Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:

2. Рефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R рефлексивно на Х Û("х Î Х ) х R х

Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.

Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.

2. Антирефлексивность

Определение. Отношение R намножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой.

R антирефлексивно на Х Û("х Î Х )

Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у » на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.

Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.

Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у » на множестве точек плоскости.

l

Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.

3. Симметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у , следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R симметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ у R х

Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у , то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х .

Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.

4. Асимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х , у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х .

R асимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Þ

Пример. Отношение «х < у » асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х , у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х .

Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

5. Антисимметричность

Определение . Отношение R намножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с х следует, что х = у.

R антисимметричнона Х Û("х , у Î Х ) х R у Ù у R х Þ х = у

Пример. Отношение «х £ у » антисимметрично, т.к. условия х £ у и у £ х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.

Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

6. Транзитивность

Определение . Отношение R намножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х , у , z из множества Х из того, что х находится в отношении с у , а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.

R транзитивнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ù у R z Þ х R z

Пример. Отношение «х кратно у » транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.

7. Связность

Определение . Отношение R намножестве Х называется связным, если для любых элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

R связнона Х Û("х , у , z Î Х ) х R у Ú у R z Ú х = у

Другими словами: отношение R намножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х , у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у .

Пример. Отношение «х < у » связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.

На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.

Пример. Проверить, какими свойствами обладает

отношение «х – делитель у », заданное на множестве

Х = {2; 3; 4; 6; 8}.

1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;

2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;

3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;

4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;

5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;

6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.

§ 3. Отношение эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у » на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х у , то и студент у является однокурсником студента х ;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у , а студент у – однокурсник z , то студент х будет однокурсником студента z .

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х , порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения:

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х 1 = {3; 6}, Х 2 = {1; 4; 7}, Х 3 = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у ».

Урок №1. Тема урока: «Отношение. Основное свойство отношения».

Цели:

Создать условия для осознания и осмысления нового математического понятия «отношение», основное свойство отношения; показать правила записи и прочтения отношений;

Развивать познавательный интерес, умение сравнивать, обобщать; развивать внимание, воображение учащихся;

Воспитывать социальную компетентность

Ход урока.

1. Организационный момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В математики мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

2. Мотивация урока.

При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой и находить отношение величин, выраженное целым или дробным числом.

Например, скорость – это отношение пройденного пути к времени.

Географическая карта – один из важнейших документов человеческой культуры. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д. Чтобы план местности был точным, необходимо все его детали уменьшать в одинаковое число раз с сохранением всех пропорций, т.е. делать изображение в масштабе. Поэтому каждая извилина на карте, каждый штрих, точка – результат огромного многолетнего труда землепроходцев, путешественников и исследователей.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом.

И сегодня на уроке мы поговорим об отношении двух чисел.

3. Актуализация опорных знаний.

Устный счет:

Для того, чтобы объяснить смысл отношения дать условие задачи «В классе 25 учеников. Из них 15 мальчиков и 10 девочек» и вместе с учениками ответить на следующие вопросы:

Какую часть класса составляют девочки?

Какую часть класса составляют мальчики?

Какую часть количество девочек составляет от числа мальчиков?

Во сколько раз мальчиков больше девочек?

Открыли тетради и посчитали, сколько листов исписано, а сколько чистых

Представьте в виде частного отношение пустых листов к чистым.

Какие получились у вас дроби?

Частное двух чисел а и в, отличных от нуля, называют отношением этих чисел или отношением числа а к числу в. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Решить №597, 598.

Решить № 604, 599, 601.

6. Историческая справка.

В древности и почти на всём протяжении средних веков под числом понималось только натуральное число, собрание единиц, полученное в результате счета. Отношение же будучи результатом деления одного числа на другое, не считалось числом.

Но уже в трудах среднеазиатских математиков Омара Хайяма (1048- 1131), Насирэддина ат – Туси (101 – 1274) выск5азана мысль о том, что отношение есть число и что над отношениями можно производить все действия, которые производятся над целыми числами.

Явно новое определение числа было дано впервые в 17 веке гениальным английским ученым Исааком Ньютоном. В своей « Всеобщей арифметике он писал: « Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой – нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу»

7. Итоги урока. Д/з.

Как узнать какую часть число а составляет от числа b? Приведи пример.

Прочти вслух разными способами 35: 27.

Выучить п.19. Решить № 600, 602, 605.

Урок №2. Тема урока: «Отношение. Деление числа пропорциональные части».

Цели:

Создать условия для применения знаний и умений по отношениям в знакомой и новой учебной ситуации; научить алгоритму решения задач на деление числа на пропорциональные части;

развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического

и общего кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать,

сравнивать, обобщать;

Воспитание настойчивости и трудолюбия.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Мы урок наш начинаем,

Всем удачи пожелаем.

Вы друг друга поддержите

Постарайтесь, не ленитесь.

На 12 лишь трудитесь.

А дежурных прошу встать,

Кто отсутствует сказать.

2. Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы продолжим работать с отношениями и научимся решать на деление числа на пропорциональные части.

Математика много дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует помять, внимание, закаляет характер. Надеюсь, что сегодня вы все будете работать с большим желанием узнать, что-то новое и в тоже время закрепить свои прошлые знания. Ведь как гласит народная мудрость: «Была бы охота – заладится всякая работа».

Как называется частное двух чисел?

Как называется число, записанное над чертой обыкновенной дроби?

Произведение, каких дробей равно 1?

Сотая часть чисел?

Если дробь неправильная, то обратная ей дробь будет…..?

Как называется результат деления?

Упростить:

2а+3а, 8х-7х, 12в+в, 7с-5с.

Решить № 603.

4. Изучение нового материала.

Решим задачу. В классе учатся 24 человека. Число мальчиков относится к числу девочек как 3:5. Сколько в классе мальчиков и девочек?

3+5=8 (д)- всего

24:8=3 (уч.) – доля

3∙3=9 (мал.)

5∙3=15 (девочек)

Ответ: 9 мальчиков, 15 девочек.

Правильно ли мы решили задачу? Как проверить?

При решении задач мы пользовались правилом деления числа на пропорциональные части.

Выведем алгоритм решения таких задач.

1.Найти сумму частей.

2. Разделить число на полученную сумму. Найдем величину одной доли.

3. Умножить величину одной доли на части.

Вывод: чтобы разделить некоторое число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.

5. Математические переставлялки.

Восстановить слово из математического словаря:

ТЬЯП – (пять)

ФАЦИР – (цифра)

ТИР – (три)

СЛЮП – (плюс)

Два кольца, но нет конца,

В середине нет гвоздя.

Если я перевернусь,

То совсем не изменюсь.

Какая это цифра? Ответ: 8

5.Закрепление нового материала.

Решить № 693. 695, 697, 699.

6. Итоги урока. Д/з.

Что делали на уроке?

Задачи на какое правило решали?

Как разделить число а в отношении m:n и m:n:k?

Выучить п. 23. Решить № 694, 696, 698.

Говорят, что математика – гимнастика ума, я надеюсь, что сегодняшний урок, стал для вас хорошей тренировкой, которая позволила стать более внимательными, собранными, сообразительными, заставила думать и творить что-то новое.

Урок №3. Тема: «Случайное событие. Вероятность случайного события».

Цели урока:

Изучение понятия случайное событие; формирование элементарных умений вычислять вероятность случайного события;

Ход урока.

1. Организационный момент.

Прежде чем работать сесть,

Посмотрели, всё ли есть.

2. Мотивация урока.

Начинаем урок,

Он пойдёт ребятам впрок,

Постарайтесь всё понять,

Учитесь тайны открывать,

Ответы полные давать,

Чтоб за работу получать

Только лишь отметку 12.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называют отношением двух чисел?

Что показывает отношение двух чисел?

Как узнать какую часть число а составляет от числа b?

Как разделить число а в отношении m:n и m:n:k?

Решить № 700.

4. Изучение нового материала.

Решите ребус:

(Вероятность)

Именно это тема нашего урока.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.

Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Прозвенел звонок, выпал снег, черный кот перебежал дорогу – все это события. Каждое из них при одних условиях могло произойти, при других – нет. Поэтому, эти события называют случайными.

Приведите примеры случайных событий.

Приведите примеры маловероятных событий, очень вероятных, достоверных событий, невозможных.

Какие из приведенных событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) крокодил научился петь;

б) индюки полетят в теплые края;

в) после марта наступит апрель;

г) завтра наступит суббота;

д) в следующем году твой день рождения придется на среду;

е) брошенный тобой камень долетит до стратосферы?

Как вычислить вероятность случайного события?

В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдет, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. Если событие никогда не наступает (его шансы равны нулю), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие называют невозможным. Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным. Вероятности остальных событий - это числа между 0 и 1. Таким образом, вероятность случайного события - это числовая мера его правдоподобия.

Надо число благоприятствующих исходов разделить на число всех возможных исходов.

5. Занимательная пятиминутка.

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.

Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».

К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.

Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.

5.Закрепление нового материала.

Решить №807, 808, 810(1, 2).

6. Итоги урока. Д/з.

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)

б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)

в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)

г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)

В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.

а) Карандаш оказался цветным;

б) карандаш оказался зеленым;

в) карандаш оказался черным.

а) равновероятные;

б) более вероятное, что карандаш оказался черным;

в) равновероятные.

Выучить п. 27, решить № 811, 810 (3, 4), 815.

Урок №4. Тема: «Случайное событие. Вероятность случайного события».

Цели урока:

Закрепить понятия случайное событие; элементарных умений вычислять вероятность случайного события;

развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать

воспитание интереса к изучению предмета, умений работать в группах.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1. Какие события мы называем случайными?

2. Является ли случайным событие "Меня завтра спросят на уроке"?

3. Является ли случайным событие "Летом у меня будут каникулы"?

4. Является ли случайным событие "Мне сегодня встретится черная кошка"?

5. Вообразите, что вы отправились на рыбную ловлю. Какие случайные события могут произойти при этом?

6. Приведите примеры случайных событий из вашей школьной жизни.

Решить № 831, 703.

4. Решение задач на вычисление вероятности случайного события.

Решить № 812, 813, 814, 817.

5.Физкультминутка.

Раз – согнуться, разогнуться,

Два – нагнуться, потянуться.

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире,

Пять, шесть – тихо сесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

6. Самостоятельная работа

Вспомним, какие фигуры есть в шахматах. Сколько всего фигур?

Вариант1- нечетные номера, вариант 2 –четные номера № 818.

6. Итоги урока. Д/з.

Решить № 704, 709, 816.

Урок №5. Тема: «Пропорция. Основное свойство пропорции».

Цели урока:

Обучающие: познакомить учеников с понятиями: пропорция, ее крайние и средние члены; сформулировать основное свойство пропорции; показать, что пропорции могут быть верными и неверными; закрепить эти понятия на конкретных примерах.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Считайте, ребята, скорее считайте.

Хорошее дело смелей умножайте,

Плохие дела поскорей вычитайте.

Скорее работу свою начинайте!

2. Мотивация урока.

Смогли ли вы жить в доме, в котором трубы расположены наклонно и окна разной формы?

Говорят, что в таком доме нет соразмерности, нет гармонии. Гармония (от греч, - связь, стройность) - соразмерность отдельных частей, слияние объектов в единое целое. В математике слово соразмерность определяется таким понятием как пропорция. И сегодня мы будем говорить о пропорции.

Пожалуйста, посмотрите на тему урока и определите задачи, которые мы поставим перед собой на уроке (ученики называют - узнать, что такое пропорция). Сегодня на уроке я помогу вам ответить на вопрос, что такое пропорция, а вы в свою очередь поможете ответить на мой вопрос: Как красоту и гармонию объясняет математика?

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

№ 1. Отношение пройденного пути к затраченному времени называется …

№ 2. Отношение стоимости товара к его количеству называется …

№ 3. Отношение выполняемой работы к затраченному времени называется …

№ 4. Какие отношения вы знаете? Приведите примеры.

Что называют отношением двух чисел?

Что показывает отношение двух чисел?

Можно ли найти отношение таких величин:

а) 2 м и 4 кг, б) 5 ч и 2 ч, в) 3 кг и 3 ц?

Если величины измерены разными единицами измерения (случай в)), то для нахождения их отношения надо перейти к одной единице измерения, а отношение разноименных величин (случай а)) найти нельзя.

А теперь разгадайте ребус

4. Изучение нового материала.

А теперь разгадайте ребус

Итак, тема нашего урока –пропорция.

Встречались ли в жизни с этим словом? В каких выражениях?

Историческая справка. Слово "пропорция" означает " соразмерные, имеющий правильное соотношение частей 2. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали только пропорции, составляемые из натуральных чисел.

В IV веке до н. э. Дрвнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. Древнегреческие математики с помощью пропорций решали задачи, которые в настоящее решают с помощью уравнений, выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой.

С помощью букв пропорция записывается так:

а: в = с: d или а/в = с/d, где а, в, с, к не равны нулю.

Числа а, в, с, d называются членами пропорции, а и d- крайними, в и с – средними..

Читается: “а так относится к в, как с относится к d”, или “отношение а к в равно отношению с к d”.

Выполнить № 614, 615.

Проверим в №614, чему равно произведение крайних и средних ее членов.

Вывод: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Т. е. аd=вс. И наоборот, если аd=вс, то пропорция верна.

5.Закрепление нового материала.

Решить № 616, 627, 611.

6.Физкультминутка.

Поднимает руки класс - это "раз"

Повернулась голова - это "два"

"Руки вниз, вперёд смотри - это "три".

Руки в стороны пошире развернули на "четыре"

С силой их к плечам прижать - это "пять"

Всем ребятам надо сесть - это "шесть".

7. Самостоятельная работа.

1. Равенство двух отношений называется …..

2. В пропорции a: b = c: n числа b и c называют ….. членами пропорции.

3. Запишите пропорцию: “Число 3 так относится к 4, как число 9 относится к 12”.

4. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция……

5. Пропорция 6: 20 = 9: 30 верна, так как … = ….

6. Составьте верную пропорцию из чисел 3, 5, 6 и 18.

6. Итоги урока. Д/з.

С каким новым понятием сегодня познакомились на уроке?

Что такое пропорция?

Какие условия необходимы для составления пропорции?

Прочитайте выражение 5: 3 = 2: 1,2

Как называется данное выражение? Докажите.

Как проверить верна ли пропорция?

Назовите крайние и средние члены пропорции.

Выучить п. 20, решить № 617, 626, 643(1).

Рефлексия.

Что нового узнали? Ребята, сравните по вкусу мандарин и лимон. У кого настроение на этом уроке соответствует вкусу лимона? А вкусу мандарина?

Поднимите руку, кто ответил на уроке хотя бы раз.

Поднимите руку, кто достиг желаемого.

Поаплодируйте себе.

А и С, Д и В гуляли по тропе,

Вдруг пришел деленья знак

И рассорил всех подряд.

А осталась зла на С,

Д рассорилася с В.

Знак равно тут прибежал,

И друзей он приравнял.

Получился стих смешной,

О пропорции простой.

Урок №6. Тема: «Пропорция. Основное свойство пропорции».

Цели урока:

Обучающие: закрепить понятия: пропорция, ее крайние и средние члены; основное свойство пропорции; закрепить эти понятия на конкретных примерах.

Развивающие: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.

Воспитательные: воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Окружающий нас мир многообразен…

Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Сегодня на уроке я познакомлю вас с одним из таких математических соотношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называется пропорцией?

Как называются члены пропорции?

Назвать крайние члены пропорции: 15:3=25:5 .

Назвать средние члены пропорции: 20: (-5) = -8: 2.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

Проверьте, является ли пропорцией данное равенство: 3:8=12:32, 4: 15=2: 7.

3,5: 0,2 = 4: 17,5;

Решить № 628.

Решить № 620

О золотом сечении.

Греческие ученые не признавали дробных чисел, поэтому у них возникли затруднения с измерениями величин. Они и создали учения об отношениях величин, о равенстве таких отношений.

Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же. И сейчас мы с вами найдем такое деление отрезка, таким способом, каким его нашел знаменитый ученый Пифагор.

В ваших тетрадях начерчена фигура, как она называется?

Пятиугольник.

Правильно! И с помощью этого пятиугольника мы найдем это совершенное отношение.

Постройте две диагонали пятиугольника, как показано на экране

И расставьте буквы, как показано на экране. Измерьте отрезки АС и ВС и найдите отношение этих отрезков – меньшего к большему. Чему равно это отношение?

Приближенно 0,6.

Правильно! А теперь, найдите отношение длин отрезков ВС и АВ. Чему равно это отношение?

Приближенно 0,6.

Что же получается? Отношение АС к ВС и отношение ВС к АВ приближенно равны 0,6! Кто может составить верную пропорцию из этих отношений?

АС/ВС = ВС/АВ

Такую пропорцию, где меньшее так относится к большему, как большее к целому, назвали золотой пропорцией. А деление отрезка в таком отношении – золотым сечением

5. Физкультминутка

Нарисуйте левой рукой в воздухе квадрат столько раз, сколько единиц в сегодняшнем числе.

Нарисуйте правой рукой в воздухе прямоугольник столько раз, какой сегодня по счету день недели.

Нарисуйте глазами треугольник столько раз, сколько раз вы услышите стук по столу.

6. Решение задач на основное свойство пропорции.

Решить № 622(1, 2).

7. Самостоятельная работа.

Решить № 622(3).

6. Итоги урока. Д/з.

Решить № 621, 623(1,2)
Подготовить сообщение «Золотое сечение в окружающем нам мире»

Урок №7. Тема: «Пропорция. Основное свойство пропорции».

Цели урока:

Обучающие: закрепить понятия: пропорция, ее крайние и средние члены; основное свойство пропорции; закрепить эти понятия на решении уравнений и задач.

Развивающие: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.

Воспитательные: воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

В древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд “формул красоты” известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм, объясняется “божественным отношением” или “золотым сечением”. Соблюдение определенных отношений в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных отношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания “Золотое сечение” являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху возрождения. И об этом мы поговорим сегодня на уроке.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называется отношением двух чисел?

Что показывает отношение двух чисел?

Что такое пропорция?

Сформулируйте основное свойство пропорции?

Устные задания :

Найти отношение:

Верна ли пропорция:

За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?

4. Решение уравнений на основное свойство пропорции.

Решить № 622(5), 624, 631(1, 3).

5. Историческая пауза.

На знаменитой картине Леонардо Да Винчи «Мадонна в скалах» с очевидностью просматриваются линии “золотого сечения”. Голова Мадонны делит длину картины по золотому сечению. При желании можно с успехом продолжить деление картины по “золотому сечению” и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении “золотого сечения”, придают ей характер уравновешенности и спокойствия. Скульптурные творения греческих мастеров Фидия, Политекта, Мирона, Праксителя по праву считаются эталонами красоты человеческого тела. Оценивая фигуру того или иного человека, мы невольно сравниваем ее с этими признанными эталонами (рис. № 5) По мнению многих искусствоведов, художников, скульпторов эпохи Возрождения, основные пропорции человеческого тела подчинены законам “золотого сечения”.Немецкий профессор–искусствовед А. Цейзинг (XIX век) утверждал, что фигура идеально сложенного человека должна подчиняться следующим закономерностям. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.

Как вы думаете, тело мужчины или женщины ближе всего к идеалу?

Мужчины! Чтобы приблизиться к идеалу, женщины надевают туфли на каблуках. Оказывается, что у женщин ноги короче, чем у мужчин.

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к пропорциям золотого сечения, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. Давайте теперь вместе ответим на вопрос: “Зачем учить математике, где она пригодится в жизни?”

6. Самостоятельная работа.

I вариант

1. Решить уравнение: 6,4:0,16=4:х

1) 10; 2) 2,5; 3) 0,1; 4) 1.

2. Решить задачу:

Для 10 порций салата требуется 200г лука. На сколько порций хватит 60г лука?

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 9.

II вариант

1. Решить уравнение: 0,75:1,5=5:х

1) 10; 2) 2,5; 3) 0,1; 4) 1

2. Решить задачу:

6 рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Сколько ещё надо нанять рабочих, чтобы выполнить эту работу за 8 дней?

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 9.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

Я узнал…

Я почувствовал…

Я увидел…

Я сначала испугался, а потом…

Я заметил, что …

Я сейчас слушаю и думаю…

Мне интересно следить за…

Решить № 625, 632(1, 3).

Урок №8. Тема: «Обобщение и систематизация знаний по теме «Пропорция».

Цели урока:

Обобщения и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме «Пропорция»;

Развивать логическое мышление, внимание, память, пространственное представление;

Формирование поликультурной и социальной компетентностей.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, друзья! Садитесь.

Мы урок наш начинаем,

Всем удачи пожелаем.

А дежурных прошу встать,

Кто отсутствует сказать.

2. Мотивация урока.

Кто-то сегодня будет доволен, что сумел решить сам или с помощью одноклассников смешную или трудную задачу; кто-то тем, что он узнал что-то новое; а кто-то тем, что ему повезло, и не пришлось думать над задачей.

Перед вами листок настроения.

Вы моё настроение видите, оно зависит от вас, от ваших знаний. А какое ваше настроение? Покажите его, закрасив синим карандашом то личико, которое соответствует вашему настроению к началу урока.

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий”.

Сегодня мы отправимся в страну Гармонии и пропорции.

Путешествие ждет нас,

отправляется наш класс.

Вы друг друга поддержите

Постарайтесь, не ленитесь.

На 12 лишь трудитесь.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Итак, в путь, но чтобы поехать, нам нужны билеты. Билеты математические, закодированные. Если вы правильно разгадаете код, то получите билет, а если не сможете, то позже обратитесь к одноклассникам за помощью. Проводим диктант. Если вы согласны с утверждением, то ставите цифру 1, а если не согласны, то 0.

1. Цифровой диктант.

А) Пропорция – это равенство двух отношений. (1)

Б) Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению её средних членов. (1)

В) В пропорции 2: 5 = 10: 25 числа 2 и 25 называются средними членами пропорции.(0)

Г) Количество товара и его стоимость при постоянной цене являются пропорциональными величинами. (1)

Д) Отношение чисел показывает, на сколько одно число больше другого. (0)

Е) Вероятность достоверного события равна 1. (1)

Ж) вероятность равновероятных событий равна 0. (0)

1101010 – это код. Вы получили билет, отправляемся в путь.

Сядьте удобно и чтобы не скучать в пути, устно посчитаем. Ведь устный счет – это зарядка для ума

Верна ли пропорция?

3: 6 = 2: 4 (да)

3: 6 = 4: 2 (нет)

6: 2 = 4: 6 (нет)

4: 6 =2: 3 (да)

Со скоростью 5 км/ч пешеход проходит 15 км. За это же время со скоростью 6 км/ч пешеход проходит…

А. 10 км б. 30 км В. 18 км Г. 20 км

Вася за неделю получил 18 двоек, даже мама удивилась, просматривая дневник. Двойки Вася получил по математике, истории и литературе в отношении 3: 2: 4 соответственно. Сколько двоек по математике получил Вася за неделю?

4. Решение упражнений на основное свойство пропорции.

1) Наше путешествие продолжается и мы прибыли в парк уравнений.

Решить № 631(4, 5).

1 ученик решает у закрытой доски. Затем – самопроверка.

2) А теперь нас ждет поляна задач.

Масса 15 одинаковых деталей равна 37,5 т. Какова масса 12 таких деталей?

Когда изготовили 756 деталей, то выполнили план на 72 %. Сколько деталей должны изготовить по плану?

Для перевозки груза потребовалось 14 машин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же груза?

Расстояние между двумя городами равно 185 км. Какое расстояние между этими городами на карте, если масштаб карты 1:5 000 000?

Расстояние между двумя пунктами на карте равно 8,5 см, а на местности 170 км. Найдите масштаб карты.

5. Лирическая остановка.

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник":

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник,

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

"Мне кажется, лицо немного криво...

А эта грудь не слишком ли нага?

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

6. Самостоятельная работа.

1) 0,18; 2) 0,5; 3) 0,6; 4) 1,8.

1) 2; 2) 0,5; 3) 1; 4) 0,2.

7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.

Я (узнал, получил, приобрел; смог придумать, представить, изобразить, показать, вообразить) … и захотелось …

Мне удалось (понять, постигнуть, осмыслить, разобраться, уяснить, осознать, систематизировать разрозненные сведения) …, теперь я …

Самым интересным (познавательным, удивительным, невероятным, необыкновенным, странным, чудным, невообразимым, немыслимым, исключительным, выдающимся, незаурядным, феноменальным, редчайшим) сегодня было (стало) …

Труднее всего мне сегодня показалось, когда …, и все-таки (все же, тем не менее, однако, при всем том, поэтому, оттого, отчего, благодаря этому, посему, потому что, оттого что, благодаря тому что, потому как) …

Решить № 632(4, 6), 623(3).

Вот и завершилось наше путешествие в страну Гармонии и пропорций. И это лишь начало, ведь впереди нас ждут новые открытия, увлекательные путешествия.
Путь к вершинам математики начинается в школе. Самая длинная дорога начинается с первого шага! Так делайте же эти шаги и в путь, в далёкий путь математического творчества!

Урок № 9. Тема: Контрольная работа по теме «Пропорция» .

Цели:

1. Проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Пропорция».

2. Развивать внимание, логическое мышление, письменную математическую речь;

3. Воспитывать самостоятельность, трудолюбие.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Контрольная работа (см. в разделе «В помощь учителю»)

4. Итоги урока .

Повторить п.19, 20, 23, 27.

Урок № 10. Тема: Анализ контрольной работы.

Цели: 1.Формирование познавательных компетентностей;

2. Развивать внимание, умение мыслить нестандартно, память, формирование коммуникативной компетентности;

3.Формировать поликультурную и социальную компетентность.

Оборудование: доска, сборники, тетради для к/р и сигнальные карточки.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Подведение итогов к/р.

Разбор у доски типичных ошибок.

4. Индивидуальная работа над ошибками

5. Итоги урока

Повторить п. 19, 20, 23, 27. Решить № 631 (5, 4), 623 (4),

Остановимся теперь на некоторых важных свойствах отношений, которые следуют из приведенных ранее определений:

Отсутствие кортежей-дубликатов

То свойство, что отношения не содержат кортежей-дубликатов, следует из определения отношения как множества кортежей. В классической теории множеств по определению каждое множество состоит из различных элементов.

Поскольку отношение – это множество, а множества по определению не содержат совпадающих элементов, то никакие два кортежа отношения не могут быть дубликатами друг друга в любой произвольно-заданный момент времени.

Потенциальные ключи

Пусть R – отношение с атрибутами A1, A2, ..., An. Говорят, что множество атрибутов K=(Ai, Aj, ..., Ak) отношения R является возможным (потенциальным) ключом R тогда и только тогда, когда удовлетворяются два независимых от времени условия:

1. Уникальность: в произвольный заданный момент времени никакие два различных кортежа R не имеют одного и того же значения для Ai, Aj, ..., Ak.

2. Минимальность: ни один из атрибутов Ai, Aj, ..., Ak не может быть исключен из K без нарушения уникальности. Т.е. в набор атрибутов первичного ключа не должны входить такие атрибуты, которые можно отбросить без ущерба для основного свойства - однозначно определять кортеж.

Каждое отношение обладает хотя бы одним возможным ключом, поскольку, по меньшей мере, комбинация всех его атрибутов удовлетворяет условию уникальности. Один из возможных ключей (выбранный произвольным образом) принимается за его первичный ключ. Остальные возможные ключи, если они есть, называются альтернативными ключами.

Понятие первичного ключа является исключительно важным в связи с понятием целостности баз данных.

Забегая вперед, заметим, что во многих практических реализациях РСУБД допускается нарушение свойства уникальности кортежей для промежуточных отношений, порождаемых неявно при выполнении запросов. Такие отношения являются не множествами, а мультимножествами, что в ряде случаев позволяет добиться определенных преимуществ, но иногда приводит к серьезным проблемам.

Отсутствие упорядоченности кортежей

Свойство отсутствия упорядоченности кортежей отношения также является следствием определения отношения-экземпляра как множества кортежей. Отсутствие требования к поддержанию порядка на множестве кортежей отношения дает дополнительную гибкость СУБД при хранении баз данных во внешней памяти и при выполнении запросов к базе данных. Это не противоречит тому, что при формулировании запроса к БД, например, на языке SQL можно потребовать сортировки результирующей таблицы в соответствии со значениями некоторых столбцов. Такой результат, вообще говоря, не отношение, а некоторый упорядоченный список кортежей.

Отсутствие упорядоченности атрибутов

Атрибуты отношений не упорядочены, поскольку по определению схема отношения есть множество пар {имя атрибута, имя домена}. Для ссылки на значение атрибута в кортеже отношения всегда используется имя атрибута. Это свойство теоретически позволяет, например, модифицировать схемы существующих отношений не только путем добавления новых атрибутов, но и путем удаления существующих атрибутов. Однако в большинстве существующих систем такая возможность не допускается, и хотя упорядоченность набора атрибутов отношения явно не требуется, часто в качестве неявного порядка атрибутов используется их порядок в линейной форме определения схемы отношения.

Атомарность значений атрибутов

Значения всех атрибутов являются атомарными. Это следует из определения домена как потенциального множества значений простого типа данных, т.е. среди значений домена не могут содержаться множества значений (отношения). Принято говорить, что в реляционных базах данных допускаются только нормализованные отношения или отношения, представленные в первой нормальной форме. Потенциальным примером ненормализованного отношения является следующее:

Можно сказать, что здесь мы имеем бинарное отношение, значениями атрибута ОТДЕЛЫ которого являются отношения. Заметим, что исходное отношение СОТРУДНИКИ является нормализованным вариантом отношения ОТДЕЛЫ:

Наиболее распространенная трактовка реляционной модели данных, по-видимому, принадлежит Дейту, который воспроизводит ее (с различными уточнениями) практически во всех своих книгах. Согласно Дейту реляционная модель состоит из трех частей, описывающих разные аспекты реляционного подхода: структурной части, манипуляционной части и целостной части.

В структурной части модели фиксируется, что единственной структурой данных, используемой в реляционных БД, является нормализованное отношение степени n. По сути дела, в предыдущих двух разделах этой лекции мы рассматривали именно понятия и свойства структурной составляющей реляционной модели.

В манипуляционной части модели утверждаются два фундаментальных механизма манипулирования реляционными БД - реляционная алгебра и реляционное исчисление. Первый механизм базируется в основном на классической теории множеств (с некоторыми уточнениями), а второй - на классическом логическом аппарате исчисления предикатов первого порядка.

Мы рассмотрим эти механизмы более подробно на следующей лекции, а пока лишь заметим, что основной функцией манипуляционной части реляционной модели является обеспечение меры реляционности любого конкретного языка реляционных БД: язык называется реляционным, если он обладает не меньшей выразительностью и мощностью, чем реляционная алгебра или реляционное исчисление.

Целостность сущности и ссылок

Наконец, в целостной части реляционной модели данных фиксируются два базовых требования целостности, которые должны поддерживаться в любой реляционной СУБД. Первое требование называется требованием целостности сущностей . Объекту или сущности реального мира в реляционных БД соответствуют кортежи отношений. Конкретно требование состоит в том, что любой кортеж любого отношения отличим от любого другого кортежа этого отношения, т.е. другими словами, любое отношение должно обладать первичным ключом. Как мы видели в предыдущем разделе, это требование автоматически удовлетворяется, если в системе не нарушаются базовые свойства отношений.

Второе требование называется требованием целостности по ссылкам и является несколько более сложным. Очевидно, что при соблюдении нормализованности отношений сложные сущности реального мира представляются в реляционной БД в виде нескольких кортежей нескольких отношений. Например, представим, что нам требуется представить в реляционной базе данных сущность ОТДЕЛ с атрибутами ОТД_НОМЕР (номер отдела), ОТД_КОЛ (количество сотрудников) и ОТД_СОТР (набор сотрудников отдела). Для каждого сотрудника нужно хранить СОТР_НОМЕР (номер сотрудника), СОТР_ИМЯ (имя сотрудника) и СОТР_ЗАРП (заработная плата сотрудника). Как мы вскоре увидим, при правильном проектировании соответствующей БД в ней появятся два отношения: ОТДЕЛЫ (ОТД_НОМЕР, ОТД_КОЛ) (первичный ключ - ОТД_НОМЕР) и СОТРУДНИКИ (СОТР_НОМЕР, СОТР_ИМЯ, СОТР_ЗАРП, СОТР_ОТД_НОМ) (первичный ключ - СОТР_НОМЕР).

Как видно, атрибут СОТР_ОТД_НОМ появляется в отношении СОТРУДНИКИ не потому, что номер отдела является собственным свойством сотрудника, а лишь для того, чтобы иметь возможность восстановить при необходимости полную сущность ОТДЕЛ. Значение атрибута СОТР_ОТД_НОМ в любом кортеже отношения СОТРУДНИКИ должно соответствовать значению атрибута ОТД_НОМ в некотором кортеже отношения ОТДЕЛЫ. Атрибут такого рода называется внешним ключом , поскольку его значения однозначно характеризуют сущности, представленные кортежами некоторого другого отношения (т.е. задают значения их первичного ключа). Говорят, что отношение, в котором определен внешний ключ, ссылается на соответствующее отношение, в котором такой же атрибут является первичным ключом.

Требование целостности по ссылкам, или требование внешнего ключа состоит в том, что для каждого значения внешнего ключа, появляющегося в ссылающемся отношении, в отношении, на которое ведет ссылка, должен найтись кортеж с таким же значением первичного ключа, либо значение внешнего ключа должно быть неопределенным (т.е. ни на что не указывать). Для нашего примера это означает, что если для сотрудника указан номер отдела, то этот отдел должен существовать.

Основные свойства реляционной БД.

1. Каждая таблица состоит из однотипных строк и имеет уникальное имя.

2. Строки имеют фиксированное число полей (столбцов) и значений (множественные поля и повторяющиеся группы недопустимы). Иначе говоря, в каждой позиции таблицы на пересечении строки и столбца всегда имеется в точности одно значение или ничего.

3. Строки таблицы обязательно отличаются друг от друга хотя бы единственным значением, что позволяет однозначно идентифицировать любую строку такой таблицы.

4. Столбцам таблицы однозначно присваиваются имена, и в каждом из них размещаются однородные значения данных (даты, фамилии, целые числа или денежные суммы).

5. Полное информационное содержание базы данных представляется в виде явных значений данных и такой метод представления является единственным. В частности, не существует каких-либо специальных "связей" или указателей, соединяющих одну таблицу с другой.

6. При выполнении операций с таблицей ее строки и столбцы можно обрабатывать в любом порядке безотносительно к их информационному содержанию. Этому способствует наличие имен таблиц и их столбцов, а также возможность выделения любой их строки или любого набора строк с указанными признаками.

Cтремление к минимизации числа таблиц для хранения данных может привести к возникновению различных проблем при их обновлении и будут даны рекомендации по разбиению некоторых больших таблиц на несколько маленьких.

Но как сформировать требуемый ответ, если нужные для него данные хранятся в разных таблицах?

Предложив реляционную модель данных, Э.Ф.Кодд создал и инструмент для удобной работы с отношениями – реляционную алгебру. Каждая операция этой алгебры использует одну или несколько таблиц (отношений) в качестве ее операндов и продуцирует в результате новую таблицу, т.е. позволяет "разрезать" или "склеивать" таблицы (рис. 3.3).

Произведение отношений

	A X A Y B X B Y C X C Y

· У операции реляционного деления два операнда - бинарное и унарное отношения. Результирующее отношение состоит из одноатрибутных кортежей, включающих значения первого атрибута кортежей первого операнда таких, что множество значений второго атрибута (при фиксированном значении первого атрибута) совпадает со множеством значений второго операнда.

Рис. Некоторые операции реляционной алгебры

Созданы языки манипулирования данными, позволяющие реализовать все операции реляционной алгебры и практически любые их сочетания.

С помощью единственного запроса на любом из этих языков можно соединить несколько таблиц во временную таблицу и вырезать из нее требуемые строки и столбцы (селекция и проекция).

Ограничения целостности сущности и по ссылкам должны поддерживаться СУБД. Для соблюдения целостности сущности достаточно гарантировать отсутствие в любом отношении кортежей с одним и тем же значением первичного ключа. С целостностью по ссылкам дела обстоят несколько более сложно.

Понятно, что при обновлении ссылающегося отношения (вставке новых кортежей или модификации значения внешнего ключа в существующих кортежах) достаточно следить за тем, чтобы не появлялись некорректные значения внешнего ключа. Но как быть при удалении кортежа из отношения, на которое ведет ссылка?

Здесь существуют три подхода, каждый из которых поддерживает целостность по ссылкам. Первый подход заключается в том, что запрещается производить удаление кортежа, на который существуют ссылки (т.е. сначала нужно либо удалить ссылающиеся кортежи, либо соответствующим образом изменить значения их внешнего ключа). При втором подходе при удалении кортежа, на который имеются ссылки, во всех ссылающихся кортежах значение внешнего ключа автоматически становится неопределенным. Наконец, третий подход (каскадное удаление) состоит в том, что при удалении кортежа из отношения, на которое ведет ссылка, из ссылающегося отношения автоматически удаляются все ссылающиеся кортежи.

В развитых реляционных СУБД обычно можно выбрать способ поддержания целостности по ссылкам для каждой отдельной ситуации определения внешнего ключа. Конечно, для принятия такого решения необходимо анализировать требования конкретной прикладной области.

Контрольные вопросы.

1. Перечислите свойства отношений.

2. Дайте определение потенциального (возможного) ключа отношения.

3. Перечислите свойства потенциального ключа, дайте определение первичного ключа.

4. Перечислите три части реляционной модели.

Тема урока: «Отношение. Основное свойство отношения».

Тип урока: урок открытия и применения новых знаний при решении задач.

Оборудование: компьютер (презентация PowerPoint), интерактивная доска Activ Inspire, интернет- ресурс.

Ход урока.

Цели:

1. Создать условия для применения знаний и умений по отношениям в знакомой и новой учебной ситуации;
2. Создать условия для осознания и осмысления нового математического понятия «отношение», основное свойство отношения; показать правила записи и прочтения отношений;
3. Развивать познавательный интерес, умение сравнивать, обобщать; развивать внимание, воображение учащихся; развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля, математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать, обобщать;
4. Воспитывать социальную компетентность

1 . Организационный момент . Звучит музыка (Моцарт «Турецкий марш»).

Внимание! Внимание!

На нашем уроке Дед Мороз проводит акцию: « Меняю ёлочек на одну пятёрочку!»

2. Мотивация учебной деятельности.

Цель: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне.

Мотивационная беседа (слайд 1)

Здравствуйте – говорим мы каждое утро и улыбаемся солнцу, маме и новому дню. Мы улыбаемся и у нас хорошее настроение, мы улыбаемся, и радость наполняет наши сердца.

Взгляните на слайд. Вам нравится это фото? А музыку вы узнали?

Да, совершенно верно, это «Турецкий марш» Моцарта. А каков музыкальный размер этого произведения? Что это значит?

(слайд 2) При изучении музыкальных закономерностей Пифагор установил, что две струны дают приятное для слуха совместное звучание (консонанс), когда их длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4.

(слайд 3) Утро. Мы собираемся и идём в школу. А у нас зима, заснеженные дороги и дома. Снег всё идёт и идет. Тысячи, сотни тысяч и миллиарды снежинок мягко ложатся нам под ноги. Поймайте одну из них и рассмотрите. Как они красивы!

Снежинки представляют собой водные кристаллы и вполне доступны нашему взору. Они все изысканной красоты и формы и все линии в них определены строгими законами геометрии. Если измерить длину их лучиков, углы между лучиками, радиусы окружностей, то соотношение размеров всегда будет одним и тем же.

(слайд 4) Нам нравится музыка, живопись, архитектура, прекрасные создания природы…

А почему? Что общего у музыкальных, поэтических и художественных произведений? Почему мы считаем создания природы совершенными?

Посмотрите на слайд: « Царское Село. Екатерининский дворец»

Волшебные места, где я живу душой,
Леса, где я любил, где чувство развивалось,
Где с первой юностью младенчество сливалось
И где, взлелеянный природой и мечтой,
Я знал поэзию, веселость и покой...

А. С. Пушкин

Такие строки посвятил А. С. Пушкин этим дням.

Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Математические законы в поэзии в первую очередь проявляются как наличие определенного момента стихотворения (кульминации) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения и равно оно 5/8. Так если в стихотворении 13 строк, то кульминация приходится на 5 строку.

По такому принципу построены все величайшие произведения музыки, поэзии, искусства, архитектуры и все природные творения. (слайд 4 падает Парфенон )

Оказывается, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике «филлотаксисом».
Моцарт по такому принципу построил 91% своих произведений, а Пушкин 98%.

3 . Актуализация опорных знаний.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для “открытия нового знания”.

(презентация паззл)

Входной тест. (Приложение № 1)

Устный счет: на слайде собирается паззл из правильных ответов. Работу выполняем в парах проговаривая правила, которые необходимы для решения этих заданий.

Оцениваем работу друг друга. Как обычно 2 мин.

Встали те, кто поставил 5 соседу. Сели те, кто получил 5. А теперь встали те, 5 не получил.

Умение классифицировать, обобщать, делать выводы.

Какие примеры мы решали? Для чего? – С чего мы начали урок? (С повторения.)
– Что мы повторили? (То, что нам понадобится для изучения нового.)

Подберите синоним к словам деление, частное двух чисел. Отношение.

4.Проверка домашнего задания (слайд 5) тетрадь на печатной основе № 121

Цель: организовать анализ учащимися возникшей ситуации и на этой основе выявить места и причины затруднения, осознать то, в чем именно состоит недостаточность их знаний, умений или способностей.

1. Открытие новых знаний.

Цель: построение учащимися нового способа действий и формирование умений его применять как при решении задачи.

При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой и находить отношение величин, выраженное целым или дробным числом. Например, скорость – это отношение пройденного пути к времени.

Географическая карта – один из важнейших документов человеческой культуры. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д. Чтобы план местности был точным, необходимо все его детали уменьшать в одинаковое число раз с сохранением всех пропорций, т.е. делать изображение в масштабе.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называется масштабом.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, природе.

Отношение (слайд 6) Синонимы к слову «отношение» Чувство , Связь , Участие , Позиция , Расположение, Масштаб, Взаимоотношение, Причастность Отношение Взаимная связь разных предметов, действий, явлений, касательство между кем-чем-н. О. между двумя величинами. В математике: частное, получаемое от деления одного числа на другое, а также запись соответствующего действия.

Толковый словарь Ожегова

Мы поговорили о природе, архитектуре, поэзии, при чем здесь математика? В чем цель нашего урока?

– Какую тему мы изучаем?
– Как вы думаете, какая работа предстоит на уроке?
– Что для этого вы должны будете сделать? (Сами понять, что не знаем, а затем сами открыть новое.) Готовы?

Учащиеся формулируют цель урока.

И сегодня на уроке мы поговорим об отношении двух чисел.

Проблемные вопросы (слайд 7)

• Что называют отношением двух чисел?
  Как можно записать отношение чисел а и в?
• Что показывает отношение двух чисел?
• В чем состоит основное свойство отношения?

7.Изучение нового материала.

Цель: Основной целью этапа реализации построенного проекта является построение учащимися нового способа действий и формирование умений его применять как при решении задачи, вызвавшей затруднение, так и при решении задач такого класса или типа вообще.

Найти отношение первого числа ко второму и найти обратное отношение

(слайд 8) 1.Масса воробья - 30г, масса колибри - 1,5г .(20 и 1/20)

(слайд 9) 2.Рост самого высокого человека на Земле 2м 80см, а самый маленький взрослый человек был ростом 40см .(7 и 1/7)

Что показывают найденные величины? О чём они говорят?

(слайд 10) Частное двух чисел а и в, отличных от нуля, называют отношением этих чисел или отношением числа а к числу в. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Открыли тетради. Число. Классная работа. Решаем № 722.

Что вы заметили при решении этого задания?

Учащиеся формулируют Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

8.Закрепление нового материала.

Цель: первичное закрепление с проговариванием во внешней речи является усвоение учащимися нового способа действия при решении типовых задач.

№ 723 .

Первый кусок – 9 метров

Второй кусок – 14,4 метров

Решение:

9 + 14,4 = 23,4 (м) длина всего куска

= = = отношение длины первого куска к длине всей верёвки

= = = отношение длины второго куска к длине всей верёвки

= = = отношение длины первого куска к длине второго куска

Ответ: (слайд 11)

(слайд 12) Двум учащимся выдаётся задание для исследовательской работы по «Золотому сечению». (Приложение № 2)

Двум учащимся выдаётся задание для исследовательской работы по поиску интересных задач.

(слайд 13) ещё 2 задачи решаем устно №№ 728, 729

(слайд 14) № 725

S = 22,05

а = 10,5 дм

22,05: 10,5 = 2,1 (дм) b

= =

= =

№ 727 решаем в парах, сравниваем с образцом

Свинец – 1 ,52 кг.

Олово – 0,76 кг.

Сплав 1,52+0,76 =2,28 кг.

Свинец и олово взяты в отношении 1,52: 0,76 = 2: 1 (основное свойство отношений)

Свинец составляет части сплава.

Олово составляет часть сплава

(слайд 15) сравниваем решение с образцом, закрепляем во внешней речи

Резерв №№ 732, 735, 736, 737 (слайд 17,18,19 задачи № 730, 731, 733)

9.Анализ исследовательских работ учащихся

Цель: постановка целей учебной деятельности и на этой основе – выбор способа и средств их реализации.
10.Рефлексия. Учащиеся заполняют лист рефлексии. (Приложение №3)

Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности.

Предполагаемые вопросы.

• Что было интересного на уроке?
• Что узнали нового на уроке?
• Какие задачи научились решать?
• Где еще кроме математики применяется пропорциональность?

Вот и завершилось наше путешествие в страну Гармонии и пропорций. И это лишь начало, ведь впереди нас ждут новые открытия, увлекательные путешествия.

Вам понравилось на уроке? Подняли смайлики. (Приложение № 4)

Приложение 1.

(РАБОТА В ПАРАХ)

Входной тест

1. Выполнить деление дробей и

1) , 2) , 3) 6, 4)

2. Найти частное чисел и 4

1) , 2) , 3) , 4) 4

3. Найти значение выражения :

1) , 2) , 3) 1 , 4)

4. Указать пару взаимно обратных чисел.

1) 0,4 и , 2) 3 и , 3) 1 и 0 4) и 1

5. Какое равенство неверно?

1) = 0,8; 2) 44: 100 = 11: 25; 3) = ; 4) 15: 3 = 12: 4

Приложение 2.

Исследовательская работа «Золотое сечение».

Задание: измерить фотографии, книги, иллюстрации в учебнике, найти отношение их размеров (оно должно быть в идеале равным 8: 5) и проанализировать их с точки зрения гармоничности восприятия.

Правило золотого сечения было выведено Леонардо Да Винчи и является одним из самых главных. Наиболее важный элемент изображения, располагается на расстоянии 3/8 (примерно 1/3) по высоте или ширине кадра от его границы. Поделите кадр на девять одинаковых квадратов. Точки пересечения линий и есть “золотое сечение”.

На этой фотографии в построении кадра есть ошибки в расположении ключевых элементов (в данном случае лица). Лицо по центру не размещают, если этого не требует особенная симметрия кадра (в основном рекламное фото).

Также золотое сечение можно высчитать диагоналями. Проведем диагональ фотографии, затем из свободного угла опустим линию к этой диагонали под прямым углом. Таким образом, наша фотография окажется, разделена на три прямоугольных треугольника. Схему можно поворачивать как угодно, но самые важные части сюжета должны располагаться в этих треугольниках.

Самое удачное построение кадра, когда в каждой области этих трёх треугольников есть какой то акцентированный момент. При сьёмках природы, горизонт также не должен находиться посередине. Либо снизу, либо сверху.

информация к размышлению:
http://www.abc-people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm
http://www.onboard.ru/content/?id=724

Приложение № 3

Лист рефлексии

Чтобы узнать, какую часть число a составляет от числа b, нужно _______________________________________________________________.

Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от числа b, нужно __________________________.

Приложение № 4.

Всё понятно Интересно Могу объяснить другому	Сложно Надо ещё поработать	Не понятно Сложно Не интересно

Предварительный просмотр:

Всё понятно Интересно Могу объяснить другому	Сложно Надо ещё поработать Сомневаюсь, что могу объяснить	Не понятно Сложно Не интересно

Предварительный просмотр:

Частное двух чисел называют _________________ этих чисел. _______________показывает во сколько раз _______ число _________ второго, или какую часть ______________ число составляет от __________.

Частное двух чисел называют _________________ этих чисел. _______________показывает во сколько раз _______ число _________ второго, или какую часть ______________ число составляет от __________.

Чтобы узнать, какую часть число a составляет от число b, нужно _______________________________________________________________.

Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от число b, нужно __________________________.

Частное двух чисел называют _________________ этих чисел. _______________показывает во сколько раз _______ число _________ второго, или какую часть ______________ число составляет от __________.

Чтобы узнать, какую часть число a составляет от число b, нужно _______________________________________________________________.

Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от число b, нужно __________________________.

Частное двух чисел называют _________________ этих чисел. _______________показывает во сколько раз _______ число _________ второго, или какую часть ______________ число составляет от __________.

Чтобы узнать, какую часть число a составляет от число b, нужно _______________________________________________________________.

Чтобы узнать, сколько процентов число a составляет от число b, нужно __________________________.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

История

Реляционная модель данных (РМД) относится к теоретико-множест­венным моделям данных. Появление теоретико-множественных моделей в системах баз данных (БД) было предопределено настоятельной потребностью пользователей в переходе от работы с элементами данных, как это делается в теоретико-графовых моделях , к работе с некоторыми макрообъектами.

Простота и наглядность для пользователей-непрограммистов и серьезное теоретическое обоснование эффективности практического применения в прикладных задачах определили большую популярность реляционной модели. Развитие формального аппарата представления и манипулирования данными в рамках реляционной модели привело к тому, что реляционная модель данных стала широко использоваться в системах представления знаний.

Теоретической основной РМД стала теория отношений. Основу теории отношений заложили двое ученых – американец Чарльз Содерс Пирс (1839-1914) и немец Эрнст Шредер (1841-1902). В руководствах по теории отношений было показано, что множество отношений замкнуто относительно некоторых специальных операций, т.е. образует вместе с этими операциями абстрактную алгебру. Американский математик Э.Ф.Кодд заложил принципы РМД. В конце 1968 года он впервые осознал, что математические дисциплины можно использовать, чтобы привнести в область управления базами данных строгие принципы и точность. Именно таких принципов недоставало этой области в то время. Кодд впервые сформулировал понятия и ограничения реляционной модели, определив набор из
семи основных и одной дополнительной операций.

Предложения Кодда для систем баз данных оказались чрезвычайно эффективными и оказали весьма существенное влияние на все аспекты технологии построения баз данных.

Основные понятия и определения

Реляционная модель данных (РМД) – это способ рассмотрения данных, при котором данные воспринимаются пользователем как таблицы и в распоряжении пользователя имеются некоторые операторы, которые генерируют новые таблицы из старых.

Под таблицами здесь понимается структура данных, состоящая из строк и столбцов. В этой структуре каждый столбец содержит данные только одного типа, каждая строка состоит из набора значений составляющих ее столбцов.

Под операторами понимаются операции выборки, группировки, соединения и некоторые другие, результатом которых являются новые таблицы, полученные на основании старых.

Основной структурой данных в РМД является отношение (от англ. relation – отношение). Отсюда возникло название модели, основанной на отношениях: такую модель стали называть реляционной моделью данных.

Введем некоторые определения.

N -арным отношением R называют подмножество декартова произведения множеств .

Исходные множества называют доменами.

где - полное декартово произведение множеств.

Полное декартово произведение множеств – набор всевозможных сочетаний из n элементов, где каждый элемент берется из своего домена.

Например, пусть имеются три домена (три некоторых множества):

Содержит наименования складов торговой фирмы;

Содержит наименования групп товаров;

Содержит наименования товаров, которыми торгует фирма.

Предположим, что содержимое доменов следующее:

= {Склад №1, Склад №2};

= {Стройматериалы, Бытовая химия};

= {Кирпич, Шифер, Мыло, Порошок}.

Тогда полное декартово произведение содержит набор из 16 троек (2x2x4), где первый элемент – один из складов фирмы, второй – название группы товаров, третий – наименование товара:

Таким образом, получаем набор всевозможных сочетаний значений доменов в одном n -арном отношении.

Учитывая, что отношение R только подмножество полного декартова произведения доменов, то в общем случае оно всегда меньше, чем полное декартово произведение множеств. Так отношение R может содержать только 5 строк.

R = {<Склад №1, Стройматериалы, Кирпич>,
<Склад №1, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Стройматериалы, Шифер>,
<Склад №2, Бытовая химия, Мыло>,
<Склад №2, Бытовая химия, Порошок>}.

Отношение имеет простую графическую интерпретацию. Оно может быть представлено в виде таблицы R , столбцы которой соответствуют доменам, входящим в отношение, а строки – наборам из значений, взятых из исходных доменов.

Наборы из n значений называют n -ками.

Представленная таблица (отношение в виде таблицы) обладает рядом свойств:

1. Таблица имеет столбцы, соответствующие доменам.

2. Каждый столбец имеет уникальное имя.

3. В таблице нет двух одинаковых строк.

4. Порядок строк и столбцов в таблице произвольный.

Домен – множество всех допустимых значений какого-либо свойства или признака объекта (рис.1.1). При этом значения признака соответствуют определенному типу данных. Примерами элементарных доменов являются целые числа, дробные числа, строки и т.д. Одному домену может соответствовать несколько атрибутов, а одному атрибуту – несколько доменов. Например, домен «Текстовая строка» определяет множество допустимых значений для таких атрибутов как «Наименование склада», «Наименование товара», «Единица измерения» и пр. В то же время атрибут «Наименование склада» может быть определен доменом «Наименование объектов», как текстовой строки размером 50 знаков.

Атрибутом отношения называют признак или свойство объекта, множество значений которого определяется доменом. Если домен входит в отношение, то отношение имеет атрибут, возможными значениями которого могут быть только значения из данного домена. Если отношение представить в виде таблицы, то атрибутами будут являться столбцы.

Кортеж – это конкретный набор значений доменов (n -ка), составляющих строку отношения.

Степень отношения – это количество атрибутов в отношении.

Первичный ключ отношения – это уникальный идентификатор кортежа в пределах отношения. Первичным ключом отношения может быть определенная совокупность атрибутов отношения, образующих уникальный в пределах отношения идентификатор. Первичный ключ может также создаваться искусственно путем добавления нового атрибута к отношению. При этом, значения добавленного атрибута также должны быть уникальны в пределах отношения. В этом случае степень отношения увеличивается на единицу, а такой атрибут называют суррогатным первичным ключом . Примером суррогатного ключа является атрибут «Номер строки» на рис.1.1.

Следует отметить, что в отношении не может быть одинаковых кортежей, это следует из математической модели: отношение – подмножество декартова произведения множеств, а в декартовом произведении множеств все n -ки различны.

Любое отношение является динамической моделью некоторого реального объекта внешнего мира. Для любой динамической модели необходимо знать ее состояние в какой-либо момент времени, необходимо также знать структуру отношения.

Рис.1.1. Пример отношения «Остатки товаров на складах»

Поэтому вводится понятие экземпляра отношения , которое отражает состояние данного объекта в текущий момент времени, и понятие схемы отношения , которое определяет структуру отношения.

Схемой отношения R называют перечень имен атрибутов данного отношения с указанием домена, к которому они относятся:

Если атрибуты принимают значения из одного и того же домена, то они называются q-сравнимыми, где q - множество допустимых операций сравнения, заданных для данного домена. Например, если домен содержит числовые данные, то для него допустимы все операции сравнения, тогда

q = {=, <>, >=, <=, <, >}.

Схемы отношения называют эквивалентными, если они имеют одинаковую степень (число атрибутов) и возможно такое упорядочивание имен атрибутов в схемах, что на одинаковых местах будут находиться сравнимые атрибуты, т.е. атрибуты принимающие значения из одного
домена.

- схема отношения R1

- схема отношения R2 после упорядочивания имен атрибутов.

Тогда,

Фундаментальные свойства отношений

Остановимся теперь на некоторых важных свойствах отношений , которые следуют из приведенных ранее определений.