교대 계열은 교대 계열의 특별한 경우입니다.

정의 2.2.숫자 뒤의 구성원이 서로 다른 부호를 갖는 숫자 계열을 호출합니다. 교대 기호 .

교대 계열의 경우 다음이 적용됩니다. 수렴에 대한 일반적으로 충분한 테스트.

정리 2.2.교대 시리즈를 제공하자

이 급수의 구성원들의 계수로 구성된 급수가 수렴하는 경우

그런 다음 교대 계열(2.2) 자체가 수렴됩니다.

반대의 진술은 참이 아니라는 점에 유의해야 합니다. 즉, 급수(2.2)가 수렴한다고 해서 급수(2.3)가 수렴한다는 의미는 아닙니다.

정의 2.3. 절대적으로 수렴 , 구성원의 계수로 구성된 계열이 수렴하는 경우.

교대 계열을 호출합니다. 조건부 수렴 , 그 자체는 수렴하지만 구성원의 계수로 구성된 계열은 발산하는 경우입니다.

교대 계열 중에서 절대적으로 수렴하는 계열은 특별한 위치를 차지합니다. 이러한 계열에는 여러 가지 속성이 있으므로 증거 없이 공식화하겠습니다.

합이 있는 두 개의 절대적으로 수렴하는 계열의 곱은 그 합이 와 같은 절대적으로 수렴하는 계열입니다.

따라서 절대적으로 수렴하는 계열은 일반 계열처럼 더하고, 빼고, 곱합니다. 그러한 계열의 합은 용어가 쓰여진 순서에 의존하지 않습니다.

조건부 수렴 계열의 경우 일반적으로 말하면 해당 명령문(속성)이 유지되지 않습니다.

따라서 조건부 수렴하는 계열의 항을 재배열함으로써 계열의 합이 변하는 것을 보장할 수 있습니다. 예를 들어, 시리즈 라이프니츠의 기준에 따라 조건부로 수렴합니다. 이 계열의 합을 와 같게 하세요. 하나의 긍정적인 용어 다음에 두 개의 부정적인 용어가 있도록 용어를 다시 작성해 보겠습니다. 우리는 시리즈를 얻습니다

금액이 반으로 줄었습니다!

또한 조건부 수렴하는 계열의 항을 재배열함으로써 미리 정해진 합을 갖는 수렴 계열 또는 발산 계열을 얻을 수 있습니다(리만 정리).

따라서 절대 수렴을 보장하지 않으면 계열에 대한 작업을 수행할 수 없습니다. 절대 수렴을 설정하기 위해 숫자 시리즈의 양수 용어 수렴의 모든 기호가 사용되며 공통 용어를 모든 곳의 모듈로 대체합니다.

예제 2.1. .

해결책.원래 시리즈가 번갈아 가며 나타납니다. 주어진 계열의 구성원의 절대값으로 구성된 계열을 고려해 보겠습니다. 열 . 이후 유사한 급수의 항은 Dirichlet 급수의 항보다 크지 않습니다. , 이는 수렴하는 것으로 알려져 있습니다. 따라서 비교 기준에 따르면 이 계열은 절대적으로 수렴합니다. ,

예제 2.2.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책.

2) 절대항으로 구성된 계열을 생각해 보세요. d'Alembert의 테스트를 사용하여 수렴 여부를 조사합니다.

d'Alembert의 기준에 따르면 절대항으로 구성된 급수는 수렴합니다. 이는 원래의 교대 계열이 절대적으로 수렴한다는 것을 의미합니다. ,

예제 2.3.계열의 수렴을 조사합니다. .

해결책. 1) 이 행은 교대로 진행됩니다. 우리는 라이프니츠의 기준을 사용합니다. 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다.

따라서 원래 계열은 수렴합니다.

2) 절대항으로 구성된 계열을 생각해 보세요. 제한 비교 테스트를 사용하여 수렴성을 검사합니다. 발산하는 조화 계열을 고려하십시오.

결과적으로 두 계열 모두 동일하게 동작합니다. 절대항으로 구성된 계열도 발산됩니다. 이는 원래 교대 계열이 조건부로 수렴함을 의미합니다. ,

무한한 수의 양수와 무한한 수의 음수를 포함하는 수열을 교대라고 합니다.

절대 및 조건부 수렴

계열도 수렴하면 계열이 절대적으로 수렴한다고 합니다.

계열이 절대적으로 수렴하면 (일반적인 의미에서) 수렴합니다. 반대 진술은 사실이 아닙니다.

급수 자체가 수렴하는 경우 조건부 수렴이라고 하며 해당 구성원의 계수로 구성된 급수는 발산합니다.

계열의 수렴을 조사합니다. .

교대 급수에 대해 라이프니츠의 충분 검정을 적용해 보겠습니다. 우리는 얻는다

왜냐하면 . 그러므로 이 계열은 수렴한다.

38. 교대로 행. 라이프니츠의 징후.

교대 계열의 특별한 경우는 교대 계열, 즉 연속적인 항이 반대 부호를 갖는 계열입니다.

라이프니츠의 테스트

서로 옆에 교대로 표시되는 기호의 경우 라이프니츠 수렴에 대한 충분한 기준이 적용됩니다.

(an)을 다음과 같은 숫자 시퀀스로 둡니다.

1. +1< an для всех n;

그런 다음 교대 시리즈가 시작됩니다.

39. 기능성 시리즈. 파워 시리즈. 수렴 반경. 수렴 간격.

기능급수와 멱급수의 개념

일반적인 숫자 계열은 숫자로 구성됩니다.

시리즈의 모든 구성원은 NUMBERS개입니다.

기능 시리즈는 다음과 같은 기능으로 구성됩니다.

다항식, 계승 및 기타 선물 외에도 시리즈의 공통 구성원에는 확실히 문자 "X"가 포함됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

숫자 계열과 마찬가지로 모든 기능 계열도 확장된 형식으로 작성할 수 있습니다.

보시다시피, 기능 시리즈의 모든 멤버는 기능입니다.

기능성 시리즈 중 가장 인기 있는 유형은 파워 시리즈.

정의:

멱급수는 독립변수의 양의 정수 거듭제곱을 공통항으로 포함하는 급수입니다.

많은 교과서에서 거듭제곱 계열은 다음과 같이 간단하게 작성됩니다. , 숫자 계열("en"에만 의존하는 다항식, 거듭제곱, 계승)의 오래되고 친숙한 "채우기"는 어디에 있습니까? 가장 간단한 예:

이 확장을 살펴보고 정의를 다시 한 번 이해해 보겠습니다. 거듭제곱 계열의 항에는 양의 정수(자연) 거듭제곱의 "x"가 포함됩니다.

매우 자주, 멱급수는 다음과 같은 "수정"에서 찾을 수 있습니다: 또는 여기서 a는 상수입니다. 예를 들어:

엄밀히 말하면, 멱급수에 대한 단순화된 표기법은 완전히 정확하지 않습니다. 지수에는 단독 문자 "en" 대신 더 복잡한 표현이 있을 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

또는 이 멱급수는 다음과 같습니다.

"XA"에 대한 학위 지수만 자연스러웠다면 말이죠.

멱급수의 수렴.

수렴 간격, 수렴 반경 및 수렴 영역

그렇게 많은 용어에 겁먹을 필요는 없습니다. 용어들은 "서로 나란히" 존재하며 이해하는데 특별한 어려움을 주지 않습니다. 몇 가지 간단한 실험 시리즈를 선택하고 즉시 파악하기 시작하는 것이 좋습니다.

변수는 "마이너스 무한대"에서 "플러스 무한대"까지 실제 값을 취할 수 있습니다. 여러 임의의 "x" 값을 계열의 공통 용어로 대체해 보겠습니다.

x=1이면

x=-1이면

정리. 에서 정의된 연속적이고 음수가 아닌 단조롭게 감소하는 함수를 이라고 가정합니다. 그러면 급수와 적분은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산합니다.

증거.단조로움으로 인해 불평등은 모든 사람에게 적용됩니다. 통합하면 우리는 얻는다 . 그 다음에 , 또는 . 그러므로 수렴하면 . 그 다음에 그리고 , 시리즈는 수렴합니다.

이제 그 반대로 급수는 수렴한다는 것을 알아두자. 그 다음에 . 임의의 것을 취하여 다음과 같이 선택합니다. 그 다음에 . 그래서 맞습니다.

절대적인 수렴. 절대적으로 수렴하는 계열의 속성

정의. 전적으로수렴 계열은 계열도 수렴하는 수렴 계열입니다.

급수의 수렴이 급수의 수렴을 의미한다는 것을 증명하는 것은 쉽습니다. 에 적용된 Cauchy 기준을 사용하여 다음을 얻습니다. . 결과적인 불평등으로부터 Cauchy 기준도 원래 계열에 대해 충족되므로 수렴됩니다.

, 즉 , . 평등은 명백합니다: . 행 및 을 살펴보겠습니다. 수렴하면 급수는 수렴한다 , 즉. 시리즈는 절대적으로 수렴합니다. 계열이 수렴한다면, 왜냐하면 , 시리즈 및 또한 수렴합니다. 따라서 절대 수렴을 위해서는 계열의 수렴이 필요하고 충분합니다.

(라이프니츠의 징후).

교대 급수(9.4.1)의 항을 모듈로 취하여 다음과 같이 구성하면 증가하지 않음무한한 시퀀스, 즉 그리고 이 행 수렴.

주자 예행이 교대로 표시됩니다.

계열의 수렴을 조사합니다. .

이 행 수렴라이프니츠의 기준에 따르면, 그 항은 절대값과 at에서 감소하기 때문입니다.

계열의 수렴을 조사합니다.

이 계열이 조건을 만족하는지 확인하는 것은 쉽습니다. 정리 1그리고 그게 바로 그 이유야 수렴.

논평.라이프니츠의 정리에서는 조건뿐만 아니라 조건도 본질적입니다. 예를 들어 시리즈의 경우 두 번째 조건은 위반되지만 계열은 분기됩니다. 이 계열이 다음 형식으로 표현되면 알 수 있습니다. , 즉. 이중 고조파 계열.

아래에 교대 기호다음으로 우리는 멤버 중 누구라도 좋아할 수 있는 시리즈를 이해하겠습니다. 긍정적인, 그래서 부정적인.

임의의 부호를 갖는 용어가 포함된 계열의 경우를 고려해 보겠습니다.

. (9.4.2)

시리즈를 동시에 고려해보자

, (9.4.3)

시리즈의 용어는 어디에 있습니까 (9.4.2).

(교대 계열의 수렴에 대한 충분한 신호). 에서 수렴시리즈(9.4.3)는 다음과 같습니다 수렴시리즈 (9.4.2).

양수 계열의 수렴에 대한 D'Alembert의 검정

긍정적인 시리즈를 제공하자 그리고 존재한다
. 그럼 ifq< 1, то ряд сходится; если q >1, 그러면 계열이 분기됩니다.

증명: 1) q를 하자< 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел
, 우리는 쓸 수있다
또는
n (q - )< a n +1 < a n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

N +2< (q + ) a N +1 ;

N +3< (q + ) a N +2 < (q + ) 2 a N +1 ;

N +4< (q + ) a N +3 < (q + ) 3 a N +2 < (q + ) 3 a N +1 .

따라서 a N +2 + a N +3 + a N +4 +... 급수의 항은 무한 기하 수열 a N +1 (q + ) + a N +2의 해당 항보다 작습니다. (q + ) 2 + a N + 3 (q + ) 3 +… 수열의 분모는 1보다 작으므로 수열은 수렴 계열입니다(1번 참조). 그에 비해 시리즈는 또한 수렴한다.

2) 이제 q > 1이라고 가정합니다. q - 도 1보다 커지도록 숫자 를 취하겠습니다. 그런 다음 충분히 큰 n에 대해 단락 1)에서 도출된 이중 부등식의 증명을 기반으로 다음을 얻습니다.

따라서 N< a N +1 < a N +2 . Следовательно члены ряда 개수가 증가할수록 증가하므로 수렴에 필요한 기준을 만족하지 않습니다. 그러므로 숫자 갈라진다. 정리는 완전히 입증되었습니다.

q = 1이면 계열 수렴의 성격을 결정하는 것이 불가능합니다. 예를 들어, 시리즈 수렴하고, 시리즈 갈라진다.

교대로 행. 라이프니츠 수렴 테스트. 절대적 및 조건부 수렴 계열의 개념

교대로 행. 라이프니츠 수렴 테스트. 교대 시리즈– 인접한 멤버가 반대 부호를 갖는 시리즈.

라이프니츠 수렴 테스트: 교대 계열의 항의 절대 값이 숫자가 증가함에 따라 단조롭게 감소하고 n이 무제한으로 증가하는 계열의 n 번째 항이 0이 되는 경향이 있는 경우, 즉

,

그러면 이 계열은 수렴됩니다.

증명: 계열의 첫 번째 항의 합 S 2m을 취합니다. 그리고 다음과 같이 작성하세요.

S 2m = (a 1 – a 2) + (a 3 + a 4) +… + (a 2m-1 + a 2m).

계열 항의 절대값 감소의 단조성 조건을 기반으로 괄호 안의 차이가 양수이므로

2m가 증가하면 S 2m은 감소하지 않습니다. 양수이거나 0과 같은 항이 추가될 때마다.

반면에 동일한 금액은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

S 2m = a 1 – (a 2 – a 3) – (a 4 – a 5) -…- (a 2m-2 – a 2m-1) – a 2m.

괄호 안에는 양수가 있으므로

S 2m 1 .

결과적으로 S 2 m은 단조 증가(보다 정확하게는 감소하지 않음) 및 경계 수열이므로 m  에 대해 유한한 한계 S를 갖습니다.

.

하지만 분명한 건

S 2m +1 = S 2m + 2m +1.

n번째 항이 0이 되는 경향이 있다는 조건에 기초하여, 우리는 또한

.

따라서 우리는 얻는다

우리는 n이 무한정 증가함에 따라 n이 짝수인지 홀수인지에 관계없이 부분합 Sn이 동일한 극한 S에 도달하는 경향이 있음을 발견했습니다. 그러므로 숫자 수렴한다.

절대적 및 조건부 수렴 계열의 개념입니다. 서로 다른 기호의 구성원으로 구성된 시리즈를 호출합니다. 교대 기호. 교대 계열을 호출합니다. 절대적으로 수렴, 계열 자체와 해당 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 모두 수렴하는 경우. 시리즈라고 합니다 조건부 수렴, 계열 자체는 수렴하지만, 그 구성원의 절대값으로 구성된 계열은 발산하는 경우.

정리: 교대 계열의 경우 구성원들의 절대적인 가치들로 구성된 시리즈가 수렴된다. , 그러면 이 계열도 수렴합니다.

증명: 보조 계열을 고려하십시오.

1) 0 이후
그리고 2) 행
주어진 계열의 수렴 조건으로 인해 또한 비교 기준에 따라 고려 중인 보조 계열도 수렴합니다. 그러므로 우리 행 두 수렴 계열의 차이를 나타냅니다.

=

그러므로 수렴합니다. 반대의 진술은 사실이 아닙니다.

파워 시리즈.

정의. 파워 시리즈일련의 형태라고 불린다.

.

멱급수의 수렴을 연구하려면 d'Alembert 검정을 사용하는 것이 편리합니다.

예.계열의 수렴을 조사합니다.

우리는 d'Alembert의 부호를 적용합니다:

.

우리는 이 급수가 다음에서 수렴한다는 것을 발견했습니다.
그리고 에서 갈라진다
.

이제 경계점 1과 –1에서의 수렴을 결정합니다.

x = 1인 경우:
급수는 라이프니츠의 테스트에 따라 수렴됩니다(라이프니츠의 테스트 참조).

x = -1에서:
계열이 발산합니다(고조파 계열).

아벨의 정리.

(닐스 헨리크 아벨(1802 – 1829) – 노르웨이 수학자)

정리. 파워시리즈라면
에 수렴엑스 = 엑스 1 , 그런 다음 수렴하고 더욱이 절대적으로 모든 사람에게
.

증거. 정리의 조건에 따르면 급수의 항은 제한되어 있으므로

어디 케이- 어떤 상수. 다음 부등식은 참입니다:

이 불평등으로부터 다음이 분명해집니다. 엑스< 엑스 1 우리 계열의 항의 수치 값은 기하학적 수열을 형성하는 위에 쓰여진 부등식의 오른쪽에 있는 계열의 해당 항보다 작습니다(적어도 그 이상은 아닙니다). 이 진행의 분모 정리의 조건에 따르면 1보다 작으므로 이 수열은 수렴 급수입니다.

따라서 비교 기준에 따라 시리즈가 다음과 같이 결론을 내립니다.
수렴합니다. 이는 계열을 의미합니다.
절대적으로 수렴합니다.

따라서 만약 전력 계열이라면
한 지점에 수렴한다 엑스 1 , 그러면 길이 2의 구간 내 임의의 지점에서 절대적으로 수렴합니다. 한 점을 중심으로 엑스 = 0.

결과. 만약에 x = x 1 계열이 갈라지고 모든 사람에게 갈라집니다.
.

따라서 각 멱급수에는 양수 R이 있습니다. 엑스그렇게
이 계열은 절대적으로 수렴하며, 모두에게
행이 갈라집니다. 이 경우 숫자 R을 호출합니다. 수렴 반경. 간격 (-R, R)이 호출됩니다. 수렴 간격.

이 간격은 한쪽 또는 양쪽에서 닫힐 수도 있고 닫히지 않을 수도 있습니다.

수렴 반경은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

예.계열의 수렴 영역 찾기

수렴 반경 찾기
.

따라서 이 급수는 어떤 값에 대해서도 수렴합니다. 엑스. 이 계열의 공통항은 0이 되는 경향이 있습니다.

정리. 파워시리즈라면
양의 값으로 수렴 x=x 1 , 그러면 내부의 모든 간격에서 균일하게 수렴됩니다.
.

거듭제곱 계열을 사용한 작업.

교대로 행. 라이프니츠의 징후.
절대 및 조건부 수렴

이 강의의 예를 이해하려면 양수 계열을 잘 이해해야 합니다. 계열이 무엇인지 이해하고 계열의 수렴에 필요한 부호를 알고 비교 테스트를 적용할 수 있어야 하며 d'Alembert의 테스트를 적용할 수 있어야 합니다. , Cauchy의 테스트. 기사를 꾸준히 연구하면 거의 처음부터 주제를 제기할 수 있습니다. 인형용 행그리고 달랑베르 징후. 코시 징후. 논리적으로 이 레슨은 연속 세 번째 레슨으로, 교대로 반복되는 행을 이해할 수 있을 뿐만 아니라 이미 다룬 내용을 통합할 수도 있습니다! 참신함이 거의 없으며 교대 행을 마스터하는 것이 어렵지 않습니다. 모든 것이 간단하고 접근 가능합니다.

교대 계열이란 무엇입니까?이는 이름 자체에서 분명하거나 거의 분명합니다. 간단한 예입니다.

시리즈를 살펴보고 더 자세히 설명하겠습니다.

그리고 이제 킬러 코멘트가 나올 것입니다. 교대 계열의 구성원에는 교대 기호가 있습니다: 더하기, 빼기, 더하기, 빼기, 더하기, 빼기 등. 무한대.

정렬은 승수를 제공합니다. 짝수이면 더하기 기호가 있고, 홀수이면 빼기 기호가 있습니다(강의에서 기억했듯이). 숫자 순서에 대해, 이것을 "깜박이는 빛"이라고 합니다). 따라서 교대 계열은 "en" 정도까지 마이너스 1로 "식별"됩니다.

실제 예에서 급수 항의 교대는 승수뿐만 아니라 그 형제인 , , , …에 의해서도 제공될 수 있습니다. 예를 들어:

함정은 "기만"입니다: , 등. - 그러한 승수 부호 변경을 제공하지 마십시오. 자연적인 경우: , , . 속임수가 있는 행은 특히 재능이 있는 학생에게만 미끄러지는 것이 아니라 해결 중에 때때로 "스스로" 발생합니다. 기능성 시리즈.

수렴을 위해 교대 계열을 조사하는 방법은 무엇입니까?라이프니츠의 검정을 사용하십시오. 나는 독일의 거물인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 대해 아무 말도 하고 싶지 않습니다. 왜냐하면 그는 수학적 작품 외에도 철학에 관한 여러 권의 책을 썼기 때문입니다. 뇌에 위험합니다.

라이프니츠의 테스트: 번갈아가는 시리즈의 멤버인 경우 단조롭게모듈러스가 감소하면 계열이 수렴됩니다.

아니면 두 가지 점에서:

1) 계열이 번갈아 가며 나타납니다.

2) 계열의 항은 모듈러스에서 감소합니다. , 단조롭게 감소합니다.

이러한 조건이 충족되면 계열은 수렴합니다..

간략한 정보모듈에 대한 내용은 매뉴얼에 나와 있습니다. 학교 수학 과정을 위한 인기 공식, 그러나 편의상 다시 한번:

"모듈로"은(는) 무슨 뜻인가요? 우리가 학교에서 기억하는 것처럼 모듈은 빼기 기호를 "먹습니다". 다시 행으로 돌아가자 . 지우개로 모든 흔적을 정신적으로 지우고 숫자를 보자. 우리는 그것을 볼 것입니다 다음에시리즈 멤버 더 적은이전 것보다. 따라서 다음 구문은 동일한 의미를 갖습니다.

– 시리즈의 구성원 부호와 상관없이감소하고 있습니다.
– 시리즈의 구성원이 감소합니다 모듈로.
– 시리즈의 구성원이 감소합니다 에 의해 절대값.
– 기준 치수계열의 공통항은 0이 되는 경향이 있습니다.

// 도움말 끝

이제 단조로움에 대해 조금 이야기해 보겠습니다. 단조로움은 지루한 일관성입니다.

시리즈의 구성원 엄격하게 단조롭다시리즈의 다음 멤버마다 모듈러스가 감소합니다. 모듈로이전보다 적음: . 행의 경우 감소의 엄격한 단조성이 충족됩니다.

또는 간단히 말할 수 있습니다. 시리즈의 각 다음 멤버 모듈로이전 것보다 작음: .

시리즈의 구성원 엄밀히 말하면 단조롭지는 않다시리즈 모듈로의 각 멤버가 이전 모듈보다 크지 않은 경우 모듈로 감소: . 계승이 있는 계열을 고려해보세요. 여기에는 계열의 처음 두 항의 모듈러스가 동일하므로 느슨한 단조성이 있습니다. 즉, 시리즈의 각 다음 멤버는 모듈로이전 것보다 더 많지 않습니다: .

라이프니츠 정리의 조건 하에서는 단조 감소가 만족되어야 합니다(엄격한지 비엄격한지는 중요하지 않습니다). 또한, 시리즈 회원은 다음을 수행할 수 있습니다. 일정 시간 동안 모듈러스가 증가하더라도, 그러나 계열의 "꼬리"는 반드시 단조 감소해야 합니다.

내가 쌓아온 것을 두려워할 필요가 없습니다. 실용적인 예가 모든 것을 제자리에 놓을 것입니다.

실시예 1

급수의 공통 용어에는 요인 가 포함되며 이는 라이프니츠 테스트의 조건이 충족되는지 확인하는 자연스러운 아이디어를 촉발합니다.

1) 교대 행을 확인합니다. 일반적으로 이 시점에서 결정 시리즈가 자세히 설명됩니다. "시리즈가 번갈아 가며"라는 평결을 내립니다.

2) 계열의 항은 절대값이 감소합니까? 여기에서 한계를 해결해야 하는데 이는 대부분 매우 간단합니다.

– 계열의 항은 계수가 감소하지 않으며 이는 자동으로 발산을 의미합니다. 존재하지 않는다 * 즉, 계열의 수렴에 필요한 기준이 충족되지 않습니다.

실시예 9

계열의 수렴을 조사합니다.

실시예 10

계열의 수렴을 조사합니다.

명확한 양심을 가지고 수치적 긍정 및 교대 시리즈에 대한 고품질 연구를 마친 후에는 단조롭고 단조롭지 않은 기능적 시리즈로 이동할 수 있습니다.

정의 1

임의의 부호 (+), (?)를 갖는 수열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $을 교대열이라고 합니다.

위에서 논의한 교대 계열은 교대 계열의 특별한 경우입니다. 모든 교대 계열이 교대하는 것은 아니라는 것이 분명합니다. 예를 들어, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 계열 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ 교대 계열이지만 교대 계열은 아닙니다.

교대 계열에는 부호(+)와 부호(-)가 모두 포함된 항이 무한히 많습니다. 예를 들어, 이것이 사실이 아닌 경우 계열에 유한한 수의 음수 용어가 포함되어 있으면 이를 폐기하고 양수 용어로만 구성된 계열을 고려할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

정의 2

숫자 계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $가 수렴하고 그 합이 S와 같고 부분 합이 $S_n$과 같으면 $r_(n ) =S-S_(n) $는 계열의 나머지라고 하며, $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, 즉 수렴 계열의 나머지는 0이 되는 경향이 있습니다.

정의 3

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ 계열은 $\sum \limits _(n=1 항의 절대값으로 구성된 계열인 경우 절대 수렴이라고 합니다. )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

정의 4

수열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $이 수렴하고, 수열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n)\오른쪽| 멤버의 절대값으로 구성된 $가 발산하면 원래 계열을 조건부(비절대) 수렴이라고 합니다.

정리 1(교대 계열의 수렴에 대한 충분한 기준)

교대 급수 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $는 수렴하며, 절대적으로 해당 항의 절대값으로 구성된 급수는 $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

논평

정리 1은 교대 계열의 수렴에 대한 충분 조건만 제공합니다. 역정리는 참이 아닙니다. 즉, 교대 계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $가 수렴하는 경우 모듈 $\sum \limits _(n=1)으로 구성된 계열이 필요하지 않습니다. ^( \infty )\left|u_(n) \right| $(수렴 또는 발산할 수 있음). 예를 들어, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴하며, 해당 항의 절대값으로 구성된 계열 $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (조파 급수)는 발산합니다.

속성 1

급수 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $가 절대적으로 수렴하는 경우, 항의 모든 순열에 대해 절대적으로 수렴하며 급수의 합은 다음에 의존하지 않습니다. 약관의 순서. $S"$가 모든 양수 항의 합이고 $S""$가 음수 항의 모든 절대값의 합인 경우 $\sum \limits _(n=1) 계열의 합은 다음과 같습니다. ^(\infty )u_(n) $는 $S=S"-S""$와 같습니다.

속성 2

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ 계열이 절대적으로 수렴하고 $C=(\rm const)$이면 계열 $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ 역시 절대적으로 수렴합니다.

속성 3

급수 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $와 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $가 절대적으로 수렴하는 경우, 그러면 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ 역시 절대적으로 수렴합니다.

성질 4(리만의 정리)

계열이 조건부 수렴하는 경우 우리가 어떤 숫자 A를 취하든 관계없이 이 계열의 항을 재배열하여 그 합이 정확히 A와 같도록 할 수 있습니다. 더욱이, 조건부 수렴 계열의 항을 재배열하여 이후에 발산하는 것도 가능합니다.

실시예 1

조건부 수렴과 절대 수렴에 대한 계열 조사

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

해결책. 이 급수는 교대로 나타나며, 그 일반항은 다음과 같이 표시됩니다: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

실시예 2

절대 및 조건부 수렴에 대해 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ 계열을 조사합니다.

1. 절대 수렴에 대한 계열을 살펴보겠습니다. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $를 표시하고 일련의 절대값 $a_(n) =\을 구성해 보겠습니다. 왼쪽|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. 우리는 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| 계열을 얻습니다. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $를 양수 항으로 사용하고 여기에 계열 비교를 위한 극한 테스트를 적용합니다. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) 계열과의 비교 ) )(n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( 형식의 계열을 고려합니다. \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. 이 계열은 지수 $p=\frac(1)(2)를 갖는 Dirichlet 계열입니다.
2. 다음으로, 원래 계열 $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $를 조건부로 검사합니다. 수렴. 이를 위해 라이프니츠 테스트 조건의 충족 여부를 확인합니다. 조건 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, 여기서 $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , 즉. 이 시리즈는 번갈아 가며 진행됩니다. 조건 2)의 계열항의 단조적 감소를 확인하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다. $x\in )에 정의된 보조 함수 $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $를 고려하십시오.