Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:

Если х=1,то

Если х=-1,то

Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны . Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.

Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.

Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2 .

А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.

Допустим, мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с положительным знаком, как это и имеет место в приведённом выше примере. Тогда минус единица должна быть в степени n − 1 . Начните подставлять в это выражение числа начиная с единицы и вы получите в качестве показателя степени при минус единице то чётное, то нечётное число. Это и есть необходимое условие чередования знаков! Такой же результат получим при n + 1 . Если же мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с отрицательным знаком, то можем задать этот ряд умножением функции общего члена на единицу в степени n . Получим то чётное, то нечётное число и так далее. Как видим, уже описанное условие чередования знаков выполнено.

Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:

Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n , 5n , ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n , умноженного на любое нечётное число и любого числа.

Какие степени при минус единице не обеспечивают чередование знаков членов ряда? Те, которые присутствуют в виде n , умноженного на любое чётное число, к которому прибавлено любое число, включая нуль, чётное или нечётное. Примеры показателей таких степеней: 2n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... В случае таких степеней в зависимости от того, с каким числом складывается "эн", умноженное на чётное число, получаются или только чётные, или только нечётные числа, что, как мы уже выяснили, не даёт чередования знаков членов ряда.

Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов . Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков , то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Далее рассмотрим признаки сходимости знакочередующихся и знакопеременных рядов. Условную сходимость знакочередующихся рядов можно установить при помощи признака Лейбница. А для более широкого круга рядов - знакопеременных (в том числе и знакочередующихся) - действует признак абсолютной сходимости.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:

• абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u 1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ... ;
• предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.

Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :

, .

Если N = 1 , то для всех n > N выполняется неравенство 12n − 7 > n . В свою очередь для каждого n . Поэтому , то есть члены ряда по абсолютному значению убывают. Найдём предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя ):

Предел общего члена равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ответ на вопрос о сходимости - положительный.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы

Мы убедились, что требование выполняется для всех n > 0 . Первый признак Лейбница выполняется. Найдём предел общего члена ряда:

.

Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница.

Требование выполняется для всех n > 1 . Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как

,

Так как n ≥ 0 , то 3n + 2 > 0 . В свою очередь, для каждого n , поэтому . Следовательно, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

.

Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда . Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся .

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.

Пример 7. Установить, сходится ли ряд

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд , в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Напишем абсолютные значения первых пяти членов ряда:

.

Как видим, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются. То есть по признаку Лейбница сходимость имеет место быть. А соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 8. Установить, сходится ли ряд

абсолютно, условно, или расходится.

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд, в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Определение 2.2. Числовой ряд , члены которого после любого номера имеют разные знаки, называется знакопеременным .

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости .

Теорема 2.2. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда

то сходится и сам знакопеременный ряд (2.2).

Надо отметить, что обратное утверждение неверно: если сходится ряд (2.2), то это не означает, что будет сходиться ряд (2.3).

Определение 2.3. абсолютно сходящимся , если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают рядом свойств, которые сформулируем без доказательства.

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависит от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда измениться. Например, ряд условно сходится по признаку Лейбница. Пусть сумма этого ряда равна . Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).

Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости числовых рядов с положительными членами, заменяя всюду общий член его модулем.

Пример 2.1. .

Решение. Исходный ряд знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. ряд . Так как , то члены сходного ряда не больше членов ряда Дирихле , который, как известно, сходится. Следовательно, на основании признака сравнения данный ряд сходится абсолютно. ,

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя признак Даламбера

По признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных членов, сходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно. ,

Пример 2.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1) Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.

Следовательно, исходный ряд сходится.

2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя предельный признак сравнения. Рассмотрим гармонический ряд , который расходится.

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. ряд, составленный из абсолютных членов, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится условно. ,

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует, что и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды и тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов и .

(признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда (9.4.1), будучи взяты по модулю, образуют не возрастающую бесконечно малую последовательность, т.е. и, то этот рядсходится .

Приведем примеры знакочередующихся рядов.

Исследовать сходимость ряда .

Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как его члены убывают по абсолютной величине и при.

Исследовать сходимость ряда .

Нетрудно убедиться, что данный ряд удовлетворяет условиям Теоремы 1 и потому сходится .

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие , но и условие. Так, например, для рядавторое условие нарушено и, хотя, ряд расходится. Это видно, если данный ряд представить в виде, т.е. удвоенного гармонического ряда.

Под знакопеременным рядом будем понимать ряд, в котором любой его член может быть как положительным , так и отрицательным .

Рассмотрим случай ряда с членами, имеющими произвольные знаки:

. (9.4.2)

Одновременно рассмотрим ряд

, (9.4.3)

где - члены ряда (9.4.2).

(достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Из сходимости ряда (9.4.3) следует сходимость ряда (9.4.2).

Признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда

Пусть дан знакоположительный ряд и существует
. Тогда, еслиq < 1, то ряд сходится; если q > 1, то ряд расходится.

Доказательство: 1) пусть q < 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел
, можно записать
или
a n (q - ) < a n +1 < a n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

a N +2 < (q + ) a N +1 ;

a N +3 < (q + ) a N +2 < (q + ) 2 a N +1 ;

a N +4 < (q + ) a N +3 < (q + ) 3 a N +2 < (q + ) 3 a N +1 .

Итак, члены ряда a N +2 + a N +3 + a N +4 +… меньше соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии a N +1 (q + ) + a N +2 (q + ) 2 + a N +3 (q + ) 3 +… Знаменатель прогрессии меньше единицы, поэтому прогрессия представляет собой сходящийся ряд (см. №1). По признаку сравнения, ряд также является сходящимся.

2) Пусть теперь q > 1. Возьмем такое число , что q -  будет также больше единицы. Тогда для достаточно больших n, на основании выведенного в пункте 1) данного доказательства двойного неравенства, мы будем иметь

Отсюда a N < a N +1 < a N +2 . Следовательно члены ряда возрастают при увеличении их номера, не выполняется необходимый признак сходимости. Поэтому рядрасходится. Теорема полностью доказана.

Если q = 1, то нельзя определить характер сходимости ряда. Например, ряд сходится, а рядрасходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах

Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Признак сходимости Лейбница : если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают при возрастании их номера и n-й член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

,

то этот ряд сходится.

Доказательство: возьмем сумму S 2 m первых членов ряда и запишем ее следующим образом:

S 2m = (a 1 – a 2) + (a 3 + a 4) +…+ (a 2m-1 + a 2m).

Так как разности, стоящие в скобках, на основании условия монотонности убывания абсолютных величин членов ряда, положительны, то

Если 2m возрастает, то S 2 m не убывает, т.к. каждый раз прибавляются положительные или равные нулю слагаемые.

С другой стороны ту же сумму можно представить в виде:

S 2m = a 1 – (a 2 – a 3) – (a 4 – a 5) -…- (a 2m-2 – a 2m-1) – a 2m .

В скобках стоят положительные числа, поэтому

S 2 m a 1 .

Следовательно, S 2 m , будучи монотонно возрастающей (точнее, не убывающей) и ограниченной последовательностью, имеет при m   конечный предел S:

.

Но очевидно, что

S 2 m +1 = S 2 m + а 2 m +1 .

На основании условия о стремлении n-го члена к нулю, имеем также

.

Таким образом, получаем

Мы получили, что при неограниченном возрастании n частные суммы S n стремятся к одному и тому же пределу S, независимо от того, будет ли n четное или нечетное. Поэтому ряд сходится.

Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах. Ряд, состоящий из членов разных знаков, называется знакопеременным . Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся , если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема: если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный их абсолютных величин его членов, то данный ряд также сходится.

Доказательство: рассмотрим вспомогательный ряд

Так как 1) 0
и 2) ряд
в силу заданной по условию сходимости рядатакже сходится, то на основании признака сравнения и рассматриваемый вспомогательный ряд сходится. Поэтому наш рядпредставляет собой разность двух сходящихся рядов

=

и, следовательно, сходится, ч. т. д. Обратное утверждение не верно.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при
и расходится при
.

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница.).

При х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд
сходится при x = x 1 , то он сходится и притом абсолютно для всех
.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x < x 1 численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд
сходится в точкех 1 , то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2с центром в точкех = 0.

Следствие. Если при х = х 1 ряд расходится, то он расходится для всех
.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд расходится. При этом числоR называется радиусом сходимости . Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости .

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости
.

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.

Теорема. Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х 1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри
.

Действия со степенными рядами.