Шөнө яагаад хумсаа тайрч болохгүй гэж?

Хэрэв хавар хавсаргасан бие (Зураг 4) тэнцвэрийн байрлалаас зүүн тийш, жишээлбэл, А зайд хазайсан бол тэнцвэрийн байрлалыг давж баруун тийш хазайх болно. Энэ нь энерги хадгалагдах хуулиас үүдэлтэй.

Шахсан эсвэл сунгасан пүршний боломжит энерги нь тэнцүү байна

Энд k нь пүршний хөшүүн чанар, х нь түүний суналт юм. Хамгийн зүүн байрлалд пүршний суналт x = - A тул потенциал энерги нь тэнцүү байна.

Энэ агшинд кинетик энерги тэг байна, учир нь хурд нь тэг юм. Энэ нь боломжит энерги нь одоогийн системийн нийт механик энерги гэсэн үг юм. Хэрэв бид үрэлтийн хүч тэг, бусад хүч тэнцвэртэй байна гэдэгтэй санал нийлбэл манай системийг хаалттай гэж үзэж болох бөгөөд хөдөлгөөний явцад түүний нийт энерги өөрчлөгдөхгүй. Хөдөлгөөний явцад бие нь туйлын зөв байрлалд (x = A) байх үед түүний кинетик энерги дахин тэг болж, нийт энерги нь потенциалтай тэнцүү байх болно. Гэхдээ нийт энерги өөрчлөгдөх боломжгүй. Тэгэхээр дахин тэнцүү байна

Энэ нь бие нь А-тай тэнцүү зайд баруун тийш хазайна гэсэн үг юм.

Энд m нь биеийн масс ба түүний хурд (энэ мөчид хамгийн их байна). Гэхдээ энэ кинетик энерги нь бас ижил утгатай байх ёстой. Үүний үр дүнд хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед кинетик энерги нь боломжит энерги болон эсрэгээр хувирдаг. Тэнцвэрийн байрлал ба хамгийн их хазайлтын хоорондох аль ч үед бие нь кинетик ба боломжит энергитэй байдаг боловч тэдгээрийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл. Биеийн аль ч байрлал дахь нийт энерги тэнцүү байна. Хэлбэлзэж буй биеийн нийт механик энерги W нь далайц ба түүний хэлбэлзлийн квадраттай пропорциональ байна.

Савлуурууд. Математикийн дүүжин

Савлуур гэдэг нь таталцлын төв нь дүүжлүүрийн цэгээс доогуур байхаар дүүжлэгдсэн аливаа бие юм. Энэ нь олс дээр дүүжлэгдсэн ачаалал нь ханын цагны дүүжинтэй төстэй хэлбэлзлийн систем юм гэсэн үг юм. Чөлөөт хэлбэлзэл хийх чадвартай аливаа систем нь тогтвортой тэнцвэрийн байрлалтай байдаг. Савлуурын хувьд энэ нь таталцлын төв нь түдгэлзүүлэх цэгээс доош босоо байрлалтай байрлал юм. Хэрэв бид савлуурыг энэ байрлалаас салгах юм уу түлхэх юм бол энэ нь тэнцвэрийн байрлалаас эхлээд нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд хазайж, хэлбэлзэж эхэлнэ. Савлуур хүрэх тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлтыг хэлбэлзлийн далайц гэж нэрлэдэг гэдгийг бид мэднэ. Далайн далайц нь савлуурыг хөдөлгөж байсан анхны хазайлт эсвэл түлхэлтээр тодорхойлогддог. Энэ шинж чанар - хөдөлгөөний эхэн үеийн нөхцлөөс далайцын хамаарал нь зөвхөн дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзэл төдийгүй ерөнхийдөө олон тербеллийн системийн чөлөөт хэлбэлзлийн шинж чанар юм.

Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь олон нөхцөл байдлаас шалтгаална: биеийн хэмжээ, хэлбэр, хүндийн төв ба түдгэлзүүлэх цэгийн хоорондох зай, энэ цэгтэй харьцуулахад биеийн жингийн тархалт; Тиймээс түдгэлзүүлсэн биеийн хугацааг тооцоолох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математикийн дүүжингийн хувьд нөхцөл байдал илүү хялбар байдаг. Математикийн дүүжин нь нимгэн утаснаас дүүжлэгдсэн жин бөгөөд хэмжээс нь утасны уртаас хамаагүй бага бөгөөд түүний масс нь утасны массаас хамаагүй их байдаг. Энэ нь бие (ачаалал) ба утас нь ачааллыг материаллаг цэг гэж үзэж болохуйц байх ёстой бөгөөд утас нь жингүй байх ёстой гэсэн үг юм. Ийм дүүжингийн ажиглалтаас дараах энгийн хуулиудыг тогтоож болно.

1. Хэрэв савлуурын ижил уртыг (ачааллын түдгэлзүүлсэн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай) хадгалан өөр өөр ачаа өлгөх юм бол хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно, гэхдээ савлуурын масс нь ачаалал маш их ялгаатай. Математик дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.

2. Замын аль ч цэг дээр бие дээр үйлчлэх хүч тэнцвэрийн байрлал руу чиглэсэн байх ба тэнцвэрийн цэг дээр өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

3. Хүч нь биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайсантай пропорциональ байна.

Цагаан будаа. 5.

4. Хэрэв савлуурыг эхлүүлэхдээ бид өөр өөр (гэхдээ тийм ч том биш) өнцгөөр хазайвал энэ нь өөр өөр далайцтай боловч ижил хугацаанд хэлбэлзэх болно. Далайц нь тийм ч том биш л бол хэлбэлзэл нь гармоник хэлбэртэй нэлээд ойрхон бөгөөд математик дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек үгнээс "isos" - тэнцүү, "chronos" - цаг хугацаа).

Энэ баримтыг анх 1655 онд Галилео дараах нөхцөл байдлын дор тогтоожээ. Галилео Пизагийн сүмд лааны суурь (Ортодокс сүмд төв лааны суурь, олон лаа эсвэл чийдэн бүхий дэнлүү) асаах үед түлхсэн урт гинжээр дүүжин байгааг ажиглав. Үйлчилгээний явцад савлуур аажмаар бүдгэрч (8-р бүлэг), өөрөөр хэлбэл савлуурын далайц багассан боловч хугацаа нь хэвээрээ байв. Галилео өөрийн импульсийг цаг хугацааны үзүүлэлт болгон ашигласан.

Савлуурын энэ шинж чанар нь гайхмаар төдийгүй бас ашигтай болсон. Галилео цагны зохицуулагчийн хувьд дүүжин ашиглахыг санал болгов. Галилеогийн үед цагийг жингээр хөдөлгөдөг байсан бөгөөд салхин тээрмийн ир гэх мэт бүдүүлэг төхөөрөмжөөр хурдыг тохируулж, агаарын эсэргүүцлийг ашигладаг байжээ. Санамсаргүй салхи шуурганаас үүдэлтэй том хэлбэлзэлтэй ижил хугацаанд жижиг хэлбэлзэл үүсдэг тул ижил цаг хугацааг тоолохын тулд дүүжин ашиглаж болно. Галилеогаас хойш зуун жилийн дараа дүүжин цаг ашиглалтад орсон ч далайчдад далайд уртраг хэмжихийн тулд үнэн зөв цаг хэрэгтэй хэвээр байв. Цагийг хангалттай нарийвчлалтайгаар хэмжих боломжийг олгодог далайн цагийг бүтээх шагналыг зарлав. Гариссон хөдөлгөөнийг зохицуулахын тулд нисдэг дугуй (тэнцвэр) болон тусгай пүрш ашигласан хронометрийн шагналыг хүртжээ.

Одоо математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн томъёог гаргая.

Савлуурыг савлах үед ачаалал нь хөдөлгөөний үед өөрчлөгддөг P 1 буцах хүчний нөлөөн дор BA нумын дагуу хурдасгаж хөдөлдөг (Зураг 5, а).

Хувьсах хүчний нөлөөн дор биеийн хөдөлгөөнийг тооцоолох нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Тиймээс аливаа зүйлийг хялбарчлахын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

Савлуурыг нэг хавтгайд хэлбэлздэггүй, харин ачаа нь тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг конусыг дүрсэлцгээе (Зураг 5, б). Энэ хөдөлгөөнийг хоёр бие даасан чичиргээ нэмсний үр дүнд олж авч болно: нэг нь зургийн хавтгайд, нөгөө нь перпендикуляр хавтгайд байна. Мэдээжийн хэрэг, хэлбэлзлийн аль ч хавтгай нь бусадтай адилгүй тул эдгээр хавтгай хэлбэлзлийн үеүүд ижил байна. Үүний үр дүнд нарийн төвөгтэй хөдөлгөөний хугацаа - конусын дагуу дүүжин эргэх нь нэг хавтгайд дүүжин байх хугацаатай ижил байх болно. Энэ дүгнэлтийг хоёр ижил дүүжин авч, нэгийг нь хавтгайд, нөгөөг нь конусын дагуу эргүүлэх замаар шууд туршлагаар хялбархан дүрсэлж болно.

Гэхдээ "конус" дүүжингийн эргэлтийн хугацаа нь ачааллын дагуу тодорхойлсон тойргийн уртыг хурдаар хуваасантай тэнцүү байна.

Хэрэв босоо тэнхлэгээс хазайх өнцөг бага бол (жижиг далайц!) Хэрэв буцах хүч P 1 нь BC тойргийн радиусын дагуу чиглэнэ, өөрөөр хэлбэл төв рүү чиглэсэн хүчтэй тэнцүү байна гэж үзэж болно.

Нөгөө талаас OBC ба DBE гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BE: BD = CB: OB байна. OB=l, CB=r, BE=P 1 тул эндээс

P 1 илэрхийлэлийг хоёуланг нь тэнцүүлж, бид эргэлтийн хурдыг олж авна

Эцэст нь үүнийг T үеийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид олдог

Тиймээс, математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн таталцлын хурдатгалаас хамаарна g ба дүүжингийн урт l, өөрөөр хэлбэл дүүжлүүрийн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай. Үүссэн томъёоноос харахад дүүжингийн хугацаа нь түүний масс ба далайцаас хамаардаггүй (энэ нь хангалттай бага байх тохиолдолд). Өөрөөр хэлбэл, урьд нь ажиглалтаар тогтоогдсон үндсэн хуулиудыг тооцоогоор гаргаж авсан.

Гэхдээ энэ онолын дүгнэлт нь бидэнд илүү их зүйлийг өгдөг: энэ нь савлуурын хугацаа, түүний урт ба таталцлын хурдатгалын хоорондох тоон хамаарлыг тогтоох боломжийг олгодог. Математик дүүжингийн хугацаа нь дүүжингийн уртыг таталцлын хурдатгалд харьцуулсан квадрат язгууртай пропорциональ байна. Пропорциональ коэффициент нь 2?.

Энэ хурдатгалыг тодорхойлох маш үнэн зөв арга нь таталцлын хурдатгалаас дүүжин үеийн хамаарал дээр суурилдаг. Савлуур l-ийн уртыг хэмжиж, олон тооны хэлбэлзлээс T үеийг тодорхойлсны дараа бид үүссэн томъёог ашиглан g-ийг тооцоолж болно. Энэ аргыг практикт өргөн ашигладаггүй.

дүүжин хэлбэлзлийн резонансын координат

Хөнгөн, сунадаггүй утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг бөмбөг нь чадвартай үнэгүйхэлбэлзлийн хөдөлгөөн (Зураг 598).

будаа. 598
  Савлуурын хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд бид бөмбөгийг материаллаг цэг гэж үзэж, утасны масс болон агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлох болно. Энэ загварыг нэрлэдэг математикийн дүүжин.
  Бөмбөгний байрлалыг тодорхойлсон координатын хувьд бид утасны босоо тэнхлэгээс хазайх өнцгийг сонгоно. φ . Энэ координатын өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд эргэлтийн хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой.

Хаана J = мл 2- системийн инерцийн момент; ε = Δω/Δt− биеийн өнцгийн хурдатгал (эргэлтийн өнцгийн хоёр дахь дериватив), М− системд үйлчлэх гадны хүчний нийт момент 1. Бөмбөлөгт мг таталцлын хүч ба утас таталтаар ажилладаг. Утасны хурцадмал мөч Ндүүжлүүрийн цэгтэй харьцуулахад тэг байх тул дүүжлэгдсэн бөмбөгний тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна.

эсвэл

  Энэ тэгшитгэл нь савлуурын хэлбэлзлийг дүрсэлсэн боловч хүчний момент нь өнцөгт биш харин хазайлтын өнцгийн синустай пропорциональ байдаг тул гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл биш юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид хазайлтын өнцгийг бага гэж үзвэл (энэ нь хэр их байгааг бид дараа нь олж мэдэх болно) ойролцоогоор томъёог ашиглаж болно. sinφ ≈ φЭнэ ойролцоолсон үед тэгшитгэл (3) нь гармоник хэлбэлзлийн танил тэгшитгэл болж хувирдаг.

Хаана Ω = √(г/л)− дүүжин 2-ын жижиг хэлбэлзлийн дугуй давтамж. Бид энэ тэгшитгэлийн шийдлийг аль хэдийн бичсэн

Энд φ o− утасны хамгийн их хазайлт, өөрөөр хэлбэл хэлбэлзлийн далайц. Энгийн байхын тулд бид бөмбөгний анхны хурдыг тэг гэж үзэх болно.
Дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн үеийг дугуй давтамжаар илэрхийлнэ

  Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзэл нь гармоник байдаг тул тэдгээрийн хугацаа нь далайцаас хамаардаггүй. Энэ баримтыг Г.Галилей туршилтаар тэмдэглэжээ. Их хэмжээний хазайлтын өнцгөөр математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа бага зэрэг нэмэгддэг.
  Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь бөмбөгний массаас хамаардаггүй гэдгийг анхаарна уу - чөлөөт уналтын хурдатгал, түүнчлэн дэлхийн таталцлын талбар дахь биеийн хөдөлгөөний бусад шинж чанаруудыг мөн санаж байх хэрэгтэй. биеийн массаас хамаарахгүй (хэрэв мэдээжийн хэрэг бид агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлодог бол).
  Формула (6) нь таталцлын хурдатгалыг туршилтаар тодорхойлоход ашиглаж болно. Утасны урт ба хэлбэлзлийн хугацааг туршилтаар хэмжихэд маш энгийн бөгөөд дараа нь (6) томъёог ашиглан чөлөөт уналтын хурдатгалыг тооцоолж болно.
  Механик энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан математикийн дүүжингийн хөдөлгөөнийг дүрслэхийг хичээцгээе. Бөмбөгний кинетик энергийг томъёогоор илэрхийлнэ

  Боломжит энергийн лавлагааны тэг түвшин нь утсыг түдгэлзүүлэх цэгтэй тохирч байвал бөмбөгний боломжит энерги нь тэнцүү байна.

  Механик энерги хадгалагдах хуулийн тэгшитгэл (анхны нөхцлийг харгалзан) хэлбэртэй байна

  Энэ тэгшитгэл нь гармоник чичиргээний тэгшитгэл биш юм. Гэхдээ хэрэв бид дүүжингийн хазайлтын өнцгийг дахин бага гэж үзэж, ойролцоогоор томъёог ашиглана уу

тэгвэл (7) тэгшитгэл гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл болж хувирна

эсвэл

заасан газар Ω = √(г/л)− динамик тэгшитгэлээс (2) олж авсантай давхцах хэлбэлзлийн дугуй давтамж.
  Мэдээжийн хэрэг, энэ давхцал нь санамсаргүй биш юм - үнэн хэрэгтээ бид хоёр хандлагад жижиг хазайлтын өнцгийг ижил төстэй байдлаар ашигласан.

1 Зарчмын хувьд хөрвүүлэх хөдөлгөөний динамикийн тэгшитгэлийг ашиглах боломжтой боловч цэгийн хөдөлгөөний траектор нь дугуй нуман хэлбэртэй тул энд ашигласан аргыг илүүд үздэг.
2 Бид жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийн хувьд Ω тэмдэглэгээг (энэ нь мөн "омега" бөгөөд зөвхөн том үсгээр бичсэн) сонгосон бөгөөд ингэснээр уламжлалт тэмдэглэгээ ω - нь бөмбөгний өнцгийн хурдны ард үлдэх бөгөөд энэ нь бидний үндэслэлд цаашид харагдах болно.

Үндсэн ойлголтууд: саармагжуулсан хэлбэлзэл, чөлөөт хэлбэлзэл, уналтгүй хэлбэлзэл, албадан хэлбэлзэл, өөрөө хэлбэлзэл.

Е дүүжингийн нийт механик энерги нь түүний потенциал E p = mgh ба кинетик E k = mυ 2 /2 энергийн нийлбэр юм.

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2. (1)

Зураг 1-д математик дүүжингийн потенциал энергийг кинетик энерги болгон хувиргах ба эсрэгээр нь бүдүүвчээр үзүүлэв.

Зураг 1. Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хөдөлгөөний үед энергийн хувирал.

Савлуур нь t.A (тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин шилжилтийн хамгийн их цэг) үед түүний кинетик энерги нь боломжит хамгийн бага утгатай тэнцүү - тэг - E k min = 0, боломжит энерги нь хамгийн их ба тэнцүү E p max = mgh max. Тиймээс (1)-ийн дагуу t.A дахь дүүжингийн нийт механик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

А цэг дээр: E = E p max + E k min = mgh max + 0 = mgh max.

Савлуур нь А (тэнцвэрийн байрлалаас дүүжин шилжилт хамгийн их байх цэг) ба О (тэнцвэрийн байрлал) цэгүүдийн хоорондох аль ч завсрын цэг дээр байвал (1)-ийн дагуу түүний нийт механик энерги Е нь тэнцүү байна. :

Завсрын цэгүүдэд: E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2,

E p ба E k нь 0-ээс их ба хамгийн их утгаас бага завсрын утгыг авдаг: E p = mgh< mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Савлуур нь О цэгийг (тэнцвэрийн байрлал) давахад түүний кинетик энерги нь хамгийн их бөгөөд E k max = mυ max 2 /2-тэй тэнцүү байх ба потенциал энерги нь эргээд E p = 0 гэсэн тэг утгыг авна.

О цэг дээр: E = E p min + E k max = 0 + mυ max 2 /2.

Тиймээс математикийн дүүжин нэг цэгээс нөгөө цэг рүү шилжих үед нэг төрлийн энергийг нөгөөд хувиргах гинжийг үүсгэх боломжтой (Зураг 1):

А цэг -- N цэг -- О цэг -- М цэг -- Б цэг --.....

E p max -- E p + E k -- E k max -- E' p + E' k -- E p max -- .....

E = E p + E k = mgh + mυ 2 /2 = E k max = mυ max 2 /2 = E p max = mgh max (2)

Хаврын савлуурын хувьд (Зураг 2) энерги хувиргах нь ижил төстэй байдлаар явагддаг.

Цагаан будаа. 3. Өөрөө хэлбэлздэг систем.

Дараагийн хичээл 34-т очно уу: Дундаж дахь хэлбэлзлийн тархалт. Долгион.

9-р ангийн тэмдэглэл рүү очно уу.

Нэг төрлийн таталцлын талбарт сунадаггүй жингүй утас (түүний масс нь биеийн жинтэй харьцуулахад маш бага) дээр өлгөгдсөн материаллаг цэгээс (бие) бүрдэх механик системийг математик дүүжин (өөр нэр нь осциллятор) гэж нэрлэдэг. Энэ төхөөрөмжийн өөр төрлүүд байдаг. Утасны оронд жингүй саваа ашиглаж болно. Математикийн дүүжин нь олон сонирхолтой үзэгдлийн мөн чанарыг тодорхой харуулж чадна. Чичиргээний далайц бага бол түүний хөдөлгөөнийг гармоник гэж нэрлэдэг.

Механик системийн тойм

Энэхүү савлуурын хэлбэлзлийн үеийн томъёог Голландын эрдэмтэн Гюйгенс (1629-1695) гаргажээ. И.Ньютоны энэ үеийн хүн энэхүү механик системийг маш их сонирхож байсан. 1656 онд тэрээр дүүжин механизмтай анхны цагийг бүтээжээ. Тэд тухайн цаг үеийн хувьд онцгой нарийвчлалтайгаар цагийг хэмжсэн. Энэхүү шинэ бүтээл нь бие махбодийн туршилт, практик үйл ажиллагааг хөгжүүлэх гол үе шат болсон.

Хэрэв дүүжин тэнцвэрийн байрлалд (босоо унжсан) байвал утаснуудын суналтын хүчээр тэнцвэржүүлнэ. Сунгах боломжгүй утас дээрх хавтгай дүүжин нь холболттой хоёр зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий систем юм. Зөвхөн нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг өөрчлөхөд түүний бүх хэсгүүдийн шинж чанар өөрчлөгддөг. Тиймээс, утас нь саваагаар солигдвол энэ механик систем нь зөвхөн 1 градусын эрх чөлөөтэй байх болно. Математикийн дүүжин ямар шинж чанартай байдаг вэ? Энэхүү энгийн системд үе үе эвдрэлийн нөлөөн дор эмх замбараагүй байдал үүсдэг. Түдгэлзүүлэх цэг нь хөдөлдөггүй, харин хэлбэлздэг тохиолдолд дүүжин нь шинэ тэнцвэрийн байрлалтай болно. Дээш доошоо хурдацтай хэлбэлзэх үед энэхүү механик систем нь тогтвортой "доош доошоо" байрлалыг олж авдаг. Энэ нь бас өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Үүнийг Капица дүүжин гэж нэрлэдэг.

Савлуурын шинж чанарууд

Математикийн дүүжин нь маш сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь бүгд мэдэгдэж байгаа физик хуулиудаар батлагдсан байдаг. Бусад дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь биеийн хэмжээ, хэлбэр, түдгэлзүүлсэн цэг ба хүндийн төвийн хоорондох зай, энэ цэгтэй харьцуулахад массын тархалт зэрэг янз бүрийн нөхцөл байдлаас хамаарна. Тийм ч учраас биеийн өлгөөтэй хугацааг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математик дүүжингийн хугацааг тооцоолох нь илүү хялбар бөгөөд томъёог доор өгөх болно. Ижил төстэй механик системүүдийн ажиглалтын үр дүнд дараахь хэв маягийг тогтоож болно.

Хэрэв савлуурын ижил уртыг хадгалахын зэрэгцээ бид өөр өөр жинг өлгөх юм бол тэдгээрийн хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно, гэхдээ тэдгээрийн масс нь ихээхэн ялгаатай байх болно. Иймээс ийм дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.

Хэрэв системийг эхлүүлэх үед дүүжин нь хэтэрхий том биш, гэхдээ өөр өөр өнцгөөр хазайсан бол ижил хугацаанд хэлбэлзэж эхэлнэ, гэхдээ өөр далайцтай. Тэнцвэрийн төвөөс хазайлт нь тийм ч том биш бол тэдгээрийн хэлбэрийн чичиргээ нь гармониктай нэлээд ойрхон байх болно. Ийм дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Тухайн механик системийн энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек хэлнээс "chronos" - цаг хугацаа, "isos" - тэнцүү).

Математикийн дүүжингийн үе

Энэ үзүүлэлт нь үеийг илэрхийлдэг Нарийн төвөгтэй томъёололтой хэдий ч үйл явц нь өөрөө маш энгийн байдаг. Хэрэв математик дүүжингийн утасны урт L, чөлөөт уналтын хурдатгал нь g бол энэ утга нь дараахтай тэнцүү байна.

Байгалийн жижиг хэлбэлзлийн хугацаа нь дүүжингийн масс ба хэлбэлзлийн далайцаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Энэ тохиолдолд дүүжин нь өгөгдсөн урттай математикийн нэгэн адил хөдөлдөг.

Математик дүүжингийн хэлбэлзэл

Математик дүүжин хэлбэлздэг бөгөөд үүнийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

x + ω2 sin x = 0,

Энд x (t) нь үл мэдэгдэх функц (энэ нь t мөчид доод тэнцвэрийн байрлалаас хазайх өнцөг, радианаар илэрхийлэгдсэн); ω нь эерэг тогтмол бөгөөд энэ нь савлуурын параметрүүдээс тодорхойлогддог (ω = √g/L, энд g нь таталцлын хурдатгал, L нь математик дүүжин (суспенз) -ийн урт юм.

Тэнцвэрийн байрлалын ойролцоох жижиг чичиргээний тэгшитгэл (гармоник тэгшитгэл) дараах байдалтай байна.

x + ω2 sin x = 0

Савлуурын хэлбэлзлийн хөдөлгөөн

Жижиг хэлбэлзэл үүсгэдэг математик дүүжин нь синусоидын дагуу хөдөлдөг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ийм хөдөлгөөний бүх шаардлага, параметрүүдийг хангадаг. Замын чиглэлийг тодорхойлохын тулд хурд, координатыг тохируулах шаардлагатай бөгөөд үүнээс бие даасан тогтмолуудыг тодорхойлно.

x = A нүгэл (θ 0 + ωt),

Энд θ 0 нь эхний үе шат, A нь хэлбэлзлийн далайц, ω нь хөдөлгөөний тэгшитгэлээр тодорхойлогддог мөчлөгийн давтамж юм.

Математик дүүжин (том далайцын томъёо)

Их хэмжээний далайцтай хэлбэлздэг энэ механик систем нь хөдөлгөөний илүү төвөгтэй хуулиудад захирагддаг. Ийм дүүжингийн хувьд тэдгээрийг дараах томъёоны дагуу тооцоолно.

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

Энд sn нь Жакоби синус бөгөөд энэ нь u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

Энд ε = E/mL2 (mL2 нь дүүжингийн энерги).

Шугаман бус дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энд Ω = π/2 * ω/2K(u), K нь эллипс интеграл, π - 3,14.

Савлуурын дагуух савлуурын хөдөлгөөн

Тусгаарлагч гэдэг нь хоёр хэмжээст фазын орон зайтай динамик системийн замнал юм. Математикийн дүүжин түүний дагуу үе үе хөдөлдөггүй. Цаг хугацааны хязгааргүй алслагдсан агшинд тэр хамгийн өндөр байрлалаасаа хажуу тийш тэг хурдтайгаар унаж, дараа нь аажмаар нэмэгддэг. Энэ нь эцэстээ зогсч, анхны байрлалдаа буцаж ирдэг.

Хэрэв дүүжингийн хэлбэлзлийн далайц нь тоонд ойртвол π , энэ нь фазын хавтгай дээрх хөдөлгөөн тусгаарлалт руу ойртож байгааг харуулж байна. Энэ тохиолдолд жижиг хөдөлгөгч үе үеийн хүчний нөлөөн дор механик систем эмх замбараагүй зан үйлийг харуулдаг.

Математикийн дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой φ өнцгөөр хазайхад Fτ = -mg sin φ таталцлын шүргэгч хүч үүснэ. Хасах тэмдэг нь энэ шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь савлуурын хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм. L радиустай дугуй нумын дагуу дүүжингийн шилжилтийг х-ээр тэмдэглэхэд түүний өнцгийн шилжилт нь φ = x/L-тэй тэнцүү байна. Төсөөлөл, хүч чадалд зориулагдсан хоёр дахь хууль нь хүссэн утгыг өгнө.

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Энэ хамаарал дээр үндэслэн энэ савлуур нь шугаман бус систем болох нь тодорхой байна, учир нь түүнийг тэнцвэрт байдалд буцаах хүч нь х шилжилттэй үргэлж пропорциональ биш, харин x/L нүгэлтэй пропорциональ байдаг.

Математикийн дүүжин жижиг хэлбэлзэл хийх үед л гармоник осциллятор болно. Өөрөөр хэлбэл гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай механик систем болж хувирдаг. Энэ ойролцоо нь 15-20 ° өнцгийн хувьд бараг хүчинтэй. Том далайцтай дүүжингийн хэлбэлзэл нь гармоник биш юм.

Дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн Ньютоны хууль

Хэрэв өгөгдсөн механик систем нь жижиг чичиргээ хийдэг бол Ньютоны 2-р хууль дараах байдлаар харагдана.

мг τ = Fτ = -m* g/L* x.

Үүний үндсэн дээр бид математикийн дүүжин нь хасах тэмдэгтэй түүний шилжилттэй пропорциональ байна гэж дүгнэж болно. Энэ бол систем гармоник осциллятор болох нөхцөл юм. Шилжилт ба хурдатгалын хоорондох пропорциональ коэффициентийн модуль нь дугуй давтамжийн квадраттай тэнцүү байна.

ω02 = г/л; ω0 = √ г/л.

Энэ томьёо нь энэ төрлийн савлуурын жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг тусгасан болно. Үүнд үндэслэн,

T = 2π/ ω0 = 2π√ г/л.

Эрчим хүч хадгалагдах хуульд үндэслэсэн тооцоолол

Дүүжингийн шинж чанарыг мөн энерги хадгалах хуулийг ашиглан тодорхойлж болно. Таталцлын талбайн дүүжин нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Нийт нь кинетик буюу хамгийн их потенциалтай тэнцүү: Epmax = Ekmsx = E

Эрчим хүч хадгалагдах хуулийг бичсэний дараа тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын деривативыг авна уу.

Тогтмол хэмжигдэхүүний дериватив нь 0-тэй тэнцүү тул (Ep + Ek)" = 0. Нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Ep" = (мг/Л*х2/2)" = мг/2Л*2х*х" = мг/Л*в + Эк" = (mv2/2) = m/2(v2)" = м/ 2* 2v*v" = mv* α,

иймээс:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Сүүлийн томьёо дээр үндэслэн бид α = - g/L*x-ийг олно.

Математик дүүжингийн практик хэрэглээ

Дэлхийн царцдасын нягт нь дэлхий даяар ижил биш байдаг тул хурдатгал нь өргөрөгөөс хамаарч өөр өөр байдаг. Өндөр нягтралтай чулуулаг үүссэн тохиолдолд бага зэрэг өндөр байх болно. Математик дүүжингийн хурдатгалыг ихэвчлэн геологи хайгуулд ашигладаг. Энэ нь янз бүрийн ашигт малтмал хайхад ашиглагддаг. Дүүжингийн хэлбэлзлийн тоог л тоочиход л дэлхийн гүн дэх нүүрс эсвэл хүдрийг илрүүлэх боломжтой. Энэ нь ийм олдворууд нь суурь сул чулуулгаас илүү нягт, масстай байдагтай холбоотой юм.

Математикийн савлуурыг Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед зэрэг шилдэг эрдэмтэд ашиглаж байжээ. Тэдний олонх нь энэхүү механик систем нь хүний ​​хувь заяа, амьдралд нөлөөлж чадна гэдэгт итгэдэг байв. Архимед тооцоололдоо математикийн дүүжин ашигласан. Өнөө үед олон ид шидтэнгүүд, зөн билэгтнүүд энэхүү механик системийг өөрсдийн зөгнөлөө биелүүлэх эсвэл сураггүй алга болсон хүмүүсийг хайхад ашигладаг.

Францын нэрт одон орон судлаач, байгаль судлаач К.Фламмарион ч судалгаандаа математикийн дүүжин ашигласан. Түүний тусламжтайгаар тэрээр шинэ гариг ​​нээх, Тунгуска солирын харагдах байдал болон бусад чухал үйл явдлуудыг урьдчилан таамаглаж чадсан гэж мэдэгджээ. Дэлхийн 2-р дайны үед Германд (Берлин) төрөлжсөн дүүжин институт ажиллаж байв. Одоо Мюнхений Парапсихологийн хүрээлэн ижил төстэй судалгаа хийж байна. Энэ байгууллагын ажилчид савлууртай хийсэн ажлыг "цацраг туяа" гэж нэрлэдэг.

Давталт

Нийт механик энергибие

\(W=W_(k) +W_(p1) +W_(p2), \; \; \; W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2) )(2), \; \ W_(p1) =m\cdot g\cdot h, \\frac(k\cdot \Delta l^(2) )(2),\);

Хаана Wk- тухайн агшин дахь биеийн кинетик энерги (хөдөлгөөний энерги), м- биеийн жин, υ - тухайн цаг үеийн биеийн хурдны утга, В х 1 - өндөрт өргөгдсөн биеийн боломжит энерги h, цаг хугацааны өгөгдсөн мөчид (харилцааны энерги), h- тухайн үеийн биеийн өндөр, В х 2 - өгөгдсөн хугацаанд деформацид орсон биеийн потенциал энерги, Δ л- тухайн агшинд биеийн үнэмлэхүй сунгалт.

Хэрэв хаалттай системд гадны хүч байхгүй бол (жишээлбэл, үрэлтийн хүч) хаалттай системийн нийт механик энерги хадгалагдана.

Математикийн дүүжин

Математик савлуурын хэлбэлзлийн үеийн энергийн хувиргалтыг авч үзье. Тэнцвэрийн байрлалд түүний потенциал энерги тэгтэй тэнцүү байхаар жишиг хүрээг сонгоцгооё.

Математикийн дүүжин хэлбэлзэх үед өндөр нь өөрчлөгддөг hтэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад жин ба түүний хурд υ өөрчлөгдөнө (Зураг 1). Түүнээс гадна хамгийн их нүүлгэн шилжүүлэх үед өндөр нь хамгийн дээд хэмжээндээ хүрдэг h max, хурд нь тэгтэй тэнцүү болж, тэнцвэрийн байрлалд энэ нь эсрэгээрээ: биеийн өндөр нь тэг бөгөөд хурд нь υ max хамгийн их утгад хүрдэг.

Учир нь биеийн өндөр нь түүний боломжит энергийг тодорхойлдог Wp\(\зүүн(W_(p) =m\cdot g\cdot h\баруун),\) ба хурд нь кинетик энерги юм Wk\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) дараа нь өндөр болон хурд өөрчлөгдөхийн зэрэгцээ энерги нь мөн өөрчлөгдөнө.

Хүснэгт дэх тэмдэглэгээ:

\(W_(p\; \max ) = m\cdot g\cdot h_(\max ), \; \; \; W_(p2) =m\cdot g\cdot h_(2), \; \; \ W_(p4) =m\cdot g\cdot h_(4), \ \ W_(p6) =m\cdot g\cdot h_(6),\)

Mex-majat-2-01.swfЦагаан будаа. 3 Flash-ийг нэмэгдүүлэх

Хаврын дүүжин

Хэвтээ пүршний савлуурын хэлбэлзлийн үеийн энергийн хувиргалтыг авч үзье. Тэнцвэрийн байрлалд потенциал энерги нь тэгтэй тэнцүү байхаар жишиг хүрээг сонгоцгооё.

Пүршний дүүжин хэлбэлзэх үед пүршний үнэмлэхүй суналт Δ өөрчлөгдөнө лтэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад (жишээ нь жингийн шилжилтийн өөрчлөлт). x = Δ л) ба жингийн хурд υ өөрчлөгдөнө (Зураг 3). Түүнчлэн, хамгийн их шилжилтийн үед үнэмлэхүй суналт нь хамгийн их Δ утгад хүрдэг л max, хурд нь тэгтэй тэнцүү болж, тэнцвэрийн байрлалд энэ нь эсрэгээр байна: үнэмлэхүй суналт нь тэг бөгөөд хурд нь υ max хамгийн их утгад хүрдэг.

Пүршний үнэмлэхүй суналт нь түүний боломжит энергийг тодорхойлдог тул Wp\(\left(W_(p) =\frac(k\cdot \Delta l^(2))(2) \right),\) ба хурд нь кинетик энерги юм Wk\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) тэгвэл үнэмлэхүй суналт ба хурд өөрчлөгдөхийн зэрэгцээ энерги мөн өөрчлөгдөнө. .

Хүснэгт дэх тэмдэглэгээ:

\(W_(p\; \max ) =\frac(k\cdot x_(\max )^(2) )(2), \;\;\; W_(p2) =\frac(k\cdot x_( 2)^(2) )(2), \;\;\ W_(p4) =\frac(k\cdot x_(4)^(2) )(2), \;\;\; frac(k\cdot x_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(k\; \max ) =\frac(m\cdot \upsilon _(\max )^(2) )(2), \; \; \; W_(k2) =\frac(m\cdot \upsilon _(2)^(2) )(2), \; W_(k4) =\frac(m\cdot \upsilon _(4)^(2) \; \; W_(k6) =\frac (m\cdot \upsilon _(6)^(2) )(2).\)

Үрэлтийн хүч байхгүй тул дүүжингийн нийт энерги цаг хугацааны явцад хадгалагдана. Дараа нь

\(W=W_(k\, \max ) = W_(p\, \max ) = W_(k2) + W_(p2) = W_(k4) +W_(p4) = ...\)

Mex-majat-2-02.swfЦагаан будаа. 5 Флэшийг нэмэгдүүлэх

Хэрэв төлөө босоо пүршний дүүжинТэнцвэрийн байрлалд түүний боломжит энерги тэгтэй тэнцүү байхаар жишиг хүрээг сонго, тэгвэл хэвтээ дүүжин дээр дурдсан бүх зүйлийг энэ дүүжинд хэрэглэж болно.

Уран зохиол

1. Жилко, В.В. Физик: сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын 11-р ангийн гарын авлага. сургууль орос хэлнээс хэл сургалт / В.В.Жилко, Л.Г. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - хуудас 19-21.