Изучение электрических явлений обычно начинают с рассмотрения электростатического поля.

Итак, электростатическое поле - это неизменное во времени поле, которое создается покоящимися электрическими зарядами.
В этом простом определении важно обратить внимание вот на что. Известно, что заряд создает электромагнитное поле, но покоящийся заряд создает только электрическое. Это объясняется тем, что когда заряд покоится, то не возникает сила Лоренца, которая зависит от скорости заряженной частицы, поэтому и не возникает магнитная составляющая электромагнитного поля.

Известно, что в электростатическом поле справедлив закон Кулона, который подозрительно похож на закон Всемирного тяготения Ньютона. Это совпадение совсем не случайно. Об этом я расскажу совсем скоро.

Закон Кулона: два неподвижных электрических заряда отталкивают или притягивают друг друга с силой, пропорциональной произведению величин зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Закон в векторной форме. k - коэффициент пропорциональности.

Закон Кулона позволяет находить силу с которой одна частица действует на другую. Конечно, можно говорить, что он определяет силу взаимодействия двух частиц, но почему-то такое опредленение вызывает путаницу при решении задач.

В законе Кулона важное физическое значение имеют утверждения об обратной зависимости силы от квадрата расстояния и об аддитивности действия электрических зарядов.

Для простоты закон Кулона используют для точечных зарядов , то есть зарядов, размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи. Понятие точечного заряда аналогично понятию материальной точки, для которой также пренебрегали размерами.

Сила в законе Кулона является ньютоновской, поэтому для нее справедлив 3 закон Ньютона: F =-F

Равновесие зарядов
Нужно добавить, что заряды, создающие электростатическое поле, покоятся под действием неэлектрических сил, например, силы тяжести. Существует теорема Ирншоу, которая утверждает невозможность удержания зарядов в равновесии с помощью только электрических сил, то есть если на заряды действуют только электрические силы, то их равновесная конфигурация будет неустойчива.

Доказательство аддитивности действия электрических зарядов

Рассмотрим систему состоящую из трех зарядов q1, q2, q3.
q 1 и q2 поместим усл овно на расстоянии 10 см друг от друга, а заряд q3 на очень большом расстоянии, из закона Кулона понятн о, что он практически не будет действовать на заряды q1 и q2. Затем измерим силу, с которой заряд q2 действует на заряд q1.

Теперь поменяем заряды q2 и q3 местами и измерим силу, с которой заряд q3 действует на q1.

И затем поместим заряды q2 и q3 максимально близко друг к другу на расстоянии 10 см от q1. Будем считать q2 и q3 за один заряд. Измерим с какой силой он деййствует на q1.

Окажется, что сила, действующая на q1, равна сумме первоначально измеренных сил. Этот вывод доказывает утверждение об аддити вности действия электрических зарядов. Также из вывода следует, что сила взаимодействия двух зарядов не изменяется при наличии третьего заряда (и любого количества зарядов).

Принцип суперпозиции

Независимо от числа зарядов, входящих в систему, закон Кулона можно использовать для вычисления взаимодействия каждой пары. Отсюда следует принцип суперпозиции.

Принцип супер позиции: сила, действующая на заряд, расположенный в любой точке объединенной системы зарядов, представляет собой векторную сумму сил, которые создаются каждыми зарядами системы в отдельности и действуют на заряд в этой точке.

Принцип суперпозиции не справедлив при очень малых расстояниях или при действии очень больших сил.

8.7. Принцип суперпозиции для электростатических сил

Вернемся к обсуждению закона Ш. Кулона. При этом мы постоянно будем использовать его аналогию с законом всемирного тяготения – раз формулировки совпадают, то и следствия из них должны совпадать. Поэтому у нас есть возможность достаточно быстро повторить основные выводы.

Прежде всего, обратим внимание, что сила взаимодействия точечных тел прямо пропорциональна величине заряда. Это обстоятельство является математическим выражением принципа суперпозиции :

сила, действующая на точечный заряд q 0 со стороны системы зарядов q 1 , q 2 , …, q k равна сумме сил, действующих со стороны каждого из зарядов q 1 , q 2 , …, q k (рис. 148)

\(\vec F_{pe3} = \vec F_1 + \vec F_2 + \ldots + \vec F_k,\qquad(1)\)

Подчеркнем, что формула закона Ш. Кулона выражает справедливость принципа суперпозиции, который является обобщением экспериментальных фактов.

Принцип суперпозиции выражает независимость сил электростатических взаимодействий, взаимодействие с одним зарядом, никак не влияет на взаимодействие с остальными.

Закон Ш. Кулона для точечных тел и принцип суперпозиции позволяют, в принципе, вычислять силы взаимодействия между заряженными телами конечных размеров. Для этого необходимо мысленно разбить каждое из тел на малые участки, каждый из которых можно рассматривать как точечный заряд (рис. 149), затем вычислить двойную сумму сил взаимодействия между всеми парами точек.

Для использования этого метода расчета силы взаимодействия, необходимо знать распределение зарядов внутри каждого из взаимодействующих тел. В отличие от гравитационного взаимодействия, во многих случая (точнее, практически всегда) распределение зарядов на телах заранее не известно. Так одно заряженное тело существенно влияет на распределение зарядов на другом, поэтому расчет сил взаимодействия между заряженными телами является еще более сложной задачей, чем расчет силы гравитационного взаимодействия. Для подтверждения этого утверждения сошлемся на существование сил притяжения между заряженным и незаряженным телом.

Так сила электростатического взаимодействия между точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами, то сила взаимодействия между равномерно заряженными сферами равна силе взаимодействия между точечными зарядами, равными зарядам сфер, и расположенными в центрах этих сфер. Аналогичный вывод справедлив и для любых сферически симметричных распределений зарядов. Иными словами - сферически симметричные заряды можно собрать в одну точку - в центр, при этом силы электростатического взаимодействия не изменятся. И. Ньютон доказал это утверждения для гравитационных сил, совсем скоро мы докажем его для электростатических взаимодействий.

Одинаковая зависимость гравитационных и электростатических сил от расстояния позволяет сравнивать эти силы между собой. Для двух одинаковых точечных тел имеющих массы m и заряды q , отношение электрической к гравитационной силе выражается формулой

\(\frac {F_{el}}{F_{gr}} = \left(\frac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} \right) \cdot \left(\frac{r^2}{G \cdot m^2} \right) = \frac{e^2}{4 \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot G \cdot m^2} \).

Так для двух протонов это отношение приблизительно равно 1 10 36 , а для более легких электронов даже 4 10 42 - весьма внушительные числа! Поэтому при описании взаимодействия заряженных частиц гравитационным взаимодействием пренебрегают. В наших экспериментах (со стаканчиками), гравитационные взаимодействия между ними также пренебрежимо малы, по сравнению с электрическими. Практически во всех случаях, где появляются электрические силы, гравитационные уходят на второй план. Громадность электрических сил, во многом, обуславливает их широкое применение в нашей жизни, и необходимость их изучения.

20 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Урок №1

Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса.

Одно из фундаментальных взаимодействий – взаимодействие между электрическими зарядами.

Свойства электрического заряда:

1. Существует в двух видах: положительный и отрицательный.

2. В электрически изолированной системе суммарный заряд сохраняется.

3. Величина заряда инвариантна по отношению к инерциальным системам отсчета.

4. Величина заряда диэлектрика: q = N . e , N – целое число, e = - 1.6 . 10 -19 Кл.

Закон Кулона.

Два точечных покоящихся заряда в вакууме взаимодействуют с силой , где r – расстояние между зарядами.

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды, и является силой отталкивания, если заряды одноименные, и силой притяжения, если заряды разного знака.

– в системе СИ

– электрическая постоянная

Законом Кулона можно воспользоваться и в том случае, если один из зарядов или оба заряда не являются точечными, но их распределение обладает сферической симметрией. В этом случае r – расстояние между центрами зарядов.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через поле, которое создается зарядом в окружающем пространстве.

– напряженность поля, создаваемого зарядом q 1 в точке, определяемой радиус-вектором

Отвлекаясь от индексов 1 и 2, .

Таким образом, напряженность поля в некоторой точке – это сила, действующая на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Принцип суперпозиции: напряженность электрического поля в данной точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами в этой точке.

Если заряды распределены непрерывно, то

, где dq = t . dl , t – линейная плотность заряда, или

dq = s . dl , s – поверхностная плотность заряда, или

dq = r . dV , r – объемная плотность заряда.

Силу, действующую на произвольный заряд q, помещенный в точку поля, где напряженность Е , можно найти по формуле:

Силовыми линиями электрического поля называются воображаемые кривые, в каждой точке которых вектор Е направлен к ним по касательной. Величину поля Е договоримся определять густотой силовых линий, т.е. количеством силовых линий, пересекающих единичную площадку к ним перпендикулярную.

Потоком вектора Е через площадку dS называется:

Вектором площадки называется

где n – единичный вектор нормали к данной площадке. Если площадка замкнутая, то в качестве положительной нормали всегда выбирается внешняя.

Поток вектора Е через произвольную площадку S определяется:

Оказывается, что поток вектора Е через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на e 0 :

Данное утверждение называют теоремой Гаусса.

Теорема Гаусса в дифференциальном виде:

r – объемная плотность электрического заряда в той точке, где ищется .

Примеры решения задач

Задача №1

Тонкое полукольцо радиусом 10 см равномерно заряжено с линейной плотностью заряда 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится точечный заряд 20 нКл. Найти силу взаимодействия точечного заряда и полукольца.

Решение

Поскольку заряженное полукольцо не является точечным зарядом, то его следует мысленно разбить на элементарные заряды dq = t . dl , где элемент дуги .

Сила взаимодействия dF между точечным зарядом q и элементарным зарядом кольца dq найдется по закону Кулона:

Результирующая сила F найдется векторной суммой всех d F , действующих на заряд q:

Из симметрии задачи можно понять, что результирующая сила F направлена вертикально вниз. Выберем в этом направлении ось y , тогда для величины силы F :

Задача №2

По тонкому кольцу радиуса 10 см равномерно распределен заряд 2 мкКл. Найти максимальную силу, действующую на точечный заряд 1 мкКл, находящийся на оси кольца.

Решение

Рассчитаем силу, действующую на заряд q 2 , по формуле

Где E – напряженность поля, создаваемого кольцом.

Вычислим по принципу суперпозиции. Мысленно разобьем кольцо на элементарные заряды dq , которые создают на оси кольца поле

Из симметрии задачи следует, что результирующий вектор E будет направлен по оси х, поэтому

Взаимодействие неподвижных (в данной инерциальной системе отсчёта) зарядов называется электростатическим. Оно наиболее просто для изучения.

Раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных зарядов, называется электростатикой. Основной закон электростатики это закон Кулона.

По внешнему виду закон Кулона удивительно похож на закон всемирного тяготения, который устанавливает характер гравитационного взаимодействия точечных масс. Закон Кулона является законом электростатического взаимодействия точечных зарядов.

Точечный заряд это заряженное тело, размеры которого много меньше других размеров, характерных для данной задачи. В частности, размеры точечных зарядов пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними.

Точечный заряд такая же идеализация, как материальная точка, точечная масса и т. д. В случае точечных зарядов мы можем однозначно говорить о расстоянии между ними, не задумываясь о том, между какими именно точками заряженных тел это расстояние измеряется.

Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению абсолютных величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Эта сила называется кулоновской. Вектор кулоновской силы всегда лежит на прямой, соединяющей заряды. Для кулоновской силы справедлив третий закон Ньютона: заряды действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Рис. 3.6. Кулоновская сила

Если заряды, равные по модулю q1 и q2 , находятся на расстоянии r друг от друга, то они взаимодействуют с силой

Коэффициент пропорциональности k в системе СИ равен:

k = 9 109 Н м 2 :

Кл2

Если сравнивать с законом всемирного тяготения, то роль точечных масс в законе Кулона играют точечные заряды, а вместо гравитационной постоянной G стоит коэффициент k. Математически формулы этих законов устроены одинаково. Важное физическое отличие заключается в том, что гравитационное взаимодействие всегда является притяжением, а взаимодействие зарядов может быть как притяжением, так и отталкиванием.

Так уж вышло, что наряду с константой k имеется ещё одна фундаментальная константа "0 , связанная с k соотношением

k = 4 1 " 0 :

Константа "0 называется электрической постоянной. Она равна:

Закон Кулона с электрической постоянной выглядит так:

3.2.1 Принцип суперпозиции

Опыт показывает, что выполнен так называемый принцип суперпозиции. Он состоит из двух утверждений.

1. Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заряженных тел.

2. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q 1 , q2 , . . . , qn . Если каж-

Принцип суперпозиции проиллюстрирован на рис. 3.7 . Здесь положительный заряд q взаимодействует с двумя зарядами: положительным зарядом q1 и отрицательным зарядом q2 .

Рис. 3.7. Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции позволяет прийти к одному важному утверждению.

Вы помните, что закон всемирного тяготения справедлив на самом деле не только для точечных масс, но и для шаров со сферически-симметричным распределением массы (в частности, для шара и точечной массы); тогда r расстояние между центрами шаров (от точечной массы до центра шара). Этот факт вытекает из математической формы закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции.

Поскольку формула закона Кулона имеет ту же структуру, что и закон всемирного тяготения, и для кулоновской силы также выполнен принцип суперпозиции, мы можем сделать аналогичный вывод: по закону Кулона будут взаимодействовать два заряженных шара (точечный заряд с шаром) при условии, что шары имеют сферически-симметричное распределение заряда; величина r в таком случае будет расстоянием между центрами шаров (от точечного заряда до шара).

Значимость данного факта мы увидим совсем скоро; в частности, именно поэтому напряжённость поля заряженного шара окажется вне шара такой же, как и у точечного заряда.

Но в электростатике, в отличие от гравитации, с этим фактом надо быть осторожным. Например, при сближении положительно заряженных металлических шаров сферическая симметрия нарушится: положительные заряды, взаимно отталкиваясь, будут стремиться к наиболее

удалённым друг от друга участкам шаров (центры положительных зарядов будут находиться дальше друг от друга, чем центры шаров). Поэтому сила отталкивания шаров в данном случае будет меньше того значения, которое получится из закона Кулона при подстановке вместо r расстояния между центрами.

3.2.2 Закон Кулона в диэлектрике

Отличие электростатического взаимодействия от гравитационного состоит не только в наличии сил отталкивания. Сила взаимодействия зарядов зависит от среды, в которой заряды находятся (а сила всемирного тяготения от свойств среды не зависит).

Диэлектриками, или изоляторами называются вещества, которые не проводят электрический ток.

Оказывается, что диэлектрик уменьшает силу взаимодействия зарядов (по сравнению с вакуумом). Более того, на каком бы расстоянии друг от друга заряды ни находились, сила их взаимодействия в данном однородном диэлектрике всегда будет в одно и то же число раз меньше, чем на таком же расстоянии в вакууме. Это число обозначается " и называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость зависит только от вещества диэлектрика, но не от его формы или размеров. Она является безразмерной величиной и может быть найдена из таблиц.

Таким образом, в диэлектрике формулы (3.1 ) и (3.2 ) приобретают вид:

Диэлектрическая проницаемость вакуума, как видим, равна единице. Во всех остальных случаях диэлектрическая проницаемость больше единицы. Диэлектрическая проницаемость воздуха настолько близка к единице, что при расчёте сил взаимодействия зарядов в воздухе пользуются формулами (3.1 ) и (3.2 ) для вакуума.

Закон Кулона

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г.Ш. Кулоном с помощью крутильных весов, подобных тем, которые использовались Г. Кавендишем для определения гравитационной постоянной.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией .

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноимённых зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноимённых зарядов. Эта сила называется кулоновской силой . В векторной форме закон Кулона имеет вид:

F 12 - сила, действующая на заряд Q 1 со стороны заряда Q 2 , r 12 - радиус-вектор, соединяющий заряд Q 2 с зарядом Q 1 , r = | r 12 |. На заряд Q2 со стороны заряда Q 1 действует сила F 21 = - F 12 .

В СИ коэффициент пропорциональности равен

k = 1/ (4 * р * е 0)

Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде:

Величина е 0 называется электрической постоянной ; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна

е 0 = 0,85*10 -12 [КлІ/ (H*мІ)] = 0,85*10 -12 [Ф/м]

где фарад (Ф) - единица электрической ёмкости

Электростатическое поле. Напряжённость электростатического поля

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовой поле. В данном случае - электрическое - поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд - такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределение зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q 0 , то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду Q 0 . Поэтому отношение F/Q 0 , не зависит от Q 0 и характеризует электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряжённостью и является силовой характеристикой электростатического поля.

Напряжённость электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный, положительный заряд, помещённый в эту точку поля:

Напряжённость поля точечного заряда в вакууме:

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду

Рис 3. Направления вектора Е относительно заряда

Единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряжённости - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е. Линиям напряжённости, приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряжённости. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряжённости имеет лишь одно направление, то линии напряжённости никогда не пересекаются.

Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле задается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен и входящие в него, если заряд отрицателен.

Чтобы с помощью линий напряжённости можно было характеризовать не только направление, но и значение напряжённости электростатического поля, условились проводить их с определённой густотой: число линий напряжённости, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряжённости, должно быть равно модулю вектора Е . Тогда число линий напряжённости, пронизывающих элементарную площадку dS , нормаль n которой образует угол л с вектором Е , равно EdScosл = EndS, где En - проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS. Величина:

dФЕ = EndS = EdS (6)

называется потоком вектора напряжённости через площадку dS.

Единица потока вектора напряженности электрического поля - 1В*м.

Принцип суперпозиции электростатических полей

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i

Формула (7) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Построение математической модели

Рассмотрим модель движения частицы с зарядом q и массой m в кулоновском поле другой частицы с зарядом Q, положение которой фиксировано.

В системе координат, начало которой привязано к "большому" телу, уравнения модели в простейшем приближении имеют вид

Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона. = 0,85.10 12 ф/м электрическая постоянная. Знак "" в уравнениях для скорости соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на "+".

Входные параметры модели:

q и Q соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц;

m масса движущейся частицы;

начальные координаты движущейся частицы;

начальная скорость движущейся частицы либо угол прицеливания

Выходные параметры модели:

координата х

координата у

Исходя из выше приведенных формул, строим систему дифференциальных уравнений, отображающей положение движущейся частицы q в определенный момент времени, и ее скорость относительно двух перпендикулярных осей.