Ряды Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге zol Для исследования функций, аналитических в кольцевой области, оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z - zq) вида обобщающим тейлоровские разложения. Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов называется рядом Лорана. Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2). Найдем ее. Областью сходимости первого ряда является круг радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса, он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд представляет собой степенной ряд относительно переменного Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного m-*oo причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно, ^го означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга - Если то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) - круговое кольцо в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце, он сходится абсолютно и равномерно. Пример 1. Определить область сходимости рада Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация М Область сходи мости первого ряда - внешность круга а область с ходи мости второго ряда - внутренность круга Тем самым, данный ряд сходится в колы»о Теорема 15. Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом котьце можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда коэффициенты Сп которого определены однозначно и вычисляются по формулам где 7р - окружность радиуса м Зафиксируем внутри кольца Я произвольную точку z. Построим окружности центрами в точке го, радиусы которых удовлетворяют неравенствам и рассмотрим новое кольцо По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8). Для всех точек £ по окружности 7д* выполняется соотношение де суммы равномерно сходящегося ряда 1 1 Поэтому дробь ^ можно представить в ви- /" / Умножая обе части на непрерывную функцию (О и проводя почленное интегрирование вдоль окружности, получим, что Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному. Для всех точек £ на окружности ir> выполнено соотношение Поэтому дробь ^ можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда Умножая обе части на непрерывную функцию) и интегрируя почленно вдоль окружности 7/, получи м, что Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности 7/г и 7г/ любой окружностью. Это позволяет объединить формулы (10) и (12), Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение Так как z - произвольная точка кольца, то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно. Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение Тогда всюду внутри кольца R будем иметь На окружности ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (где т - фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части, а в правой - Сщ. Таким образом, (4, = Ст. Так как m - произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения. Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются поформулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными - его главной частью. Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату. Пример 2. Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции различных областях, приняв Фуисция /(г) имеет две особые точки: . Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке го = 0. в каждой из которых функция /(г) является аналитической: а) круг кольцо внешность круга (рис.27). Найдем лорановские разложения функции /(z) в каждой из этих областей. Представим /(z) в виде суммы элементарных дробей а) Круг Преобразуем соотношение (16) следующим обра- Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим Подставим найденные разложения в формулу (17): Это разложение является рядом Тейлора функции /(z). б) Кольцо для функции -г остается сходящимся в этом кольце, так как Ряд (19) для функции j^j при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию /(z) следующим образом: вновь применяя формулу (19), получим, что Этот ряд сходится для. Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим в) Внешность круга для функции -г при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функ- Представим функцию /(z) в следующем виде: / Используя формулы (18) и (19), получим ИЛИ 1 Эгот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец. Пример 3. Найти разложение 8 ряд Лорана функции Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация а кольцевой области А Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде: и преобразуем второе слагаемое Используя формулу для суммы членов геометричесхой прогрессии, получим Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окреслюсти тонки zq = 0. Для любою комплексного имеем Положим Это разложение справедливо для любой точки z Ф 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z - 0. Эту область можно определить следующим соотношением: Данная функция является аналитической в области Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Kouiw. если функция f(z) ограничена на окружности, где М - постоянная),то Изолированные особые точки Точка zo называется изолированной особой точкой функции / (z), если существует кольцевая окрестность точки (это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки 2о), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции /(г) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек. Изолированная особая точка называется: 1) устранимой, если существует конечный 2) пмюсач, если 3) существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции выколотым центром го. Теорема 16. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в тач случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид Пусть zo - устранимая особая точка. Тогда существует конечный, следо- вательно, функция f(z) ограничена впрокологой окрестности точки го, Положим В силу неравенств Коши Так как р моямо выбрать скольугодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z - 20) равны нулю: Обратно, пусть лорановское разложение функции /(г) в окрестности точки zq содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z -* z0 У фуниции /(г) существует предельное значение: Теорема 17. Изолированная особая точка zq функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция J(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zq, Згмечаи не. Пусть го - устранимая особая точка функции /(г). Полагая мы получим, чтофункция /(г) аналитична в некотором к руге с центром в точке го. Это определяет название точки - устранимая. Теорема 18. Изолированная особая точка zq функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная частьлорановскогоразложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) числоотличных от нуля членов, т. е. имеет вид 4 Пусть z0 - полюс. Так как то существует проколотая окрестность точки z0, в которой функция f(z) аналитична и отлична от нуля. Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция причем Следовательно, точка zq является устранимой особой точкой (нулем) функции или где h(z) - аналитическая функция, h(z0) Ф 0. Тогда аналитична и h(zo) ф 0, то функция щ аналитична в окрестности точки zq, и следовательно, откуда получаем, что Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zо разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией. Для функции g(z) справедливо разложение из которого видно, что zq - устранимая особая точка функции g(z) и существует Тогда функция при 0 стремится - полюс функции Имеет место еще один простой факт. Точка Zq - полюс функции f{z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = ущ можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки zq, положив g(z0) = 0. Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции jfa. Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение. Теорема 19. Изолированная особая тонка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов. Пример 5. Особой точкой функции является zo = 0. Имеем Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация Следовательно, zo = О - устранимая особая точка. Разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть: Пример7. /(г) = Особая точка функции f(z) есть zq = 0. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси при х 0, на мнимой оси Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z -* 0 не существ ует. Значит, точка го = 0 - существенно особая точка функции f(z). Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного С имеем Положим. Тогда Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.

Здесь мы рассмотрим разложения в ряды более широкого класса функций, чем рассматривали прежде, а именно: будем изучать такие (однозначные) функции, которые аналогичны не во всем круге z - zo z - zq г = 0, т.е. разложение функции в проколотой окрестности точки zq. Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности точек, где они теряют аналитичность (особых точек).

Заметим, что степенных рядов нам теперь будет недостаточно, поскольку такими рядами представляются только функции, аналитические во всем круге z - zq (см. теорему 22.1). Но мы добавим к членам c n (z - zo) n с неотрицательными значениями п соответствующие члены с п = -1, -2,... и рассмотрим сумму двух рядов

Разложение функции f(z) в кольце будем искать в виде

причем под сходимостью ряда c n (z - zq)" понимается сходи-

мость обоих рядов в правой части (25.1). Как и в §22, мы докажем теоремы о существовании и единственности такого разложения. Начнем с теоремы существования.

Теорема 25.1 (теорема Лорана). Пусть функция f(z) аполитична а кольце V = {г z - zo:

коэффициенты которого определяются по формулой

(здесь р - произвольное число, заключенное между г и R).

Доказательство. Пусть z - какая-либо точка кольца V. Построим кольцо V = {г" C, - zq R"}, лежащее внутри кольца V и содержащее точку z. Для этого следует выбрать числа г" и R 1 так, чтобы г R" (рис. 47).

Обозначим через Г и Г> окружности 1C - zo = R" и |С - Zo = г"; обход обеих окружностей зададим против часовой стрелки. Через TV обозначим окружность |С - za = г" с обходом по часовой стрелке. Функция f(z) аналитична в замкнутой области V 7 , граница Г 7 которой состоит из кривых Гх и 17 (напомним, что при обходе границы область должна оставаться слева). По интегральной формуле Коши (см. теорему 18.1)

Разложение в ряд первого интеграла в правой части (25.4) проводится так же, как и в доказательстве теоремы 22.2. Функцию представляем в виде

причем ряд (25.5) сходится абсолютно и равномерно по переменному

С на IV Умножая равенства (25.5) на функцию ^-:/(?), ограничениям

ную на Г1 (согласно замечанию 20.5, равномерная сходимость рядов в (25.5) при этом нс нарушается), и почленно интегрируя вдоль IV получаем

Итак, первый интеграл в правой части (25.4) мы разложили в сходящийся ряд по степеням (z - г«). Второй интеграл в (25.4) придется разлагать иначе, поскольку для С € Гг будет z - zo > |С - Zq и, следовательно, ряды в (25.5) расходятся. Имеем

Снова применяя формулу (22.С), получаем

При всех С € Г2 выполняются равенства

Поскольку ряд qi n сходится, то в силу признака равномерной

сходимости Вейерштрасса (теорема 20.2) ряд в правой части (25.8) сходится на Г о абсолютно и равномерно по переменному?. Нам удобно переписать этот ряд в несколько иной форме, введя новый индекс суммирования к равенством к = -п - 1, т.е. п = -к - 1. Когда п принимает значения 0,1,2,..., индекс к пробегает значения -1, -2, -3____

Умножим равенства (25.9) на f(Q (что не нарушит равномерной

сходимости рядов в (25.9) на окружности Гг) и почленно проинтегрируем вдоль Гг:

Индекс к в формулах (25.10), (25.11) можно заменить любой другой буквой; в частности, можно снова обозначить его через н, где п = - 1,- 2,... Подставляя разложения (25.6) и (25.10) в (25.4), придем к равенству (25.2). Функция . является аналитической

(С - zo) n + l

в кольце г г 0 р, такое что г то обе окружности Ti и Гг можно заменить окружностью |С - zq = р. При этом равенства (25.7) и (25.11) запишутся единой формулой (25.3). Теорема 25.3 доказана.

Ряд (25.2) по целым степеням (z - -го) (как положительным, так и отрицательным), коэффициенты которого определяются но форму-

лам (25.3), называется рядом Лорана функции f(z). Ряд ^2 c n (z -

п =0

• - Zo) n называется правильной частью , а ряд c n (z - zq) u (пишут

также c n{ z - z o) n) - главной частью ряда Лорана (обоснован-

ность названий выяснится в дальнейшем).

Перейдем теперь к вопросу о единственности разложения (25.2).

Теорема 25.2 (теорема единственности разложения функции в ряд Лорана). Пусть в некотором, кольце V = {г z - zo (25.2). Тогда f(z ) является

аналитической в V функцией, а коэффициенты с п, п = 0, ±1, ±2.... разложения определяются однозначно по формулам, (25.3).

Доказательство. Так как по условию теоремы ряд (25.2) сходится в V, то сходятся оба ряда в правой части (25.1), состав-

ляющие ряд (25.2). Первый из них - ряд Y1 °n(z ~ z o) n ~ является

обычным степенным рядом, сходящимся в некотором круге с центром Zo и расходящимся вне этого круга. Поскольку этот ряд сходится в V , то все кольцо V лежит в круге сходимости. Так как сумма

степенного ряда аналитична в круге сходимости (свойство 21.6), то

сумма Si (.г) ряда c n (z - zq) h аналитична в V. По свойству 21.5,

этот ряд равномерно сходится в любом круге z - zq R"

но ряд c n{z - zo) n - Сделаем замену переменных, положив Z =

=-, к = - п. Тогда изучаемый ряд примет вид V C-uZ k . Этот

z ~ z o k=l

ряд является степенным рядом относительно переменного Z с центром Zo = 0: он сходится в некотором круге с R"o этот ряд сходится равномерно (свойство 21.5). Возвратимся теперь к переменному z. Тогда круг

/?о перейдет в множество --- z - zo > 1 /Ro, т.е. во внешность круга с центром zq радиуса 1/Ло- Таким образом, ряд

^2 c n (z - Zo) n сходится при |z - Zo > l/Ro к аналитической функ- п =-1

ции 5-2(г) и расходится при z - zo 1 /Rq. Поскольку этот ряд сходится в V, то все кольцо V лежит в области сходимости z - Zo > 1/Яо этого ряда. При этом в области z - zo > 1 //?о с Н® Но сходимость будет равномерной. В частности, рад равномерно сходится при |z - zo > г ", если г" > г.

Итак, оба ряда в правой части (25.1) сходятся в кольце V и их суммы Si (г) и S-j(z) аналитичны в V. Значит, функция f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) аналитична в V .

Покажем, что коэффициенты с п разложения определяются однозначно по формулам (25.3). Возьмем окружность Г = {z - zo = /?}, где г Подберем числа г" и R" так, чтобы г Оба ряда в правой части (25.1) равномерно сходятся в кольце V = = {г; z - Zo R 1 }- Значит, и ряд

сходится в нем равномерно. Это свойство сохранится после умножения обеих частей на произвольную степень (z - zo)~ n ~ l , n = О, ±1, ±2_____ так как каждая из этих степеней является функцией, ограни

ченной в V (см. замечание 20.5):

В силу теоремы 20.4 полученный ряд можно почленно интегрировать вдоль Г:

Воспользуемся теперь равенством (15.7):

согласно которому все интегралы в левой части (25.12) равны нулю, кроме одного, для которого к - п - 1 = - 1 (т.е. к = гг) и который равен 2тгг. Поэтому в сумме из (25.12) остается лишь одно слагаемое при к = п, и мы получаем

что равносильно равенствам (25.3). Теорема 25.2 доказана.

При доказательстве теоремы 25.2 мы установили, что ряд (25.2) сводится к объединению двух степенных рядов, один из которых сходится внутри некоторот круга с центром zq, а другой - вне круга меньшего радиуса с гем же центром (если бы радиус второго круга был больше, то множество сходимости ряда (25.2) было бы пустым). Обозначим радиусы этих кругов R и г соответственно (здесь не утверждается, ч то эти числа совпадают с внешним и внутренним радиусами кольца V в теоремах 25.1, 25.2). Отсюда и из свойств степенных рядов (см. §21) вытекают следующие свойства ряда (25.2).

Свойство 25.3. Множеством сходимости ряда (25.2) является кольцо V = {г z - zq R) с возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи г = 0 и R = оо.

Свойство 25.4. Сумма 5(г) ряда (25.2) является аналитической функцией внутри кольца V .

Свойство 25.5. Ряд (25.2) можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать внутри кольца V любое число jhm. Полученные при этом ряды имеют то же кольцо сходимости V , что

и исходный ряд (25.2); сходимость в граничных точках может не сохраняться.

Свойство 25.6. Если V = {г Zo является кольцом сходимости ряда Лорана функции f(z ) и 0

Доказательство. Ряд Лорана функции /(z) есть объединено оо 1

ние двух степенных рядов °n(z ~ z o) n и c_*Z*, где Z =-.

n=0 k- z - Z 0

Кругами СХОДИМОСТИ ЭТИХ рядов ЯВЛЯЮТСЯ z - 2о| R и z - zo = R и = 1/г (т.е. z - zo = г) лежат особые точки

функций Si(z) = c n{z - Zq) u и S- 2 (z) = Cn(z-z 0) n соответ-

ственно. Следовательно, на этих окружностях лежат особые точки функции f(z) = Si (г) + S- 2 (z), что и требовалось доказать.

Дчя нахождения разложений в ряд Лорана широко используются те же приемы, что и для разложения в ряд Тейлора, а именно метод подстановки, почленное интегрирование и дифференцирование рядов и т.д.

П р и м е р 25.7. Найти все лорановские разложения функции

/( г) = f по степеням (z - 1).

" z(z - 1)

Решение. Сделаем замену переменного: w = z - 1, т.е. z = w +

1. Выполнив подстановку, получим функцию г/(гс) = . w . . Раз-

{w + 1)wj

ложим полученную дробь в сумму пр(хдейших дробей (подробнее о разложении в сумму простейших дробей см. §32). Разложение будем искать в виде

где А и D числа, которые пред сшит найти. С этой целью приведем дроби, стоящие справа, к общему знаменателю:

Отсюда следует, что w + 2 = A(w + 1) + Bw, причем равенство выполнено при всех значениях w , включая w = 0 и w = - 1 (это следует из непрерывности левой и правой частей этого равенства). При w = 0 получаем 2 = .4, т.е. А = 2; подставляя w = -1, имеем 1 = -В, т.е. В = - 1. Таким образом,

Эта функция имеет особые точки w = 0, w = - 1 и, следовательно, аполитична в кольцах V’i = {0 w

При w > 1 полученный ряд перестает сходиться. Поэтому для разложения функции g(w) в кольце У 2 следует преобразовать дробь:

При |ш| > 1 будет -

вместо z подставить в нее l/w. Выполняя указанные подстановки, получим

(мы сделали замену к = - (п + 1) и воспользовались равенством (- 1)* = (-I) - *). Возвращаясь к переменному z - w + 1, получаем искомые разложения функции f(z):

ного члена -- (все остальные коэффициенты главной части рав

ны нулю), а ряд в (25.13) дает правильную часть разложения. При 1 z - 1| z - 1| = 0 с радиусом 0и|г-1| = 1с радиусом 1) содержат особые точки функции f(z).

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1