Подставив в формулу (2.13) значения s и e из формул (2.11) и (2.12), получим

f уп /S=E|DL|/L 0 .

откуда следует, что сила упругости f уп, возникающая при деформации тела, определяется по формуле

f уп =ES|DL|/L 0 . (2.14)

Определим работу A деф, совершаемую при деформации тела, и потенциальную энергию W упруго деформированного тела. Согласно закону сохранения энергии,

W=A деф. (2.15)

Как видно из формулы (2.14), модуль силы упругости может изменяться. Он возрастает пропорционально деформации тела. Поэтому для подсчета работы деформации необходимо брать среднее значение силы упругости , равное половине от ее максимального значения:

= ES|DL|/2L 0 . (2.16)

Тогда определяемая по формуле A деф =|DL| работа деформации

A деф = ES|DL| 2 /2L 0 .

Подставив это выражение в формулу (2.15), найдем значение потенциальной энергии упруго деформированного тела:

W= ES|DL| 2 /2L 0 . (2.17)

Для упруго деформированной пружины ES/L 0 =k - жесткость пружины; х - удлинение пружины. Поэтому формула (2.17) может быть записана в виде

W=kx 2 /2. (2.18)Формула (2.18) определяет потенциальную энергию упруго деформированной пружины.

Ответ 13

Кинетическая и потенциальная энергии

в тех случаях, когда тело, действуя на другое тело, вызывает его перемещение, а направление силы при этом не перпендикулярно направлению перемещения, совершается механическая работа. Наблюдения показывают, что при определенных условиях работа может быть совершена любым телом. Например, сжатая или растянутая пружина, действующая силой упругости на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его частей (деформацию). При этом тоже совершается механическая работа.Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ - в джоулях). В более общем смысле энергия - это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т. д. Механическая энергия является характеристикой движения и взаимодействия тел. Она зависит от скоростей и взаимного расположения тел.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы.

Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v 1 до v 2 .

Как было отмечено в §17, работу постоянной силы вычисляют по формуле А=Fscos. Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то cos=1 и А=Fs. По второму закону Ньютона F=ma. В § 2 было показано, что для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула

v 2 =v o 2 +2as.

Из этой формулы при v о =v 1 и v=v 2 Следует, что

s=(v 2 2 -v 1 2)/2a.

Подставив значения F и s в формулу работы, получим

А=mv 2 2 /2-mv 1 2 /2 (3.12).

Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины mv 2 2 /2.

Выше отмечалось, что механическая работа есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы (3.12) стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина mv 2 2 /2 представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической . Она обозначается W к. Следовательно,

W к =mv 2 2 /2. (3.13)

С учетом (3.13) формулу (3,12) можно записать в виде

А=W k2 -W k1 =W k , (3.14)

т.е. работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Когда направление силы совпадает с направлением перемещения тела, работа силы положительна (т.е. A>0). Из формулы (3.14) видно, что в этом случае W k2 -W k1 >0, т.е. W k2 >W k1 . Следовательно, когда сила совершает положительную работу, кинетическая энергия тела увеличивается. Когда же направление силы противоположно направлению перемещения, то A<0 и W k2 -W k1 <0, т.е. W k2 когда сила совершает отрицательную работу, кинетическая энергия тела уменьшается.

Потенциальная энергия

Определим работу, совершаемую силой тяжести F т при переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки s k , каждый из которых можно считать прямолинейным.

На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F т составляет с перемещением s k угол  k . Поэтому на данном участке работа силы тяжести

A k =F т ·s k ·cos( k). (3.15)

Спроецируем участок s k на вертикаль BD. Его проекция

h k =s k ·cos( k). (3.16)

Из (3.15) и (3.16) имеем A k =F т ·h k . Очевидно, что работа A BC силы тяжести F т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ h k на всех участках s k этого пути:

ABC=F т (h 1 -h 2)=mgh 1 -mgh 2 (3.17)

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W п . Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

W п =mgh. (3.18)

С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде

A BC =W п1 -W п2 =-(W п2 -W п1)=-W п (3.19)

т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.Из рис. видно, что работа A BD , совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A BC =mgh 1 -mgh 2 . Следовательно, A BD =A BC . Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным . Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения - потенциальным. Из формулы (3.19) следует, чторабота консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W п =kх 2 /2, где k - жесткость пружины, x - ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле

A=W п1 -W п2 = kх 1 2 /2- kх 2 2 /2=-W п (3.20)

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергиейэтого тела и обозначают W.

W=W п +W k (3.21)

Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.

Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где - коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:

Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины

Такое же выражение получается для сжатой пружины.

В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив на , где - упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим выражение

которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.

Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.

Величину деформации оценивают отношением изменения размера тела к его первоначальному размеру

Это отвлеченное число указывающее, на какую часть увеличились или уменьшились размеры тела, называют относительной деформацией.

При всестороннем растяжении или сжатии х означает объем означает увеличение или уменьшение объема вызванное деформацией При продольном растяжении или сжатии х означает длину При сдвиге деформацию оценивают углом сдвига 6 (см. рис. 78, стр. 168).

Если мысленно рассечь упруго деформированное тело на две части, то одна из этих частей будег действовать на другую с некоторыми силами, распределенными по всему сечению. Силы эти называются внутренними упругими силами. Внешние силы, действующие на деформированное тело, уравновешиваются внутренними силами упругости. Величина и направление упругих сил зависят от вида деформации. Тело будет сопротивляться внешним воздействиям до тех пор, пока интенсивность внутренних сил не превзойдет известного предела, после чего тело или потеряет упругие свойства, или разрушится.

Интенсивность упругих сил характеризуют величиной силы, действующей на единицу площади поперечного сечения, взятого в направлении, нормальном или касательном к действующим силам. Эти величины называют нормальным и касательным напряжениями деформированного тела. При равномерном распределении усилий, для того чтобы найти напряжение надо разделить силу на площадь поперечного сечения, по которому эта сила распределена:

Нормальное напряжение, сжимающее тело, иначе называют давлением.

Когда говорят о давлении или напряжении в какой-либо точке, то условно понимают под «точкой» элементарно малый участок поверхности Вследствие предельной малости выделенного таким образом участка поверхности можно считать, что сила действующая на этот участок, распределена по площади участка равномерно Поэтому под давлением и напряжением в точке поверхности подразумевают отношение

Применяют различные единицы для измерения давления. В абсолютной системе единицей силы является 1 дина и единицей площади поэтому единицей давления служит - так называемая бария.

В технике единицей давления часто служит

В качестве единиц давления применяют также физическую и техническую атмосферы. Физическая (нормальная) атмосфера есть то давление, которое своим весом производит столб ртути высотой в Нетрудно подсчитать, что физическая атмосфера Технической атмосферой называют давление в на

Английский физик Роберт Гук в 1675 г. обнаружил, что напряжение деформированного тела пропорционально относительной деформации:

Коэффициент К называют модулем упругости.

Закон Гука справедлив только до известных пределов. При некотором напряжении нарушается прямая пропорциональность между напряжением и деформацией. Это напряжение называют пределом пропорциональности При несколько большем напряжении, называемом пределом упругости тело теряет свои упругие свойства; при устранении внешних сил форма тела восстанавливается не полностью; остается так называемая остаточная деформация.

Рис. 77. График работы, совершаемой при деформации.

Если все физические свойства тела, в частности упругие свойства, в любом участке тела одинаковы по всем направлениям, то тело называют изотропным. Стекловидные твердые тела обычно изотропны. У кристаллов некоторые физические свойства, в частности упругость, не одинаковы для разных направлений. Такие тела называют анизотропными.

Работа внешних сил обращается при упругой деформации тела в потенциальную энергию деформированного тела.

Потенциальная энергия упругих деформаций является физической величиной, которая равна половине произведения квадрата деформации тела и его жесткости. Рассмотрим некоторые теоретические вопросы, связанные с данной величиной.

Особенности

Потенциальная энергия упругих деформаций зависит от расположения частей анализируемого тела. Например, выявлена связь между количеством витков пружин и энергией

Потенциальная энергия упругих деформаций определяется начальным и конечным положением пружины, то есть ее деформацией. Сначала вычисляют работу, совершаемую растянутой пружиной в момент возвращения в исходный вид. После этого рассчитывается потенциальная энергия упругой деформации пружины.

Вычисления

Она равна работе, совершаемой силой упругости при переходе упругого тела в состояние, при котором величина деформации равна нулю.

При растяжении с одинаковой силой различных пружин, им будет сообщаться разная величина потенциальной энергии. Выявлена обратно пропорциональная зависимость между жесткостью пружины и величиной потенциальной энергии. Чем более жесткой будет взятая пружина, тем меньшее значение будет принимать Ер.

Таким образом, потенциальная энергия при упругой деформации тел связана с коэффициентом упругости. Работа силы упругости представляет собой величину, которая совершается силой во время изменения величины деформации пружины от первоначального (исходного) значения Х1 до конченого положения Х2.

Разницу между этими значениями называют деформацией пружины. Потенциальная энергия упругих деформаций определяется именно с учетом данного показателя.

Коэффициент жесткости пружины зависит от качества материала, из которого изготавливают рабочее тело. Кроме того, на него влияют геометрические размеры и форма анализируемого объекта. Данную физическую величину обозначают буквой к, используют единицы измерения Н/м.

Выявлена зависимость силы упругости от расстояния между взаимодействующими участками рассматриваемого упругого тела.

Работа силы упругости не связана с формой траектории. В случае перемещения по замкнутому циклу, ее суммарное значение равно нулю. Именно поэтому силы упругости считают потенциальными, и вычисляют их с учетом коэффициента жесткости пружины, величиной деформации пружины.

Заключение

Независимо от внешнего вида, любая современная конструкция в определенной степени деформируется, то есть изменяет свои первоначальные размеры, при действии внешних нагрузок, приложенных к телу. Для того чтобы проверить устойчивость и жесткость такой конструкции, важно определять те перемещения, которые вызваны деформацией ее отдельных элементов. Важным моментом является и определение перемещений рассматриваемой системы. Подобные вычисления проводят при расчетах прочности зданий и сооружений. Проведение разнообразных расчетов, касающихся определения работы потенциальных сил, является обязательным этапом при создании чертежей будущих конструкций во всех сферах промышленности.

При упругой деформации стержня сила , приложенная к стержню, совершает работу:

(3.50)

Преобразуем это выражение так, чтобы в него вошли параметры деформируемого тела вместо жесткости . Для этого подставим в выражение закона Гука относительную деформацию и механическое напряжение :

Из (3.51) следует, что

, (3.52)

(3.53)

Работа внешней силы идет на увеличение запаса потенциальной энергии деформированного тела: . Если стержень однородный, то его деформация равномерно распределена по объему стержня. Тогда энергию деформации также можно считать равномерно распределенной по объему стержня, с плотностью энергии упругой деформации:

. (3.54)

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим теперь общий случай: пусть имеется система из частиц, взаимодействующих между собой посредством консервативных сил, и одновременно находящихся под действием внешних консервативных и неконсервативных сил.

Получим выражение для работы, совершаемой над частицами системы, при перемещении системы из одного положения в другое и одновременном изменении конфигурации системы. Обозначим работу внешних консервативных сил . Эта работа равна убыли потенциальной энергии во внешнем поле сил:

. (3.55)

Для работы внутренних консервативных сил при изменении конфигурации системы справедливо аналогичное выражение:

Обозначим работу неконсервативных сил . Вспомним, сформулированное нами ранее утверждение: суммарная работа идет на приращение кинетической энергии системы . Тогда можно записать соотношение:

Подставим в левую часть выражения для работы консервативных сил:

Или, после перегруппировки слагаемых по индексам,

Обозначим сумму . Эта сумма, по определению, представляет собой полную механическую энергию системы . Тогда из (3.54) следует, что приращение полной энергии системы

(3.55)

равно работе не консервативных сил.

В частном случае, при их отсутствии , полная энергия не изменяется:

Таким образом, полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной . Это утверждение называют законом сохранения механической энергии .

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим частицу, на которую действуют только консервативные силы. Если в некотором состоянии результирующая сил, действующих на частицу равна нулю, то говорят, что частица находится в состоянии равновесия . В зависимости от последствий незначительного отклонения системы от положения равновесия различают:

§ устойчивое равновесие – если возникают силы, возвращающие систему в положение равновесия (рисунок 2.3 – 1);

• неустойчивое равновесие – если возникают силы, удаляющие систему от равновесия (рисунок 2.3 – 2);
• безразличное равновесие – если в новом положении система также оказывается в положении равновесия (рисунок 2.3 – 3).

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.

ЦЕНТР МАСС И ЕГО ДВИЖЕНИЕ

Вторым аддитивным интегралом движения, сохраняющимся для замкнутой системы является её импульс .

Рассмотрим систему взаимодействующих частиц. На i -тую частицу системы действуют внутренние силы и внешне с результирующей . Уравнение движения i -той частицы имеет вид:

(3.57)

Аналогичные уравнения, очевидно можно записать для каждой из частиц. Сложив левые и правые части уравнений, получим

(3.58)

Двойная сумма в (3.58) представляет собой сумму всех внутренних сил системы. По третьему закону Ньютона , и для каждого слагаемого в этой сумме найдется противоположный ему вектор. Поэтому .

По определению импульсом системы называютвекторную сумму импульсов тел системы , т.е. величину . Таким образом, в левой части (3.58) стоит производная импульса системы. Если система замкнута, то из (3.58) следует, что

(3.58)

Таким образом, импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным . Это утверждение называют законом сохранения импульса .

Требование отсутствия внешних сил не является жестким. Если в пространстве существует такое направление, что проекция суммы результирующих внешних сил на него равна нулю, то, в соответствии с (3.58), проекция импульса системы на это направление будет оставаться постоянной.

Важным свойством обладает точка, называемая центром масс системы . Если система образована материальными точками с массами , а их положение задается радиус-векторами