Jei prie spyruoklės pritvirtintas kūnas (4 pav.) nukrypsta nuo pusiausvyros padėties atstumu A, pavyzdžiui, į kairę, tai jis, perėjęs pusiausvyros padėtį, pasisuks į dešinę. Tai išplaukia iš energijos tvermės dėsnio.

Suspaustos arba ištemptos spyruoklės potencinė energija lygi

kur k – spyruoklės standumas, o x – jos pailgėjimas. Kairiausioje padėtyje spyruoklės pailgėjimas yra x = - A, todėl potenciali energija lygi

Kinetinė energija šiuo momentu lygi nuliui, nes greitis lygus nuliui. Tai reiškia, kad potenciali energija yra bendra mechaninė sistemos energija šiuo metu. Jeigu sutinkame, kad trinties jėga lygi nuliui, o kitos jėgos yra subalansuotos, tai mūsų sistemą galima laikyti uždara ir judant jos bendra energija negali keistis. Kai kūnas judesio metu yra kraštutinėje dešinėje padėtyje (x = A), jo kinetinė energija vėl bus lygi nuliui, o bendra energija vėl bus lygi potencialui. Tačiau bendra energija negali pasikeisti. Taigi vėl lygus

Tai reiškia, kad kūnas nukryps į dešinę atstumu, lygiu A.

Pusiausvyros padėtyje, atvirkščiai, potenciali energija lygi nuliui, nes spyruoklė nėra deformuota, x = 0. Šioje padėtyje bendra kūno energija yra lygi jo kinetinei energijai

kur m yra kūno masė ir jo greitis (šiuo momentu jis yra didžiausias). Tačiau ši kinetinė energija taip pat turi būti lygiavertė. Vadinasi, svyruojant judesiui, kinetinė energija paverčiama potencialia energija ir atvirkščiai. Bet kuriame taške tarp pusiausvyros ir didžiausio nuokrypio padėčių kūnas turi ir kinetinę, ir potencinę energiją, tačiau jų suma, t.y. Bendra energija bet kurioje kūno padėtyje yra lygi. Virpesių kūno suminė mechaninė energija W yra proporcinga amplitudės ir jos virpesių kvadratui

Švytuoklės. Matematinė švytuoklė

Švytuoklė yra bet koks kūnas, pakabintas taip, kad jo svorio centras būtų žemiau pakabos taško. Tai reiškia, kad ant virvės pakabintas krovinys yra svyravimo sistema, panaši į sieninio laikrodžio švytuoklę. Bet kuri sistema, galinti laisvai svyruoti, turi stabilią pusiausvyros padėtį. Švytuoklėje tai yra padėtis, kurioje svorio centras yra vertikaliai žemiau pakabos taško. Jei išimsime švytuoklę iš šios padėties arba ją stumsime, ji pradės svyruoti, pirmiausia nukrypdama į vieną ar kitą pusę iš pusiausvyros padėties. Žinome, kad didžiausias nukrypimas nuo pusiausvyros padėties, kurią pasiekia švytuoklė, vadinamas svyravimų amplitude. Amplitudė nustatoma pagal pradinį nuokrypį arba stūmimą, kuriuo pajudėjo švytuoklė. Ši savybė – amplitudės priklausomybė nuo sąlygų judėjimo pradžioje – būdinga ne tik laisviesiems švytuoklės, bet ir apskritai daugelio virpesių sistemų laisviesiems virpesiams.

Fizinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo daugelio aplinkybių: nuo kūno dydžio ir formos, nuo atstumo tarp svorio centro ir pakabos taško ir nuo kūno masės pasiskirstymo šio taško atžvilgiu; Todėl pakabinamo kūno laikotarpio skaičiavimas yra gana sudėtinga užduotis. Su matematine švytuokle situacija paprastesnė. Matematinė švytuoklė – tai ant plono sriegio pakabinamas svarelis, kurio matmenys daug mažesni už sriegio ilgį, o masė – daug didesnė už sriegio masę. Tai reiškia, kad korpusas (apkrova) ir sriegis turi būti tokie, kad apkrovą būtų galima laikyti materialiu tašku, o siūlą besvoriu. Stebint tokias švytuokles galima nustatyti tokius paprastus dėsnius.

1. Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį (atstumą nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro), pakabinsite skirtingus krovinius, tada svyravimo periodas bus toks pat, nors švytuoklės masės apkrovos labai skirtingos. Matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo apkrovos masės.

2. Jėga, veikianti kūną bet kuriame trajektorijos taške, nukreipta į pusiausvyros padėtį, o pačiame pusiausvyros taške lygi nuliui.

3. Jėga proporcinga kūno nukrypimui nuo pusiausvyros padėties.

Ryžiai. 5.

4. Jei paleidžiant švytuoklę ją nukreipiame skirtingais (bet ne per dideliais) kampais, tai ji svyruos tuo pačiu periodu, nors ir skirtingomis amplitudėmis. Kol amplitudės nėra per didelės, svyravimai savo forma yra gana artimi harmoninei, o matematinės švytuoklės periodas nepriklauso nuo svyravimų amplitudės. Ši savybė vadinama izochronizmu (iš graikų kalbos žodžių „isos“ – lygus, „chronos“ – laikas).

Pirmą kartą šį faktą 1655 m. nustatė Galilėjus, tariamai tokiomis aplinkybėmis. Galilėjus Pizos katedroje stebėjo sietyno (stačiatikių bažnyčioje centrinis sietynas, šviestuvas su daugybe žvakių ar lempų) siūbavimą ant ilgos grandinės, kuri užsidegus buvo stumiama. Tarnybos metu sūpuoklės palaipsniui nyko (8 skyrius), tai yra mažėjo sūpynių amplitudė, tačiau laikotarpis liko toks pat. Galilėjus naudojo savo pulsą kaip laiko indikatorių.

Ši švytuoklės savybė pasirodė ne tik stebina, bet ir naudinga. „Galileo“ pasiūlė naudoti švytuoklę kaip laikrodžio reguliatorių. Galilėjaus laikais laikrodžiai buvo varomi svoriu, o greičiui reguliuoti buvo naudojamas toks neapdorotas prietaisas kaip vėjo malūno mentės, naudojant oro pasipriešinimą. Vienodiems laiko periodams skaičiuoti galima naudoti švytuoklę, nes maži svyravimai atsiranda tuo pačiu metu kaip ir dideli, kuriuos sukelia atsitiktiniai vėjo gūsiai. Praėjus šimtmečiui po „Galileo“, pradėti naudoti švytuokliniai laikrodžiai, tačiau jūreiviams vis tiek reikėjo tikslių laikrodžių ilgumui jūroje matuoti. Buvo paskelbtas prizas už jūrų laikrodžio, kuris leistų pakankamai tiksliai matuoti laiką, sukūrimą. Garisson gavo prizą už chronometrą, kuriame judesiui reguliuoti buvo naudojamas smagratis (balansas) ir speciali spyruoklė.

Dabar išveskime matematinės švytuoklės svyravimo periodo formulę.

Švytuoklei siūbuojant, apkrova juda pagreitintai išilgai lanko BA (5 pav., a), veikiama grįžtamosios jėgos P 1, kuri keičiasi judėjimo metu.

Apskaičiuoti kūno judėjimą veikiant kintamajai jėgai yra gana sudėtinga. Todėl, norėdami supaprastinti dalykus, elgsimės taip.

Padarykime, kad švytuoklė svyruotų ne vienoje plokštumoje, o apibūdintų kūgį, kad apkrova judėtų apskritimu (5 pav., b). Šį judėjimą galima gauti pridedant dvi nepriklausomas vibracijas: viena - vis dar brėžinio plokštumoje, o kita - statmenoje plokštumoje. Akivaizdu, kad abiejų šių plokštuminių svyravimų periodai yra vienodi, nes bet kuri svyravimo plokštuma niekuo nesiskiria nuo kitų. Vadinasi, kompleksinio judėjimo periodas – švytuoklės sukimasis išilgai kūgio – bus toks pat, kaip ir svyravimo vienoje plokštumoje periodas. Šią išvadą galima nesunkiai iliustruoti tiesiogine patirtimi, paėmus dvi vienodas švytuokles ir vienai iš jų svyruojant plokštumoje, o kitai – sukantis kūgiu.

Tačiau „kūginės“ švytuoklės apsisukimo laikotarpis yra lygus apkrovos aprašyto apskritimo ilgiui, padalytam iš greičio:

Jei nuokrypio nuo vertikalės kampas yra mažas (mažos amplitudės!), galime manyti, kad grįžtamoji jėga P 1 nukreipta išilgai apskritimo BC spindulio, ty lygi įcentrinei jėgai:

Kita vertus, iš trikampių OBC ir DBE panašumo išplaukia, kad BE: BD = CB: OB. Kadangi OB=l, CB=r, BE=P 1, tai nuo čia

Prilyginus abi išraiškas P 1 viena kitai, gauname cirkuliacijos greitį

Galiausiai, pakeisdami tai į terminą T, randame

Taigi matematinės švytuoklės periodas priklauso tik nuo sunkio pagreičio g ir nuo švytuoklės ilgio l, t.y., atstumo nuo pakabos taško iki krovinio svorio centro. Iš gautos formulės išplaukia, kad švytuoklės periodas nepriklauso nuo jos masės ir amplitudės (su sąlyga, kad ji pakankamai maža). Kitaip tariant, pagrindiniai dėsniai, kurie anksčiau buvo nustatyti iš stebėjimų, buvo gauti skaičiavimo būdu.

Tačiau ši teorinė išvada mums suteikia daugiau: ji leidžia nustatyti kiekybinį ryšį tarp švytuoklės periodo, jos ilgio ir gravitacijos pagreičio. Matematinės švytuoklės periodas yra proporcingas švytuoklės ilgio ir sunkio pagreičio santykio kvadratinei šaknei. Proporcingumo koeficientas yra 2?.

Labai tikslus šio pagreičio nustatymo metodas yra pagrįstas švytuoklės periodo priklausomybe nuo gravitacijos pagreičio. Išmatavę švytuoklės ilgį l ir iš daugybės svyravimų nustatę periodą T, gautą formulę galime apskaičiuoti g. Šis metodas praktikoje nėra plačiai naudojamas.

švytuoklės virpesių rezonanso koordinatė

Mažas rutulys, pakabintas ant lengvo, neištęsto ​​sriegio, gali Laisvas svyruojantis judėjimas (598 pav.).

ryžių. 598
  Norėdami apibūdinti švytuoklės judėjimą, rutulį laikysime materialiu tašku ir nepaisysime sriegio masės bei oro pasipriešinimo. Šis modelis vadinamas matematinė švytuoklė.
  Kaip rutulio padėtį apibūdinančią koordinatę pasirenkame sriegio nukrypimo nuo vertikalės kampą φ . Šios koordinatės pokyčiui apibūdinti patogu naudoti sukamojo judėjimo dinamikos lygtį

Kur J = ml 2– sistemos inercijos momentas, ε = Δω/Δt– kampinis kūno pagreitis (antroji sukimosi kampo išvestinė), M− suminis išorinių jėgų, veikiančių sistemą, momentas 1. Rutulį veikia gravitacija mg ir sriegio įtempimas. Siūlo įtempimo momentas N pakabos taško atžvilgiu yra lygus nuliui, todėl pakabinamo rutulio (1) lygtis įgauna tokią formą

arba

  Ši lygtis apibūdina švytuoklės svyravimus, bet nėra harmoninių svyravimų lygtis, nes jėgos momentas yra proporcingas įlinkio kampo sinusui, o ne pačiam kampui. Tačiau jei įlinkio kampus laikysime mažais (kiek tai sužinosime vėliau), galime naudoti apytikslę formulę sinφ ≈ φ pagal šį aproksimaciją (3) lygtis virsta pažįstama harmoninių virpesių lygtimi

Kur Ω = √ (g/l)− mažų švytuoklės svyravimų žiedinis dažnis 2. Mes jau parašėme šios lygties sprendimą

Čia φ o− didžiausia sriegio įlinkis, tai yra svyravimų amplitudė. Paprastumo dėlei manysime, kad pradinis rutulio greitis yra lygus nuliui.
Švytuoklės mažų svyravimų periodas išreiškiamas apskritimo dažniu

  Kadangi maži matematinės švytuoklės svyravimai yra harmoningi, jų periodas nepriklauso nuo amplitudės. Šį faktą eksperimentiškai pastebėjo G. Galilėjus. Esant dideliems įlinkio kampams, matematinės švytuoklės svyravimo periodas šiek tiek padidėja.
  Atkreipkite dėmesį, kad matematinės švytuoklės svyravimo periodas taip pat nepriklauso nuo rutulio masės – atminkite, kad laisvojo kritimo pagreitis, kaip ir kitos kūno judėjimo Žemės gravitaciniame lauke charakteristikos taip pat nepriklauso. ant kūno masės (jei, žinoma, nepaisysime oro pasipriešinimo).
  Formulė (6) gali būti ir yra naudojama eksperimentiniu būdu nustatyti gravitacijos pagreitį. Sriegio ilgį ir svyravimo periodą gana paprasta išmatuoti eksperimentiškai, tada naudojant (6) formulę galima apskaičiuoti laisvojo kritimo pagreitį.
  Pabandykime apibūdinti matematinės švytuoklės judėjimą taikydami mechaninės energijos tvermės dėsnį. Kamuolio kinetinė energija išreiškiama formule

  Nulinis potencialios energijos atskaitos lygis yra suderinamas su sriegio pakabos tašku, tada rutulio potenciali energija yra lygi

  Mechaninės energijos tvermės dėsnio lygtis (atsižvelgiant į pradines sąlygas) turi formą

  Ši lygtis taip pat nėra harmoninių virpesių lygtis. Bet jei vėl laikysime švytuoklės įlinkio kampus mažais ir naudosime apytikslę formulę

tada (7) lygtis pavirs harmoninių virpesių lygtimi

arba

kur nurodyta Ω = √ (g/l)− žiedinis virpesių dažnis, sutampantis su gautu iš dinaminės lygties (2).
  Žinoma, toks sutapimas nėra atsitiktinis – tiesą sakant, abiejuose metoduose naudojome tą patį mažų įlinkio kampų aproksimaciją.

1 Iš esmės galima naudoti transliacinio judėjimo dinamikos lygtis, tačiau čia naudojamas metodas yra geresnis, nes taško judėjimo trajektorija yra apskritimo lankas.
2 Natūraliam mažų virpesių dažniui pasirinkome žymėjimą Ω (tai taip pat yra „omega“, tik didžiosiomis raidėmis), kad tradicinis žymėjimas ω − būtų paliktas už kampinio rutulio greičio, kuris toliau atsiras mūsų samprotavimuose.

Pagrindinės sąvokos: slopinami svyravimai, laisvieji svyravimai, neslopinti svyravimai, priverstiniai svyravimai, savaiminiai svyravimai.

Bendra švytuoklės E mechaninė energija yra jos potencialo E p = mgh ir kinetinės E k = mυ 2 /2 energijos suma:

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)

1 paveiksle schematiškai pavaizduotas matematinės švytuoklės potencinės energijos transformavimas į kinetinę energiją ir atvirkščiai.

1 pav. Energijos transformacija matematinei švytuoklei svyruojant.

Kai švytuoklė yra ties t.A (taškas, kuriame švytuoklės poslinkis iš pusiausvyros padėties yra didžiausias), tai jos kinetinė energija lygi minimaliai galimai reikšmei - nuliui - E k min = 0, o potencinė energija yra didžiausia ir lygus E p max = mgh max. Taigi, visa švytuoklės mechaninė energija t.A pagal (1) yra lygi:

Taške A: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.

Kai švytuoklė yra bet kuriame tarpiniame taške tarp taškų A (taško, kuriame švytuoklės poslinkis iš pusiausvyros padėties yra didžiausias) ir O (pusiausvyros padėties), tada jos bendra mechaninė energija E pagal (1) yra lygi :

Tarpiniuose taškuose: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p ir E k įgyja kai kurias tarpines vertes, didesnes nei 0 ir mažesnes už didžiausią vertę: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Kai švytuoklė kerta tašką O (pusiausvyros padėtis), tada jos kinetinė energija yra didžiausia ir lygi E k max = mυ max 2 /2, o potenciali energija, savo ruožtu, dabar įgyja nulinę reikšmę E p = 0:

Taške O: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.

Taigi, matematinei švytuoklei judant iš vieno taško į kitą, galima sukurti vienos energijos rūšies transformacijų į kitą grandinę (1 pav.):

taškas A -- taškas N -- taškas O -- taškas M -- taškas B --.....

E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E ' k -- E p max -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)

Spyruoklinės švytuoklės (2 pav.) energijos konversija vyksta panašiai.

Ryžiai. 3. Savaime svyruojanti sistema.

Pereikite prie kitos 34 pamokos: Virpesių sklidimas terpėje. Bangos.

Eikite į užrašus 9 klasei.

Mechaninė sistema, susidedanti iš materialaus taško (kūno), kabančio ant neištęsto ​​nesvario sriegio (jo masė yra nereikšminga, palyginti su kūno svoriu), vienodame gravitaciniame lauke, vadinama matematine švytuokle (kitas pavadinimas – osciliatorius). Yra ir kitų šio įrenginio tipų. Vietoj sriegio galima naudoti nesvarų strypą. Matematinė švytuoklė gali aiškiai atskleisti daugelio įdomių reiškinių esmę. Kai vibracijos amplitudė maža, jos judėjimas vadinamas harmoniniu.

Mechaninės sistemos apžvalga

Šios švytuoklės svyravimo laikotarpio formulę išvedė olandų mokslininkas Huygensas (1629-1695). Šis I. Niutono amžininkas labai domėjosi šia mechanine sistema. 1656 metais jis sukūrė pirmąjį laikrodį su švytuoklės mechanizmu. Jie laiką matavo išskirtiniu tikslumu tiems laikams. Šis išradimas tapo pagrindiniu fizinių eksperimentų ir praktinės veiklos plėtros etapu.

Jei švytuoklė yra pusiausvyros padėtyje (kabanti vertikaliai), ją subalansuos sriegio įtempimo jėga. Plokščioji švytuoklė ant neištempto sriegio yra dviejų laisvės laipsnių sistema su mova. Pakeitus tik vieną komponentą, pasikeičia visų jo dalių charakteristikos. Taigi, jei sriegis bus pakeistas strypu, tada ši mechaninė sistema turės tik 1 laisvės laipsnį. Kokias savybes turi matematinė švytuoklė? Šioje paprasčiausioje sistemoje, veikiant periodiniams trikdžiams, kyla chaosas. Tuo atveju, kai pakabos taškas nejuda, o svyruoja, švytuoklė turi naują pusiausvyros padėtį. Greitai svyruodama aukštyn ir žemyn, ši mechaninė sistema įgauna stabilią „aukštyn kojomis“ padėtį. Jis taip pat turi savo pavadinimą. Ji vadinama Kapitza švytuokle.

Švytuoklės savybės

Matematinė švytuoklė turi labai įdomių savybių. Visus juos patvirtina žinomi fiziniai dėsniai. Bet kurios kitos švytuoklės svyravimo laikotarpis priklauso nuo įvairių aplinkybių, tokių kaip kūno dydis ir forma, atstumas tarp pakabos taško ir svorio centro bei masės pasiskirstymas šio taško atžvilgiu. Štai kodėl nustatyti kūno kabėjimo laikotarpį yra gana sudėtinga užduotis. Daug lengviau apskaičiuoti matematinės švytuoklės laikotarpį, kurio formulė bus pateikta žemiau. Stebint panašias mechanines sistemas, galima nustatyti tokius modelius:

Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį, pakabinsime skirtingus svorius, tai jų svyravimo periodas bus vienodas, nors jų masės labai skirsis. Vadinasi, tokios švytuoklės veikimo laikas nepriklauso nuo apkrovos masės.

Jei paleidžiant sistemą švytuoklė nukrypsta ne per dideliais, o skirtingais kampais, tada ji pradės svyruoti tuo pačiu laikotarpiu, bet skirtingomis amplitude. Kol nukrypimai nuo pusiausvyros centro nėra per dideli, vibracijos savo forma bus gana artimos harmoninėms. Tokios švytuoklės periodas niekaip nepriklauso nuo svyravimo amplitudės. Ši tam tikros mechaninės sistemos savybė vadinama izochronizmu (iš graikų kalbos išvertus „chronos“ – laikas, „isos“ – lygus).

Matematinės švytuoklės periodas

Šis rodiklis rodo laikotarpį Nepaisant sudėtingos formuluotės, pats procesas yra labai paprastas. Jei matematinės švytuoklės sriegio ilgis yra L, o laisvojo kritimo pagreitis yra g, tada ši vertė yra lygi:

Mažų natūralių svyravimų periodas niekaip nepriklauso nuo švytuoklės masės ir svyravimų amplitudės. Šiuo atveju švytuoklė juda kaip matematinė tam tikro ilgio.

Matematinės švytuoklės svyravimai

Matematinė švytuoklė svyruoja, kurią galima apibūdinti paprasta diferencialine lygtimi:

x + ω2 sin x = 0,

čia x (t) yra nežinoma funkcija (tai yra nuokrypio nuo apatinės pusiausvyros padėties momentu t kampas, išreiškiamas radianais); ω – teigiama konstanta, kuri nustatoma pagal švytuoklės parametrus (ω = √g/L, čia g – laisvojo kritimo pagreitis, o L – matematinės švytuoklės (pakabos) ilgis.

Mažų virpesių, esančių šalia pusiausvyros padėties, lygtis (harmoninė lygtis) atrodo taip:

x + ω2 sin x = 0

Svyruojantys švytuoklės judesiai

Matematinė švytuoklė, kuri daro nedidelius svyravimus, juda išilgai sinusoidės. Antros eilės diferencialinė lygtis atitinka visus tokio judėjimo reikalavimus ir parametrus. Norint nustatyti trajektoriją, būtina nustatyti greitį ir koordinates, iš kurių vėliau nustatomos nepriklausomos konstantos:

x = A nuodėmė (θ 0 + ωt),

kur θ 0 yra pradinė fazė, A yra virpesių amplitudė, ω yra ciklinis dažnis, nustatytas pagal judėjimo lygtį.

Matematinė švytuoklė (didelių amplitudių formulės)

Šiai mechaninei sistemai, kuri svyruoja su didele amplitude, galioja sudėtingesni judėjimo dėsniai. Tokiai švytuoklei jie apskaičiuojami pagal formulę:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

kur sn yra Jacobi sinusas, kuris u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

čia ε = E/mL2 (mL2 – švytuoklės energija).

Netiesinės švytuoklės svyravimo laikotarpis nustatomas pagal formulę:

kur Ω = π/2 * ω/2K(u), K yra elipsinis integralas, π - 3,14.

Švytuoklės judėjimas išilgai separatoriaus

Separatriksas yra dinaminės sistemos, turinčios dvimatę fazių erdvę, trajektorija. Matematinė švytuoklė juda išilgai jos neperiodiškai. Be galo nutolusiu laiko momentu jis nuliniu greičiu nukrenta iš aukščiausios padėties į šoną, o po to palaipsniui jį įgyja. Galiausiai jis sustoja, grįžta į pradinę padėtį.

Jeigu švytuoklės svyravimų amplitudė artėja prie skaičiaus π , tai rodo, kad judėjimas fazinėje plokštumoje artėja prie separatoriaus. Šiuo atveju, veikiama nedidelės periodinės jėgos, mechaninė sistema demonstruoja chaotišką elgesį.

Kai matematinė švytuoklė nukrypsta nuo pusiausvyros padėties tam tikru kampu φ, atsiranda tangentinė sunkio jėga Fτ = -mg sin φ. Minuso ženklas reiškia, kad šis tangentinis komponentas yra nukreiptas priešinga švytuoklės įlinkiui. Žymime x švytuoklės poslinkį išilgai apskritimo lanko, kurio spindulys L, jos kampinis poslinkis lygus φ = x/L. Antrasis dėsnis, skirtas projekcijoms ir jėgai, suteiks norimą reikšmę:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Remiantis šiuo ryšiu, aišku, kad ši švytuoklė yra netiesinė sistema, nes jėga, linkusi ją grąžinti į pusiausvyros padėtį, visada yra proporcinga ne poslinkiui x, o sin x/L.

Tik tada, kai matematinė švytuoklė atlieka nedidelius svyravimus, ji yra harmoninis osciliatorius. Kitaip tariant, ji tampa mechanine sistema, galinčia atlikti harmoninius virpesius. Šis aproksimavimas praktiškai galioja 15-20° kampams. Didelės amplitudės švytuoklės svyravimai nėra harmoningi.

Niutono dėsnis mažiems švytuoklės svyravimams

Jei tam tikra mechaninė sistema atlieka nedidelius svyravimus, 2-asis Niutono dėsnis atrodys taip:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Remdamiesi tuo, galime daryti išvadą, kad matematinė švytuoklė yra proporcinga jos poslinkiui su minuso ženklu. Tai yra sąlyga, dėl kurios sistema tampa harmoniniu osciliatoriumi. Proporcingumo koeficiento tarp poslinkio ir pagreičio modulis yra lygus apskritimo dažnio kvadratui:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.

Ši formulė atspindi natūralų šio tipo švytuoklės mažų virpesių dažnį. Remiantis tuo,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/l.

Skaičiavimai pagal energijos tvermės dėsnį

Švytuoklės savybes taip pat galima apibūdinti naudojant energijos tvermės dėsnį. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad svyruoklė gravitaciniame lauke yra lygi:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Iš viso lygi kinetiniam arba maksimaliam potencialui: Epmax = Ekmsx = E

Po to, kai bus parašytas energijos tvermės dėsnis, paimkite išvestinę iš dešinės ir kairės lygties pusių:

Kadangi pastovių dydžių išvestinė lygi 0, tai (Ep + Ek)" = 0. Sumos išvestinė lygi išvestinių sumai:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

taigi:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Remdamiesi paskutine formule randame: α = - g/L*x.

Praktinis matematinės švytuoklės taikymas

Pagreitis skiriasi priklausomai nuo platumos, nes Žemės plutos tankis nėra vienodas visoje planetoje. Ten, kur yra didesnio tankio uolienos, jis bus šiek tiek didesnis. Geologiniams tyrimams dažnai naudojamas matematinės švytuoklės pagreitis. Jis naudojamas įvairių mineralų paieškai. Paprasčiausiai suskaičiavę švytuoklės svyravimų skaičių, galite aptikti anglį ar rūdą Žemės žarnyne. Taip yra dėl to, kad tokių fosilijų tankis ir masė yra didesni nei po jais esančių laisvų uolienų.

Matematinę švytuoklę naudojo tokie iškilūs mokslininkai kaip Sokratas, Aristotelis, Platonas, Plutarchas, Archimedas. Daugelis jų tikėjo, kad ši mechaninė sistema gali turėti įtakos žmogaus likimui ir gyvenimui. Archimedas savo skaičiavimuose naudojo matematinę švytuoklę. Šiais laikais daugelis okultistų ir aiškiaregių naudoja šią mechaninę sistemą, kad išpildytų savo pranašystes arba ieškotų dingusių žmonių.

Matematinę švytuoklę savo tyrimams panaudojo ir žymus prancūzų astronomas ir gamtininkas K. Flammarionas. Jis tvirtino, kad jo pagalba galėjo numatyti naujos planetos atradimą, Tunguskos meteorito atsiradimą ir kitus svarbius įvykius. Antrojo pasaulinio karo metais Vokietijoje (Berlyne) veikė specializuotas Švytuoklių institutas. Šiais laikais panašiais tyrimais užsiima Miuncheno parapsichologijos institutas. Šios įstaigos darbuotojai savo darbą su švytuokle vadina „radiestezija“.

Kartojimas

Bendra mechaninė energija kūnas

\(W=W_(k) +W_(p1) +W_(p2), \; \; \; W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2) )(2), \; \ \; W_(p1) =m\cdot h, \;

Kur sav- kūno kinetinė energija tam tikru laiko momentu (judesio energija), m- kūno masė, υ - kūno greičio vertė tam tikru metu, W p 1 - kūno, pakelto į aukštį, potenciali energija h, tam tikru laiko momentu (sąveikos energija), h- kūno aukštis tam tikru metu, W p 2 - deformuoto kūno potenciali energija tam tikru metu, Δ l- absoliutus kūno pailgėjimas tam tikru laiko momentu.

Jei uždaroje sistemoje nėra išorinių jėgų (pavyzdžiui, trinties jėgų), tada bendra uždaros sistemos mechaninė energija išsaugoma.

Matematinė švytuoklė

Panagrinėkime energijos virsmus matematinės švytuoklės virpesių metu. Atskaitos sistemą parinksime taip, kad pusiausvyros padėtyje jo potencinė energija būtų lygi nuliui.

Kai matematinė švytuoklė svyruoja, aukštis pasikeičia h svoris pusiausvyros padėties atžvilgiu ir jo greitis υ kinta (1 pav.). Be to, esant maksimaliems poslinkiams, aukštis pasiekia didžiausią vertę h max, o greitis tampa lygus nuliui, pusiausvyros padėtyje yra atvirkščiai: kūno aukštis lygus nuliui, o greitis pasiekia didžiausią reikšmę υ max.

Kadangi kūno aukštis lemia jo potencialią energiją Wp\(\left(W_(p) =m\cdot g\cdot h\right),\) o greitis yra kinetinė energija sav\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\), tada kartu su aukščio ir greičio pasikeitimu pasikeis ir energija.

Pavadinimai lentelėje:

\(W_(p\; \max ) = m\cdot g\cdot h_(\max ), \; \; \; W_(p2) =m\cdot g\cdot h_(2), \; \; \ W_(p4) =m\cdot g\cdot h_(4), \;

Mex-majat-2-01.swf Ryžiai. 3 Padidinkite blykstę

Spyruoklinė švytuoklė

Panagrinėkime energijos transformacijas horizontalios spyruoklės švytuoklės virpesių metu. Atskaitos sistemą parinksime taip, kad pusiausvyros padėtyje jo potencinė energija būtų lygi nuliui.

Spyruoklinei švytuoklei svyruojant, pasikeičia absoliutus spyruoklės pailgėjimas Δ l palyginti su pusiausvyros padėtimi (t.y. keičiasi svorio poslinkis x = Δ l) ir kinta svorio greitis υ (3 pav.). Be to, esant maksimaliems poslinkiams, absoliutus pailgėjimas pasiekia didžiausią vertę Δ l max, o greitis tampa lygus nuliui, pusiausvyros padėtyje yra atvirkščiai: absoliutus pailgėjimas lygus nuliui, o greitis pasiekia didžiausią reikšmę υ max.

Kadangi absoliutus spyruoklės pailgėjimas lemia jos potencialią energiją Wp\(\left(W_(p) =\frac(k\cdot \Delta l^(2))(2) \right),\) o greitis yra kinetinė energija sav\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\), tada kartu su absoliutaus pailgėjimo ir greičio pasikeitimu pasikeis ir energijos .

Pavadinimai lentelėje:

\(W_(p\; \max ) =\frac(k\cdot x_(\max )^(2) )(2), \;\;\; W_(p2) =\frac(k\cdot x_( 2)^(2) )(2), \;\;\; W_(p4) =\frac(k\cdot x_(4)^(2)(2), \;\;\ ) =\; frac(k\cdot x_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(k\; \max ) =\frac(m\cdot \upsilon _(\max )^(2) )(2), \; \; \; W_(k2) =\frac(m\cdot \upsilon _(2)^(2)(2), \ W_(k4) =\frac(m\cdot \upsilon _(4)^(2)(2), \; k6) =\frac(m\cdot \upsilon _(6)^(2) )(2).\)

Bendra švytuoklės energija laikui bėgant išsaugoma, nes nėra trinties jėgos. Tada

\(W=W_(k\, \max ) = W_(p\, \max ) = W_(k2) + W_(p2) = W_(k4) +W_(p4) = ...\)

Mex-majat-2-02.swf Ryžiai. 5 Padidinkite blykstę

Jei už vertikali spyruoklinė švytuoklė parinkite atskaitos rėmą taip, kad pusiausvyros padėtyje jo potenciali energija būtų lygi nuliui, tada šiai švytuoklei galima pritaikyti viską, kas aprašyta aukščiau horizontaliai švytuoklei.

Literatūra

1. Zhilko, V.V. Fizika: vadovėlis. Vadovas 11 klasei bendrojo lavinimo. mokykla iš rusų kalbos kalba mokymas / V.V., L.G. Markovič. - Minskas: Nar. Asveta, 2009. - 19-21 p.