის

ერთი ხარისხის თავისუფლების მქონე მექანიკური სისტემების რხევების განხილვისას ისინი ხშირად საწყის წერტილად იღებენ არა ნიუტონის მოძრაობის განტოლებებს, არამედ ენერგიის განტოლებას. ვინაიდან შედგენა უფრო ადვილია და დროში პირველი რიგის განტოლებაა. დავუშვათ, რომ სისტემაში ხახუნი არ არის. ენერგიის შენარჩუნების კანონი შემსრულებლისთვის უფასო ვიბრაციებიჩვენ ვწერთ მათემატიკურ ქანქარას (პატარა რხევები) როგორც:

სადაც $E_k$ არის ქანქარის კინეტიკური ენერგია; $E_p$ არის ქანქარის პოტენციური ენერგია; $v$ არის ქანქარის სიჩქარე; $x$ არის ქანქარის წონის წრფივი გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან $l$ რადიუსის წრიული რკალის გასწვრივ, ხოლო კუთხე - გადაადგილება დაკავშირებულია $x$-თან, როგორც:

\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\მარჯვნივ).\]

მათემატიკური ქანქარის პოტენციური ენერგიის მაქსიმალური მნიშვნელობა არის:

მაქსიმალური კინეტიკური ენერგიის ღირებულება:

სადაც $h_m$ არის ქანქარის მაქსიმალური სიმაღლე; $x_m$ არის ქანქარის მაქსიმალური გადახრა წონასწორობის პოზიციიდან; $v_m=(\omega )_0x_m$ - მაქსიმალური სიჩქარე.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

მაგალითი 1

ვარჯიში.რა არის მათემატიკური ქანქარის ბურთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე, თუ მისი მოძრაობის სიჩქარე წონასწორობის პოზიციაზე გავლისას იყო $v$?

გამოსავალი.მოდით დავხატოთ ნახატი.

ბურთის პოტენციური ენერგია იყოს ნული მის წონასწორობაში (წერტილი 0 ამ დროს ბურთის სიჩქარე არის მაქსიმალური და $v$-ის ტოლია პრობლემის პირობების მიხედვით). ბურთის მაქსიმალური აწევის წერტილში წონასწორობის პოზიციის ზემოთ (პუნქტი A), ბურთის სიჩქარე ნულის ტოლია, პოტენციური ენერგია მაქსიმალურია. მოდით დავწეროთ ენერგიის შენარჩუნების კანონი ბურთის განხილული ორი პოზიციისთვის:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \მარცხნივ(1.1\მარჯვნივ).\]

განტოლებიდან (1.1) ვპოულობთ საჭირო სიმაღლეს:

უპასუხე.$h=\frac(v^2)(2g)$

მაგალითი 2

ვარჯიში.რა არის მიზიდულობის აჩქარება, თუ $l=1\ m$ სიგრძის მათემატიკური გულსაკიდი რხევა პერიოდით $T=2\ s$ ტოლი? ჩათვალეთ მათემატიკური ქანქარის რხევები მცირედ.\textit()

გამოსავალი.პრობლემის გადაჭრის საფუძვლად ვიღებთ ფორმულას მცირე რხევების პერიოდის გამოსათვლელად:

მოდით გამოვხატოთ მისგან აჩქარება:

მოდით გამოვთვალოთ სიმძიმის გამო აჩქარება:

უპასუხე.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$

10.4. ჰარმონიული რხევების დროს ენერგიის შენარჩუნების კანონი

10.4.1. ენერგიის დაზოგვა ზე მექანიკური ჰარმონიული ვიბრაციები

ენერგიის კონსერვაცია მათემატიკური ქანქარის რხევების დროს

ჰარმონიული ვიბრაციების დროს სისტემის მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია (მუდმივი რჩება).

მათემატიკური ქანქარის ჯამური მექანიკური ენერგია

E = W k + W p,

სადაც W k არის კინეტიკური ენერგია, W k = = mv 2 /2; W p - პოტენციური ენერგია, W p = mgh; m არის დატვირთვის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v - დატვირთვის სიჩქარის მოდული; h არის დატვირთვის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ (ნახ. 10.15).

ჰარმონიული რხევების დროს მათემატიკური ქანქარა გადის რამდენიმე თანმიმდევრულ მდგომარეობას, ამიტომ მიზანშეწონილია განიხილოს მათემატიკური ქანქარის ენერგია სამ პოზიციაზე (იხ. სურ. 10.15):

ბრინჯი. 10.15

1) in წონასწორული პოზიცია

პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ კინეტიკურ ენერგიას:

E = W k max;

2) in საგანგებო მდგომარეობა(2) სხეული საწყის დონეზე მაღლა დგას მაქსიმალურ სიმაღლემდე h max, შესაბამისად პოტენციური ენერგიაც მაქსიმალურია:

W p max = m g h max;

კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ პოტენციურ ენერგიას:

E = W p max;

3) in შუალედური პოზიცია(3) სხეულს აქვს მყისიერი სიჩქარე v და მაღლა დგას საწყის დონეზე გარკვეულ სიმაღლეზე h, ამიტომ მთლიანი ენერგია არის ჯამი.

E = m v 2 2 + მ გ სთ,

სადაც mv 2/2 არის კინეტიკური ენერგია; მგჰ - პოტენციური ენერგია; m არის დატვირთვის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v - დატვირთვის სიჩქარის მოდული; h - ტვირთის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მათემატიკური ქანქარის ჰარმონიული რხევების დროს მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია:

E = კონსტ.

მათემატიკური ქანქარის მთლიანი ენერგიის მნიშვნელობები მის სამ პოზიციაზე აისახება ცხრილში. 10.1.

ცხრილის ბოლო სვეტში წარმოდგენილი ჯამური მექანიკური ენერგიის მნიშვნელობები. 10.1, აქვს თანაბარი მნიშვნელობები ქანქარის ნებისმიერი პოზიციისთვის, რაც მათემატიკური გამოხატულებაა:

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

მ გ სთ მაქსიმალური = m v 2 2 + მ გ სთ,

სადაც m არის დატვირთვის მასა; g - თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მოდული; v არის დატვირთვის მყისიერი სიჩქარის მოდული მე-3 პოზიციაზე; h - დატვირთვის აწევის სიმაღლე მე-3 პოზიციაზე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ; v max - დატვირთვის მაქსიმალური სიჩქარის მოდული 1 პოზიციაზე; h max - ტვირთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციაზე 2 პოზიციაზე.

ძაფის გადახრის კუთხემათემატიკური ქანქარა ვერტიკალურიდან (ნახ. 10.15) განისაზღვრება გამოსახულებით

cos α = l − hl = 1 − hl,

სადაც l არის ძაფის სიგრძე; h - ტვირთის აწევის სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მაქსიმალური კუთხეგადახრა α max განისაზღვრება ტვირთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლით წონასწორულ პოზიციაზე h max:

cos α max = 1 − h max l .

მაგალითი 11. მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების პერიოდი არის 0,9 წმ. რა არის მაქსიმალური კუთხე, რომლითაც ძაფი გადაიხრება ვერტიკალიდან, თუ წონასწორობის პოზიციის გავლისას ბურთი მოძრაობს 1,5 მ/წმ სიჩქარით? სისტემაში ხახუნი არ არის.

გამოსავალი . ფიგურაში ნაჩვენებია მათემატიკური გულსაკიდის ორი პოზიცია:

• წონასწორობის პოზიცია 1 (ახასიათებს ბურთის მაქსიმალური სიჩქარე v max);
• უკიდურესი პოზიცია 2 (ახასიათებს ბურთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე h max წონასწორობის პოზიციის ზემოთ).

საჭირო კუთხე განისაზღვრება ტოლობით

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

სადაც l არის ქანქარის ძაფის სიგრძე.

ჩვენ ვპოულობთ ქანქარის ბურთის მაქსიმალურ სიმაღლეს წონასწორობის პოზიციის ზემოთ მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონიდან.

ქანქარის ჯამური ენერგია წონასწორობისა და უკიდურეს მდგომარეობაში განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით:

• წონასწორობის მდგომარეობაში -

E 1 = m v max 2 2,

სადაც m არის ქანქარის ბურთის მასა; v max - ბურთის სიჩქარის მოდული წონასწორობის მდგომარეობაში (მაქსიმალური სიჩქარე), v max = 1,5 მ/წმ;

• ექსტრემალურ მდგომარეობაში -

E 2 = მგ/სთ მაქს,

სადაც g არის გრავიტაციული აჩქარების მოდული; h max არის ბურთის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციის ზემოთ.

მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი:

m v max 2 2 = m g h max.

მოდით აქედან გამოვხატოთ ბურთის აწევის მაქსიმალური სიმაღლე წონასწორობის პოზიციაზე:

h max = v max 2 2 გ .

ჩვენ განვსაზღვრავთ ძაფის სიგრძეს მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულიდან

T = 2 π ლ გ,

იმათ. ძაფის სიგრძე

ლ = T 2 გ 4 π 2 .

ჩავანაცვლოთ h max და l გამოსახულებაში სასურველი კუთხის კოსინუსისთვის:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

და შეასრულეთ გამოთვლა π 2 = 10 სავარაუდო ტოლობის გათვალისწინებით:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 .

აქედან გამომდინარეობს, რომ მაქსიმალური გადახრის კუთხე არის 60°.

მკაცრად რომ ვთქვათ, 60° კუთხით ბურთის რხევები არ არის მცირე და არაკანონიერია მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდის სტანდარტული ფორმულის გამოყენება.

ენერგიის კონსერვაცია ზამბარის ქანქარის რხევების დროს

ზამბარის ქანქარის ჯამური მექანიკური ენერგიაშედგება კინეტიკური ენერგიისა და პოტენციური ენერგიისგან:

E = W k + W p,

სადაც W k არის კინეტიკური ენერგია, W k = mv 2/2; W p - პოტენციური ენერგია, W p = k (Δx) 2 /2; m არის დატვირთვის მასა; v - დატვირთვის სიჩქარის მოდული; k არის ზამბარის სიხისტის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაჭიმვა ან შეკუმშვა) (სურ. 10.16).

ერთეულთა საერთაშორისო სისტემაში მექანიკური რხევადი სისტემის ენერგია იზომება ჯოულებში (1 ჯ).

ჰარმონიული რხევების დროს ზამბარის ქანქარა გადის რამდენიმე თანმიმდევრულ მდგომარეობას, ამიტომ მიზანშეწონილია ზამბარის ქანქარის ენერგია სამ პოზიციაზე განვიხილოთ (იხ. სურ. 10.16):

1) in წონასწორული პოზიცია(1) სხეულის სიჩქარეს აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა v max, შესაბამისად, კინეტიკური ენერგიაც მაქსიმალურია:

W k max = m v max 2 2 ;

ზამბარის პოტენციური ენერგია ნულის ტოლია, ვინაიდან ზამბარა არ არის დეფორმირებული; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ კინეტიკურ ენერგიას:

E = W k max;

2) in საგანგებო მდგომარეობა(2) ზამბარას აქვს მაქსიმალური დეფორმაცია (Δx max), ამიტომ პოტენციურ ენერგიას ასევე აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა:

W p max = k (Δ x max) 2 2 ;

სხეულის კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია; მთლიანი ენერგია ემთხვევა მაქსიმალურ პოტენციურ ენერგიას:

E = W p max;

3) in შუალედური პოზიცია(3) სხეულს აქვს მყისიერი სიჩქარე v, ზამბარას აქვს გარკვეული დეფორმაცია ამ მომენტში (Δx), ამიტომ მთლიანი ენერგია არის ჯამი

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

სადაც mv 2/2 არის კინეტიკური ენერგია; k (Δx) 2 /2 - პოტენციური ენერგია; m არის დატვირთვის მასა; v - დატვირთვის სიჩქარის მოდული; k არის ზამბარის სიხისტის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაძაბულობა ან შეკუმშვა).

როდესაც ზამბარის ქანქარის დატვირთვა გადაადგილდება წონასწორობის პოზიციიდან, მასზე მოქმედებს ძალის აღდგენა, რომლის პროექციაც ქანქარის მოძრაობის მიმართულებით განისაზღვრება ფორმულით

F x = −kx,

სადაც x არის ზამბარის ქანქარის დატვირთვის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, x = ∆x, ∆x არის ზამბარის დეფორმაცია; k არის ქანქარის ზამბარის სიხისტის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი.

ზამბარის ქანქარის ჰარმონიული რხევების დროს მთლიანი მექანიკური ენერგია შენარჩუნებულია:

E = კონსტ.

გაზაფხულის გულსაკიდის მთლიანი ენერგიის მნიშვნელობები მის სამ პოზიციაზე აისახება ცხრილში. 10.2.

ცხრილის ბოლო სვეტში წარმოდგენილი ჯამური მექანიკური ენერგიის მნიშვნელობებს აქვთ თანაბარი მნიშვნელობები ქანქარის ნებისმიერი პოზიციისთვის, რაც მათემატიკური გამოხატულებაა. მთლიანი მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

სადაც m არის დატვირთვის მასა; v არის დატვირთვის მყისიერი სიჩქარის მოდული მე-3 პოზიციაზე; Δx - ზამბარის დეფორმაცია (დაძაბულობა ან შეკუმშვა) მე-3 პოზიციაზე; v max - დატვირთვის მაქსიმალური სიჩქარის მოდული 1 პოზიციაზე; Δx max - ზამბარის მაქსიმალური დეფორმაცია (დაჭიმვა ან შეკუმშვა) მე-2 პოზიციაზე.

მაგალითი 12. ზამბარის ქანქარა ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. რამდენჯერ აღემატება მისი კინეტიკური ენერგია პოტენციურ ენერგიას იმ მომენტში, როდესაც სხეულის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან არის ამპლიტუდის მეოთხედი?

გამოსავალი . მოდით შევადაროთ ზამბარის ქანქარის ორი პოზიცია:

• უკიდურესი პოზიცია 1 (ახასიათებს ქანქარის დატვირთვის მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან x max);
• შუალედური პოზიცია 2 (ახასიათებს გადაადგილების შუალედური მნიშვნელობები წონასწორული პოზიციიდან x და სიჩქარე v →).

ქანქარის მთლიანი ენერგია უკიდურეს და შუალედურ პოზიციებში განისაზღვრება შემდეგი ფორმულებით:

• ექსტრემალურ მდგომარეობაში -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

სადაც k არის ზამბარის სიხისტის (ელასტიურობის) კოეფიციენტი; ∆x max - რხევების ამპლიტუდა (მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან), ∆x max = A;

• შუალედურ მდგომარეობაში -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

სადაც m არის ქანქარის დატვირთვის მასა; ∆x - დატვირთვის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, ∆x = A /4.

ჯამური მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონს ზამბარის ქანქარისთვის აქვს შემდეგი ფორმა:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

მოდით გავყოთ დაწერილი ტოლობის ორივე მხარე k (∆x) 2 /2-ზე:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

სადაც W k არის ქანქარის კინეტიკური ენერგია შუალედურ მდგომარეობაში, W k = mv 2/2; W p - ქანქარის პოტენციური ენერგია შუალედურ მდგომარეობაში, W p = k (∆x ) 2 /2.

გამოვხატოთ საჭირო ენერგიის თანაფარდობა განტოლებიდან:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

დროის მითითებულ მომენტში ქანქარის კინეტიკური და პოტენციური ენერგიების თანაფარდობა არის 15.