Глава 8

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

§1.Электростатиче­ская энергия зарядов. Однородный шар

§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

§З.Электростатическая энергия ионного кристалла

§4.Электростатиче­ская энергия ядра

§5.Энергия в электро­статическом поле

§6.Энергия точечного заряда

Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар

Одно из самых интересных и полезных от­крытий в механике -это закон сохранения энер­гии. Зная формулы для кинетической и потен­циальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состоя­ниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q 1 и q 2 , разделенные про­межутком r 12 . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчиты­вали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, дей­ствующих со стороны всех прочих зарядов. От­сюда следует, что полная энергия системы не­скольких зарядов есть сумма членов, выражаю­щих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q i и q j - - какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r ij (фиг. 8.1),

Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энер­гий каждой пары.

то энергия именно этой пары равна

Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий все­возможных пар зарядов:

Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Пер­вая - применение понятия энергии к электростатическим зада­чам; вторая - разные способы оценки величины энергии. По­рой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину со­ответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно за­ряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последова­тельно друг на друга сферические слои бесконечно малой тол­щины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое ко­личество электричества и размещаем его тонким слоем от rдо r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не добе­ремся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q r -- это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна

Фиг. 8.2. Энергию однород­но заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q r равен

Уравнение (8.4) превращается в

Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.

а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то

Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и об­ратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r ij) по всем парам точек внутри шара равно 6 / 5 а.

§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конден­сатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

где С - емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы посту­пали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен перено­сом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ ,равна

Взяв V из (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем

Эту энергию можно также записать в виде

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается 5 / 6 энер­гии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутя­щий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный про­водник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).

Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы пред­ставим, что промежуток между пластинами расширился на не­большую величину Dz, то тогда механическая работа, произво­димая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

где F - сила, действующая между обкладками. Эта работа обя­зана быть равной изменению электростатической энергии кон­денсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первона­чально была равна

Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величи­ны заряда) тогда равно

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем

что может также быть записано в виде

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они рас­пределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, - это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произ­вольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в урав­нении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz - малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хо­тим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную ра­боту в виде

где Dq - небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.

Фиг. 8.3. Чему равен вращатель­ный момент, действующий на переменный конденсатор?

Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденса­тора, показанного на фиг. 8.3.

Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:

где А- площадь каждой обкладки. Если промежуток уве­личится на Dz, то

Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна

Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде

то (8.17) можно будет переписать так:

Или поскольку поле между пластинами равно

Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умножен­ному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1 / 2 . Дело в том, что Е 0 - это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверх­ности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е 0 в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е 0 /2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1 / 2 .

Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая вир­туальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с дру­гими предметами и полный заряд не мог изменяться.

Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E 0 =s/e 0 , когда пересечен слой по­верхностного заряда. 1 - проводящая пластина; 2 - слой поверхностного заряда.

А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных пе­ремещениях конденсатор поддерживается при постоянной раз­ности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять

и вместо (8.15) мы бы имели

что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!

Конечно, сила, действующая между пластинами конденса­тора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две плас­тины с разноименными электрическими зарядами должны при­тягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуаль­ную работу, производимую источником, заряжающим конден­сатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник элект­ричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняе­мая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V 2 DC. Механическая работа.FDz плюс эта электрическая работа V 2 DC вместе приводят к изменению полной энергии кон­денсатора на 1 / 2 V 2 DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится F Dz=- 1 / 2 V 2 DC.

§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла

Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей - это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части - это просто электростатиче­ская энергия.

Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из поло­жительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, кото­рая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.

Для первоначального приближения вообразим себе совокуп­ность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифрак­ции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая - что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10 -8 см).

Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадо­бится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью раз­делить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теп­лоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.

Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.

В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).

Пользуясь коэффициентом перевода

и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)

можно представить энергию испарения в виде

Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,- килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молеку­лу - это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна

Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретиче­ски, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме по­тенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энер­гия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.

Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна -e 2 /a, где e 2 =q 2 e /4pe 0 , а а - промежуток между центрами ио­нов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия рав­на -5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконеч­ный ряд членов.

Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по пря­мой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U 1 , напишем

Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,

но известно, что он равен ln2. Значит,

Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара - на расстоянии Ц5а, следующая- наЦ10а и т. д. Для всей линии получается ряд

Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем име­ются четыре линии, которые являются ближайшими по диагона­ли, и т. д. и т. д.

Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:

Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е 2 /а=- 5,12 эв, мы получим

Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили спе­цифическое свойство макроскопического вещества из наших по­знаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение боль­ших масс вещества на языке законов атомного поведения, назы­вается физикой твердого тела.

А как же с ошибкой в наших расчетах? Почему они не до конца верны? Мы не учли отталкивание между ионами на близ­ких расстояниях. Это ведь не совершенно жесткие сферы, так что, сблизясь, они немного сплющиваются. Но они не очень мягкие и сплющиваются самую чуточку. Все же какая-то энер­гия уходит на эту деформацию, и вот, когда ионы разлетаются, эта энергия высвобождается. Энергия, которая на самом деле нужна для того, чтобы развести все ионы врозь, чуть меньше той, которую мы вычислили; отталкивание помогает преодолеть электростатическое притяжение.

А есть ли возможность как-то прикинуть долю этого оттал­кивания? Да, если мы знаем закон силы отталкивания. Мы еще не умеем пока анализировать детали механизма отталкивания, но некоторое представление о его характеристиках мы можем получить из макроскопических измерений. Измеряя сжимае­мость кристалла как целого, можно получить количественное представление о законе отталкивания между ионами, а отсю­да - о его вкладе в энергию. Таким путем было обнаружено, что вклад этот должен составлять 1/9,4 часть вклада от электро­статического притяжения и иметь, естественно, противополож­ный знак. Если этот вклад мы вычтем из чисто электростатиче­ской энергии, то получим для энергии диссоциации на молекулу число 7,99 эв. Это намного ближе к наблюдаемому результату 7,92 эв, но все еще не находится в совершенном согласии. Есть еще одна вещь, которую мы не учли: мы не сделали никаких до­пущений о кинетической энергии колебаний кристалла. Если сделать поправку на этот эффект, то сразу возникнет очень хоро­шее согласие с экспериментальной величиной. Значит, наши представления правильны: главный вклад в энергию кристалла, такого, как NaCl, является электростатическим.

§ 4. Электростатическая энергия ядра

Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике - к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойства тех основных сил (называемых ядерными силами), которые скрепляют между собой протоны и нейтроны в ядре. Первое время после открытия ядер - и про­тонов с нейтронами, которые их составляют,- надеялись, что закон сильной, неэлектрической части силы, действующей, на­пример, между одним протоном и другим, будет иметь какой-нибудь простой вид, подобный, скажем, закону обратных квад­ратов в электричестве. Если бы удалось определить этот закон сил и, кроме того, сил, действующих между протоном и нейт­роном и между нейтроном и нейтроном, то тогда можно было бы теоретически описать все поведение этих частиц в ядрах. Поэтому начала разворачиваться большая программа изучения рассеяния протонов в надежде отыскать закон сил, действую­щих между ними; но после тридцатилетних усилий ничего про­стого не возникло. Накопился заметный багаж знаний о силах, действующих между протоном и протоном, но при этом обнару­жилось, что эти силы сложны настолько, насколько возможно себе представить.

Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.

Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших расстояниях существует притяжение, на меньших - отталкива­ние.

Фиг. 8.6. Сила взаимодейст­вия двух протонов зависит от всех мыслимых параметров.

Зависимость от рас­стояния - это некоторая сложная функция, все еще не очень хорошо известная. Во-вторых, сила зави­сит от ориентации спина протонов. У протонов есть спин, а два взаимодействующих протона могут вращаться либо в одном и том же, либо в про­тивоположных направлениях. И сила, когда спины парал­лельны, отличается от того, что бывает, когда спины антипа­раллельны (фиг. 8.6, а и б). Разница велика; пренебречь ею нельзя.

В-третьих, сила заметно изменяется, смотря по тому, па­раллелен или нет промежуток между протонами их спинам (фиг. 8.6, в и г) или же он им перпендикулярен (фиг. 8.6, а и б).

В-четвертых, сила, как и в магнетизме, зависит (и даже зна­чительно сильнее) от скорости протонов. И эта скоростная зави­симость силы отнюдь не релятивистский эффект; она велика да­же тогда, когда скорости намного меньше скорости света. Бо­лее того, эта часть силы зависит, кроме величины скорости, и от других вещей. Скажем, когда протон движется невдалеке от другого протона, сила меняется от того, совпадает ли орби­тальное движение по направлению со спиновым вращением (фиг. 8.6, д), или эти два направления противоположны (фиг. 8.6, е). Это то, что называется «спин-орбитальной» частью силы.

Не в меньшей степени сложный характер имеют силы вза­имодействия протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном. До сего дня мы не знаем механизма, определяющего эти силы, не знаем никакого простого способа их понять.

Впрочем, в одном важном отношении ядерные силы все же проще, чем могли бы быть. Ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, совпадают с силами, действующими между протоном и нейтроном, и с силами, действующими между двумя протонами! Если в некоторой системе, в которой имеются ядра, мы заменим нейтрон протоном (и наоборот), то ядерные взаимодействия не изменятся! «Фундаментальная причина» этого равенства нам не известна, но это проявление важного принципа, который может быть расширен на законы взаимодействия других силь­но взаимодействующих ча­стиц, таких, как л-мезоны и «странные» частицы.

Этот факт прекрасно ил­люстрируется расположе­нием уровней энергии в похожих ядрах.

Фиг. 8.7. Энергетические уровни ядер В 11 и С 11 (энергии в Мэв). Основное состояние С 11 на 1,982 Мэв выше, чем то же состояние В 11 .

Рассмотрим такое ядро, как В 11 (бор-одиннадцать), состоящее из пяти протонов и шести нейтронов. В ядре эти одиннадцать частиц взаимодействуют друг с другом, совершая какой-то замысловатый танец. Но существу­ет такое сочетание всех возможных взаимодействий, кото­рое обладает энергией, наинизшей из возможных; это нормаль­ное состояние ядра, и его называют основным. Если ядро возму­тить (скажем, стукнув по нему высокоэнергичным протоном или еще какой-то частицей), то оно может перейти в любое число дру­гих конфигураций, называемых возбужденными состояниями, каждое из которых будет обладать своей характеристической энергией, которая выше энергии основного состояния. В иссле­дованиях по ядерной физике, скажем проводимых с генератором Ван-де-Граафа, энергии и другие свойства этих возбужденных состояний определяются экспериментально. Энергии пятнад­цати наинизших из известных возбужденных состояний В 11 показаны на одномерной схеме в левой половине фиг. 8.7. Гори­зонталь внизу представляет основное состояние. Первое возбуж­денное состояние имеет энергию на 2,14 Мэв выше, чем основ­ное, следующее - на 4,46 Мэв выше, чем основное, и т. д. Иссле­дователи пытаются найти объяснение этой довольно запутанной картины уровней энергии; пока, однако, нет еще полной общей теории таких ядерных уровней энергии.

Если в В 11 заменить один из нейтронов протоном, получится ядро изотопа углерода С 11 . Энергии шестнадцати низших воз­бужденных состояний ядра С 11 тоже были измерены; они пока­заны на фиг. 8.7 справа. (Штрихами проведены уровни, для ко­торых экспериментальная информация находится под вопросом.)

Глядя на фиг. 8.7, мы замечаем поразительное подобие меж­ду картинами уровней энергии обоих ядер. Первые возбужден­ные состояния находятся примерно на 2 Мэв выше основного. Затем имеется широкая щель шириной 2,3 Мэв, отделяющая второе возбужденное состояние от первого, затем небольшой скачок на 0,5 Мэв до третьего уровня. Потом опять большой скачок от четвертого до пятого уровня, но между пятым и ше­стым узкий промежуток в 0,1 Мэв. И так далее. Примерно на десятом уровне соответствие, видимо, пропадает, но его все еще можно обнаружить, если пометить уровни другими характе­ристиками, скажем их моментами количества движения, и тем, каким способом они теряют свой избыток энергии.

Впечатляющее подобие картины уровней энергии ядер В 11 и С 11 - отнюдь не просто совпадение. Оно скрывает за собой некоторый физический закон. И действительно, оно показы­вает, что даже в сложных условиях ядра замена нейтрона про­тоном мало что изменит. Это может значить лишь то, что нейтрон-нейтронные и протон-протонные силы должны быть почти оди­наковыми. Только тогда мы могли бы ожидать, что ядерные конфигурации из пяти протонов и шести нейтронов совпадут с комбинацией «пять нейтронов - шесть протонов».

Заметьте, что свойства этих ядер ничего не говорят нам о нейтрон-протонных силах; число нейтрон-протонных комбина­ций в обоих ядрах одинаково. Но если мы сравним два других ядра, таких, как С 14 с его шестью протонами и восемью нейтро­нами и N 14 , в котором и тех, и других по семи штук, то выявим в энергетических уровнях такое же соответствие. Можно выве­сти заключение, что р-р-, n-n- и р -n-силы совпадают между собой во всех деталях. В законах ядерных сил возник неожидан­ный принцип. Хотя силы, действующие между каждой парой ядерных частиц, очень запутаны, но силы взаимодействия для любой из трех мыслимых пар одни и те же.

Однако есть и какие-то слабые отличия. Точного соответствия уровней нет; кроме того, основное состояние С 11 обладает абсо­лютной энергией (массой), которая на 1,982 Мэв выше основного состояния В 11 . Все прочие уровни тоже по абсолютной величине энергии выше на такое же число. Так что силы не совсем точно равны. Но мы и так хорошо знаем, что полная, величина сил не совсем одинакова; между двумя протонами действуют электриче­ские силы, ведь каждый из них заряжен положительно, а между нейтронами таких сил нет. Может быть, различие между В 11 и С 11 объясняется тем фактом, что в этих двух случаях различны электрические взаимодействия протонов? А может, и остающаяся ми­нимальная разница в уровнях вызывается электрическими эф­фектами? Раз уж ядерные силы так сильны по сравнению с электрическими, то электрические эффекты могли бы только слегка возмутить энергии уровней.

Чтобы проверить это представление или, лучше сказать, чтобы выяснить, к каким следствиям оно приведет, мы сперва рассмотрим разницу в энергиях основных состояний обоих ядер. Чтобы модель была совсем простой, положим, что ядра - это шары радиуса r (который нужно определить), содержащие Z протонов. Если считать ядро шаром с равномерно распреде­ленным зарядом, то можно ожидать, что электростатическая энергия [из уравнения (8.7)] окажется равной

где q e - элементарный заряд протона. Из-за того, что Z равно для В 11 пяти, а для С 11 шести, электростатические энергии бу­дут различаться.

Но при таком малом количестве протонов уравнение (8.22) не совсем правильно. Если мы подсчитаем электрическую энер­гию взаимодействия всех пар протонов, рассматриваемых как точки, примерно однородно распределенные по шару, то увидим, что величину Z 2 в (8.22) придется заменить на Z(Z- 1), так что энергия будет равна

Если известен радиус ядра r, мы можем воспользоваться выра­жением (8.23), чтобы определить разницу электростатических энергий ядер В 11 и С 11 . Но проделаем обратное: из наблюдаемой разницы в энергиях вычислим радиус, считая, что вся суще­ствующая разница по происхождению - электростатическая. В общем, это не совсем верно. Разность энергий 1,982 Мэв двух основных состояний В 11 и С 11 включает энергии покоя, т. е. энергии тc 2 всех частиц. Переходя от В 11 к С 11 , мы замещаем нейтрон протоном, масса которого чуть поменьше. Так что часть разности энергий - это разница в массах покоя нейтрона и протона, составляющая 0,784 Мэв. Та разность, которую надо сравнивать с электростатической энергией, тем самым больше 1,982 Мэв; она равна

Подставив эту энергию в (8.23), для радиуса В 11 или С 11 по­лучим

Имеет ли это число какой-нибудь смысл? Чтобы это прове­рить, сравним его с другими определениями радиусов этих ядер.

Например, можно определить радиус ядра иначе, наблюдая, как рассеивает оно быстрые частицы. В ходе этих измерений выяс­нилось, что плотность вещества во всех ядрах примерно оди­накова, т. е. их объемы пропорциональны числу содержащихся в них частиц. Если через А обозначить число протонов и нейтро­нов в ядре (число, очень близко пропорциональное его массе), то оказывается, что радиус ядра дается выражением

Из этих измерений мы получим, что радиус ядра В 11 (или С 1 1)должен быть примерно равен

Сравнив это с выражением (8.24), мы увидим, что наши пред­положения об электростатическом происхождении разницы в энергиях В 11 и С 11 не столь неверны; расхождение едва ли до­стигает 15% (а это не так уж скверно для первого расчета по теории ядра!).

Причина расхождения, по всей вероятности, состоит в сле­дующем. Согласно нашему нынешнему пониманию ядер, четное количество ядерных частиц (в случае В 11 пять нейтронов с пятью протонами) образует своего рода оболочку; когда к этой оболочке добавляется еще одна частица, то вместо того, чтобы поглотиться, она начинает обращаться вокруг оболочки. Если это так, то для добавочного протона нужно взять другое значение электростатической энергии. Нужно считать, что избыток энер­гии С 11 над В 11 как раз равен

т. е. равен энергии, необходимой для того, чтобы снаружи обо­лочки появился еще один протон. Это число составляет 5 / 6 ве­личины, предсказываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно 5 / 6 от (8.24). Оно намного лучше согласуется с прямыми измерениями.

Согласие в цифрах приводит к двум выводам. Первый: зако­ны электричества, видимо, действуют и на столь малых расстоя­ниях, как 10 -1 3 см. Второй: мы убедились в замечательном сов­падении - неэлектрическая часть сил взаимодействия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова.

§ 5. Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатичес­кой энергии. Все они могут быть получены из основного соот­ношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выраже­ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

Обратите внимание на появление множителя 1 / 2 . Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV 1 и по dV 2 каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV 2 в (8.27) - это просто потенциал в точке (1), т. е.

так что (8.27) можно записать в виде

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энер­гия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель 1 / 2 . Он все еще необходим, по­тому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель 1 / 2 .

Интересен и такой вопрос: где размещается электростатичес­кая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?

Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодей­ствующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энер­гией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия со­средоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммар­ная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.

Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда со­средоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме­нение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утвержде­ние о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно вы­полняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего - это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назо­вем это расширение принципом локального (местного) сохране­ния энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действи­тельно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.

Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая масса есть источник гравитационного притя­жения. А по закону Е=тс 2 мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия яв­ляется источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы не могли бы сказать, где размещаются источники поля тяготения. И теория тяготения стала бы неполной.

Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас не­сравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, ответ до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, касающийся частного случая электростатики

Фиг. 8.8. Каждый элемент объема dV=dxdydz в электриче­ском поле содержит в себе энер­гию (e 0 /2) E 2 dV.

Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, ви­димо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические поля. И когда свет или радио­волны распространяются от точки к точке, они переносят с со­бой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энер­гию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Таким об­разом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с

Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте простран­ства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8.

Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравне­ние (8.28) соотношение между r и j, полученное в гл. 6:

Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы

увидим, что

А наш интеграл энергий тогда равен

С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:

Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверх­ность простирается до бесконечности (так что интеграл по объе­му обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех заря­дов j изменяется как 1/R, a Сj как 1/R 2 . (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R 2 , так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как

(1/R)(1/R 2)/R 2 = (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R® Ґ), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим

Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.

§ 6. Энергия точечного заряда

Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдель­ного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением

так что плотность энергии на расстоянии rот заряда равна

За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4pr 2 . Полная энергия будет

Верхний предел г=Ґ не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утверждает, что в поле одного точечного заряда содер­жится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представле­ния о том, что энергия имеется только между точечными заря­дами. В нашу первоначальную форму для энергии совокупно­сти точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодей­ствие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими беско­нечно малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мы включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы, чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действи­тельно, вы могли заметить, что результат, следующий из урав­нения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.

Мы вынуждены прийти к заключению, что представление о том, будто энергия сосредоточена в поле, не согласуется с пред­положением о существовании точечных зарядов. Один путь преодоления этой трудности - это говорить, что элементарные заряды (такие, как электрон) на самом деле вовсе не точки, а не­большие зарядовые распределения. Но можно говорить и обрат­ное: неправильность коренится в нашей теории электричества на очень малых расстояниях или в нашем представлении о со­хранении энергии в каждом месте порознь. Но каждая такая точка зрения все равно встречается с затруднениями. И их ни­когда еще не удавалось преодолеть; существуют они и по сей день. Немного позже, когда мы познакомимся с некоторыми до­полнительными представлениями, такими, как импульс электро­магнитного поля, мы более подробно поговорим об этих основ­ных трудностях в нашем понимании природы

Названное взаимодействие, несмотря на кажущуюся простоту, не удаётся интерпретировать чётко и однозначно. Его можно описать двумя способами: при помощи закона Кулона или, используя полное электростатическое поле зарядов. В первом случае заряды могут взаимодействовать между собой непосредственно, так как интенсивность события зависит только от величины, знака зарядов и расстояния между ними; во втором, дополнительно участвуют посредник – пробный заряд, и всё окружающее пространство.

Два способа явно отличаются друг от друга, но конечный результат получается одинаковым. В чём причина этого явления? В учебной литературе соответствующие разъяснения обычно сводятся к утверждению, что заряд и созданное им поле неразрывно связаны между собой. Поэтому выбор того или иного способа означает только выбор языка, на котором ведутся рассуждения и расчёты, на языке зарядов или на языке поля. Такое утверждение не является очевидным, и в данной статье оно сравнительно подробно обсуждается.

Другой нерешённый вопрос, возможно вытекающий из предыдущего, где локализуется потенциальная энергия взаимодействия, в самих зарядах или в окружающем их пространстве. Общепринятая точка зрения: в электростатической системе определить локализацию энергии невозможно. Эта точка зрения в данной статье также подвергается обсуждению.

Третий вопрос, затронутый в статье, роль физического вакуума в электростатическом взаимодействии. Обычно понятие вакуума используется в атомной и ядерной физике при анализе микроявлений, однако основанное на процессах в физическом вакууме взаимодействие зарядов имеет место и в макромире.

Ряд физических понятий и формул, которые представляются автору общеизвестными, например, закон Кулона, напряжённость и потенциал поля точечного заряда, объёмная плотность энергии поля, принцип суперпозиции полей, теорема Остроградского – Гаусса и др., используются в статье без объяснений. Однако, в случае необходимости, можно обратиться к источникам , или другим учебникам по физике.

Расположение зарядов и обозначения величин показаны на рис. 1.

Рис. 1. Расположение электрических зарядов Q 1 и Q 2 и создаваемое ими статическое поле напряжённостью E = E 1 + E 2 в точке наблюдения P (X , Y )

Расстояния R 0 , R 1 и R 2 соответствуют промежуткам между зарядами и от зарядов до точки наблюдения; Q 1 , Q 2 > 0 принято как на рисунке, так и последующих рассуждениях и выкладках, если не оговорено иное. Векторные величины выделены жирным шрифтом. Вследствие вращательной симметрии поля относительно оси X характеристики взаимодействия завися только от двух координат X и Y .

Энергия взаимодействия U зарядов по закону Кулона определяется работой по перемещению заряда Q 2 в поле заряда Q 1 (или, наоборот) из бесконечной удалённости до расстояния R 0 между ними. В вакууме

U = Q 1 Q 2 /4πε 0 R 0 ,

(1)

где ε 0 = 0,885·10 –11 Ф/м – электрическая постоянная.

Как видно из формулы (1), величины зарядов Q 1 и Q 2 (а также жёстко связанные с ними собственные энергии) в процессах выполнения этой работы внешними силами (и взаимодействия зарядов друг с другом) остаются постоянными. Значение изменяющейся энергии U зависит исключительно от расстояния R 0 между зарядами. Ни заряды, ни их известные свойства не зависят от R 0 . Поэтому привнесённая извне энергия не может размещаться в зарядах. Её место в пространстве, окружающем заряды. Ситуация напоминает поведение материальных точек, соединённых механической пружиной, деформация которой усилиями извне и создаёт потенциальную энергию «взаимодействия» точек. В случае зарядов роль «пружины» играет силовое поле, природа которого чаще всего интерпретируется, как совокупность элементарных возбуждений физического вакуума .

В варианте взаимодействия по формуле (1) допустимо предположение, что возникшая связь между зарядами есть единственное поле. Так как подобное поле целиком формируется за счёт внешней энергии, то каждый отдельный заряд может взаимодействовать с бесчисленным множеством других зарядов без каких-либо ограничений. С другой стороны, необходимое поле взаимодействия в формуле (1) в явном виде не прописано. Вопрос о том, какой механизм приводит к взаимодействию, и где локализуется энергия взаимодействия, остаётся открытым.

При рассмотрении полного электростатического поля зарядов (второй способ описания взаимодействия, вытекающий из уравнений Максвелла) характерными величинами для поля являются напряженность Е и потенциал φ, объёмные плотности заряда ρ и энергии W (X , Y ).

Ниже представлены формулами (2) и (3): расстояния R 1 и R 2 от зарядов Q 1 и Q 2 до точки наблюдения P (X , Y ); напряжённости E 1 и E 2 , потенциалы φ 1 , φ 2 поля, создаваемые каждым из зарядов в точке наблюдения; объёмная плотность энергии поля W (X , Y ), а также полные значения напряжённости E и потенциала φ в той же точке P (X , Y ). Здесь же дано выражение для cosα, косинуса угла между векторами E 1 и E 2 . Некоторые величины показаны на рис. 1.

R 1 = (X 2 + Y 2) 1 / 2 , E 1 = Q 1 /4πε 0 R 1 2 , φ 1 = Q 1 /4πε 0 R 1 ; R 2 = [(1 – X ) 2 + Y 2 ] 1/2 , E 2 = Q 2 /4πε 0 R 2 2 , φ 2 = Q 2 /4πε 0 R 2 ; cosα = (R 1 2 + R 2 2 – R 0 2)/2R 1 R 2 , E = E 1 + E 2 , φ = φ 1 + φ 2 ;	(2)
W (X ,Y ) = (ε 0 /2)E 2 = (ε 0 /2)(E 1 + E 2) 2 = (ε 0 /2)(E 1 2 + E 2 2 + 2E 1 E 2 cosα) = = (1/32π 2 ε 0)[(Q 1 /R 1 2) 2 + (Q 2 /R 2 2) 2 + Q 1 Q 2 (R 1 2 + R 2 2 – R 0 2)/R 1 3 R 2 3 ].	(3)

Вывод формулы для W (X , Y ) в самом общем случае, включающем неоднородное поле, можно посмотреть, например, в работах . В основе этих доказательств лежит применение к векторному полю φ·gradφ формулы Остроградского – Гаусса, связывающей объёмный и поверхностный интегралы по всему указанному полю,

На больших расстояниях от зарядов потенциал поля обращается в нуль и, если здесь провести граничную (замкнутую) поверхность, то обратится в нуль также и интеграл по этой поверхности. Таким образом, остаётся объёмный интеграл от дивергенции векторного поля. Приравняв его нулю, и, учитывая, что

где ρ – объёмная плотность зарядов, получаем вместо (4),

Слева имеем объёмный интеграл от выражения (3), а справа – полную энергию электростатического поля системы зарядов. Поэтому интеграл в левой части (6) можно также рассматривать, как полную энергию системы. Каждое из подынтегральных выражений (6) представляет собой объёмную плотность энергии поля, что и доказывает справедливость формулы (3). Так как названные плотности выражают одно и то же, то, в принципе, они должны быть одинаковы. Однако, из-за разделения понятий «заряд» и «поле» этого не происходит. Выбирая левую часть, мы подсчитываем энергию, распределённую в электростатическом поле, пользуясь понятием напряжённости поля, выбирая правую часть, – определяем работу, необходимую для воссоздания тех же полей вокруг зарядов. В том и другом случае речь идёт об энергии поля, и о размещении этой энергии именно в самом поле.

При использовании в равенстве (4) вместо векторного поля φ·gradφ, поле E = –gradφ, взаимодействие зарядов выпадает из рассмотрения,

С учётом (5) приходим к теореме Гаусса в интегральной форме,

∫ S E dS = ∫ V (1/ε 0)ρdV .

(8)

Правая часть (8) (без (1/ε 0)) даёт суммарный заряд в выделенном объёме, а левая часть (8) – суммарный поток напряжённости поля (5) через замкнутую поверхность, окружающую этот объём. При изменениях размеров, формы поверхности и конфигурации зарядов внутри выделенного объёма, поток, как и суммарный заряд, остаются неизменными. В формуле (8) присутствуют только собственные поля зарядов, только они жестко связаны с зарядами и не зависят от взаимодействия зарядов.

Возвратимся к формуле (6), и вычислим энергию поля системы с помощью интеграла в правой части (6). Для точечных зарядов плотность ρ не равна нулю лишь в тех местах ((0, 0) ≡ 1 и (R 0 , 0) ≡ 2), где находятся заряды. Обозначим φ 1 (1) и φ 2 (2); φ 2 (1) и φ 1 (2) – потенциалы: собственный от Q 1 в месте расположения Q 1 и аналогично для Q 2 ; создаваемый зарядом Q 2 в месте расположения Q 1 и создаваемый зарядом Q 1 в месте расположения Q 2 , соответственно. Все они являются постоянными величинами, и могут быть вынесены за знак интеграла. Записывая ρ с помощью дельта-функций (запись символическая),

Легко показать (используя (2) и правую часть (10), и положив R 1 = R 2 = R 0), что сумма третьего и четвёртого членов в (10) принимает форму закона Кулона, и в точности равна U .

Члены W 1 и W 2 описывают неизменные при любых обстоятельствах плотности энергии собственных полей зарядов. Объёмные интегралы от них можно сравнить с членами φ 1 (1)Q 1 /2 и φ 2 (2)Q 2 /2 в формуле (10),

∫ V W 1 dV = φ 1 (1)Q 1 /2, ∫ V W 2 dV = φ 2 (2)Q 2 /2,

(14)

и исключить из обоих выражений, (3) и (10). Эта операция позволяет также частично избавиться от проблем, связанных с характеристиками поля на небольших расстояниях от точечных зарядов, и с трудностями учёта собственных полей зарядов в теории . Таким образом, взаимодействие зарядов определяется только членом W 3 , зависящим от силовых характеристик обоих зарядов одновремённо. Аналогом объёмного интеграла от W 3 «на языке зарядов» является выражение (11). Сравнивая интеграл от W 3 с интегралом (11),

∫ V W 3 dV = (1/2)∫ V [φ 1 (2)Q 2 δ(2) + φ 2 (1)Q 1 δ(1)]dV ,

(15)

можно ожидать, что вычисление интеграла в левой части (15), также приведёт к энергии U , но распределение объёмной плотности энергии в пространстве (формула (13)), вполне очевидно, не будет совпадать с представленным в правой части (15).

Рассмотрим подробнее распределение энергии W 3 в пространстве. Косинус угла α, показанный на рис. 1, играет определённую роль: cosα 900 (имеет место внутри окружности, вписанной между зарядами с центром в середине отрезка R 0), и cosα > 0 во всём остальном пространстве. Поэтому окружность cosα = 0 (в трёхмерном пространстве – сферическая поверхность) является важной границей, она отделяет конструктивную интерференцию от деструктивной. Пространство внутри этой сферы будем называть центральной зоной взаимодействия.

Задача упрощается без ущерба содержанию, если положить

Обозначим подынтегральную функцию в правой части (17) символом w 3 (она представляет собой относительное распределение объёмной плотности энергии в пространстве):

будет учтена в конце работы.

Подстановки (16) с образованием относительных распределений типа (18) применим также к W 1 и W 2 (формулы (12)); получим, соответственно, w 1 и w 2:

w 1 = r 1 –4 = 1/(x 2 + y 2) 2 ; w 2 = r 2 –4 = 1/[(1 – x ) 2 + y 2 ] 2 .

(20)

Найдём соотношение

w = (w 1 + w 2 + w 3)/(w 1 + w 2) = 1+ w 3 /(w 1 + w 2) = 1 + r 1 r 2 (r 1 2 + r 2 2 – 1)/(r 1 4 + r 2 4),

(21)

которое представляет собой некоторую поверхность. Участок этой поверхности внутри и вблизи центральной зоны взаимодействия показан на рис. 2 в пределах изменения x от –1 до 1, и y от –2 до 2.

Рис. 2. Отношение w объёмной плотности энергии в системе двух одноимённых взаимодействующих зарядов к сумме энергий невзаимодействующих зарядов

Заряды расположены в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Если бы энергия w 3 отсутствовала, то рассматриваемое отношение имело вид плоскости w = 1 (см. формулу (21)).

Как видно из рис. 2 и формулы (21), значение w равно нулю в центре отрезка R 0 (x = 0,5; y = 0); w = 1 на окружности, вписанной между зарядами; w = 2, максимально достижимое значение при x , y → ∞. Взаимодействие зарядов существенно дополняет сумму их собственных энергий и положительными, и отрицательными вкладами; при отталкивании зарядов энергия поля как бы «уходит» из центральной зоны наружу. Однако,

|w 3 /(w 1 +w 2)| ≤ 1,

(22)

то есть плотность энергии взаимодействия зарядов в каждой точке поля никогда не превышает суммы плотностей их собственных силовых полей. Новая деформированная структура поля обладает большей энергией, чем недеформированная. Поле «стремится» избавиться от избыточной энергии, и отсюда возникают силы взаимодействия. Механизм образования деформированной «надструктуры» w 3 целиком определяется принципом суперпозиции (векторным сложением напряжённостей полей).

Выясним, как соотносятся полные энергии взаимодействия внутри центральной зоны и за её пределами? Ответ на него может дать интегрирование по формуле (17) с учётом (16) и (18). Интеграл по y после подстановки

Смысл I (x ) – потенциальная энергия на единицу длины вдоль x , просуммированная по бесконечной плоскости (с координатой x ), перпендикулярной оси x . С другой стороны, это – осреднённая в названной плоскости относительная сила воздействия на заряд слоем поля, толщиной dx . График I (x ) показан на рис. 3.

Рис. 3 . Изображение I (x ) по формуле (26)

Интеграл (25) вычисляется в пределах от нуля до бесконечности. При этом надо различать три области по x :

1) область отрицательных значений (–∞ x 0, знак плюс перед c 1/2);

2) область между зарядами (0 ≤ x ≤ 1, знак минус перед с 1/2);

3) область оставшихся положительных значений (1 x ∞, знак плюс перед c 1/2).

Аналогично применяются знаки в правой части (26).

Вычисления по формуле (25) дают следующие результаты. В областях 1 или 3

Из формул (3), (17), (25) следует, что и в других случаях, каковы бы ни были величины и знаки зарядов, потенциальная энергия в области 2 равна нулю, причём компенсация положительных и отрицательных вкладов происходит в каждой плоскости x = const. Этот факт заслуживает особого внимания, так как в области 2 происходят существенные деформации поля. Таким образом, оказывается, что вся энергия взаимодействия сосредоточена в областях 1 и 3 поровну. Воздействие на заряды осуществляется не из пространства между зарядами, а из пространства снаружи.

Интегрирование выражения (25) по x в пределах от –∞ до +∞ приводит к результату

Независимое интегрирование (17) воспроизводит (ещё раз!) закон Кулона для U и подтверждает предположение (15). Интересная деталь: в выражении (17) значимые для взаимодействия зарядов величины (q и R 0) выводятся за знак интеграла, образуя необходимую энергию U , а сам интеграл, в конечном счете, оказывается равным единице при любых обстоятельствах. Формулы (25)...(30) демонстрируют вероятностный характер распределения энергии внутри поля, и объясняют причину совпадения расчётов энергии взаимодействия двумя разными способами, упомянутыми во введении. Так и должно быть, потому что напряжённости E обладают свойствами квантовомеханических амплитуд .

При рассмотрении взаимодействия разноимённых зарядов значение W 3 (см. формулу (13)) становится положительным внутри центральной зоны, и отрицательным за её пределами. Знак минус приобретает потенциальная энергия U .

Функция W 3 применяется также в вариационной процедуре (принципе наименьшего действия) для электрической составляющей электромагнитного поля (см. ). В этом случае W 3 с самого начала рассматривается, как распределение вероятностей взаимодействия по точкам пересечения напряжённостей E 1 и E 2 в пространстве. Результат такой процедуры для статического поля тот же, как по форме (вычисление функции Лагранжа по формулам (25)...(30)), так и по содержанию (закон Кулона).

Р. Фейнман в своей Нобелевской лекции отмечает: «...электродинамику можно построить... различными способами, – на основе дифференциальных уравнений Максвелла, (или) на основе различных принципов наименьшего действия с полями, и без полей... Самые фундаментальные законы физики после того, как они уже открыты, все-таки допускают такое невероятное многообразие формулировок, по первому впечатлению не эквивалентных, и всё же таких, что после определенных математических манипуляций между ними всегда удаётся найти взаимосвязь. Чем это можно объяснить, – остаётся загадкой. Думается, что здесь каким-то образом отражается простота природы. Может быть, вещь проста только тогда, когда её можно исчерпывающим образом охарактеризовать несколькими различными способами, ещё не зная, что на самом деле ты говоришь об одном и том же».

Вернёмся к формуле (4а) и попытаемся на её основе выстроить гипотезу для понимания механизма размещения внутри поля энергии взаимодействия U . Будем считать, что плотность ρ описывает, как заряды, изначально создающие поле, так и заряды, образованные (наведенные) полем в физическом вакууме. Теперь подынтегральное выражение (4а) можно положить равным нулю в каждой точке поля,

(ε 0 E 2 – φρ)/2 = 0;

(31)

при этом дислокация ρ не будет точечной, но закономерности Е и φ, определённые формулами (2) и подтверждённые экспериментально, не подлежат пересмотру. Совпадение «точечных» расчётов с опытом имеет место и для неточечных, но сферически симметричных источников. Кроме того, мы полагаем, что суммарный наведенный заряд, состоящий из равного количества положительных и отрицательных зарядов, равен нулю.

Из выражения (31) по известным значениям E и φ можно найти некоторые свойства одной из моделей физического вакуума – «поляризованного» вакуума . Согласно этой модели возбуждение вакуума заключается «в узком смысле слова, в рождении виртуальных пар заряженных частиц-античастиц (напр., пар электрон – позитрон) из вакуума... Этот эффект аналогичен поляризации диэлектрической среды внесённым в неё зарядом...». Из работы следует, что в данной среде можно ожидать появления связанных зарядов с объёмной плотностью ρ". При отсутствии сторонних зарядов в рассматриваемой части диэлектрика,

Здесь χ – диэлектрическая восприимчивость (неоднородной, но изотропной) среды.

Преобразуем второй член в формуле (31), используя (2) и (9),

Два первых равенства в (35) можно дополнить соотношениями

можно трактовать, как источник поля с энергетической плотностью W 3 , образованный внешними силами. Вследствие того, что силовое поле от ρ 12 " не выходит из замкнутой поверхности (8), суммарный по объёму заряд от этой плотности должен равняться нулю. Ниже на рис. 4а (S ) и рис. 4 б (Q ) представлены расчётные значения ρ 12 ".

Рис. 4. Объёмная плотность ρ 12 ": а) вычисленная для одноимённых зарядов по формуле (37) в пределах (–0,5 x y

Заряды расположены в плоскости (x , y ) в точках с координатами (0, 0) и (1, 0). Для перехода к абсолютным величинам значения плотности на графике следует умножить на константу (q /4πR 0 3). Здесь имеется неопределённость в плоскости, перпендикулярной оси x , посередине между зарядами, где φ 1 + φ 2 = 0.

В центральной зоне и её окрестностях плотность ρ 12 " принимает как положительные, так и отрицательные значения. При перемещении точки наблюдения в поле от зарядов на периферию числитель (37) уменьшается значительно быстрее, чем знаменатель. Поэтому уже вблизи зарядов и далее, на больших расстояниях, ρ 12 " → 0. Для разноимённых зарядов выполняется наглядно условие ∫ V ρ 12 "dV = 0, так как интегрирование по x от –∞ до +∞ при любом y даёт нуль. В случае одноимённых зарядов подобная проверка связана с техническими трудностями.

Сравним формулы (32) и (37). Рассматриваемый вакуум неразрывно связан с породившим его электростатическим полем, и потому он называется электромагнитным (синонимы: фотонный, электрон-позитронный). Диэлектрическая восприимчивость χ вакуума должна зависеть от характеристик поля: нет поля, – нет поляризации вакуума, χ = 0. И далее: «вакуум является ареной физических процессов, обусловленных флуктуациями вакуума» . Следовательно, с увеличением потенциала φ поля флуктуации будут более интенсивными, и восприимчивость вакуума к поляризации возрастёт. Суммируя сказанное, мы принимаем простейший вариант зависимости χ = k φ, где k = const., и вернёмся к формуле (32). После подстановки χ = k φ в (32) имеем,

Согласно работе знаменатель в формуле (38) представляет собой относительную диэлектрическую проницаемость ε среды, ε = 1 + χ = 1 + |k φ|. Знак модуля введён потому, что в изотропной среде величина χ не зависит от направления поля. Если |k φ| >> 1, то единицей в знаменателе (38) можно пренебречь, и плотность ρ 12 ", найденная из формулы (38), полностью совпадает с вычисленной по (37). Неравенство |k φ| >> 1 и, следовательно, ε >> 1 логически вписывается в модель «поляризованного» вакуума.

Переход диэлектрической проницаемости вакуума от ε = 1 (обычный вакуум) к ε >> 1 (физический вакуум) в результате взаимодействия зарядов означает, что поле аккумулирует внешнюю энергию посредством ослабления связи виртуальных частиц и создания в вакууме связанных зарядов.

Источники информации:

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. Электричество и магнетизм. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1966.
2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Т. 2. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1975.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М: «Наука», 1978.
4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М: «Высшая школа», 1999.
5. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. – М: «Наука», 1977.
6. Матвеев А.Н. Квантовая механика и строение атома. – М: «Высшая школа», 1985.
7. Фейнман Р. Теория фундаментальных процессов. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1978.
8. Физический энциклопедический словарь. // Под. ред. Прохорова А.М. – М: «Советская энциклопедия», 1983.
9. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. – М: «Советское радио», 1956.
10. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1966.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. – М: «Наука», 1977.
12. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1968.
13. Фейнман Р. Характер физических законов. Нобелевская лекция: разработка квантовой электродинамики в пространственно–временном аспекте. / Пер. с англ. – М: «Мир», 1968.
14. Фейнман Р. КЭД – странная теория света и вещества. / Пер. с англ. – М: «Наука», 1988.

Энергия взаимодействия электрических зарядов

Силы взаимодействия электрических зарядов консервативны, следовательно, система электрических зарядов обладает потенциальной энергией.

Пусть даны два точечных неподвижных заряда q 1 и q 2 , находящиеся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией

; , (4.1)

где j 1,2 и j 2,1 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q 1 и зарядом q 1 в точке нахождения заряда q 2 .

, а . (4.3)

Следовательно,

. (4.4)

Для того чтобы в уравнение энергии системы оба заряда входили симметрично, выражение (4.4) можно записать в виде

. (4.5)

Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 и т.д., можно убедиться, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы

, (4.6)

где j i – потенциал создаваемый в точке нахождения q i всеми зарядами, кроме i - го.

При непрерывном распределении зарядов в элементарном объеме dV находится заряд dq = r×dV. Для определения энергии взаимодействия заряда dq можно применить формулу (4.6), перейдя в ней от суммы к интегралу:

, (4.7)

где j – потенциал в точке элемента объема dV.

Надо отметить, что между формулами (4.6) и (4.7) существует принципиальное различие. Формула (4.6) учитывает только энергию взаимодействия между точечными зарядами, но не учитывает энергии взаимодействия элементов заряда каждого из точечных зарядов между собой (собственную энергию точечного заряда). Формула (4.7) учитывает как энергию взаимодействия между точечными зарядами, так и собственную энергию этих зарядов. При расчете энергии взаимодействия точечных зарядов она сводится к интегралам по объему V i точечных зарядов:

, (4.8)

где j i - потенциал в любой точке объема i-го точечного заряда;

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

где j i ¢ - потенциал, созданный другими точечными зарядами в этой же точке;

j i с – потенциал, созданный частями i-го точечного заряда в данной точке.

Так как точечные заряды можно представить сферически симметричными, то

(4.10)

где W ¢ определяется по формуле (4.6).

Значение собственной энергии зарядов зависит от законов распределения зарядов и от величины зарядов. Например, при равномерном сферическом распределении зарядов с поверхностной плотностью s

.

Следовательно,

. (4.11)

Из формулы (4.11) видно, что при R®0 величина W с ®¥. Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности. Это приводит к серьезным недостаткам понятия "точечный заряд".

Таким образом, формулу (4.6) можно применять для анализа взаимодействия точечных зарядов, поскольку она не содержит их собственной энергии. Формула (4.7) для непрерывного распределения заряда учитывает всю энергию взаимодействия, поэтому является более общей.

При наличии поверхностных зарядов вид формулы (4.7) несколько изменяется. Подынтегральное выражение этой формулы равно и имеет смысл потенциальной энергии, которой обладает элемент заряда dq, находясь в точке с потенциалом j. Эта потенциальная энергия не зависит от того, является ли dq элементом объемного или поверхностного заряда. Поэтому для поверхностного распределения dq = s×dS. Следовательно, для энергии поля поверхностных зарядов

Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов и полная электростатическая энергия системы зарядов

Анимация

Описание

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся в вакууме на расстоянии r 12 друг от друга можно вычислить по:

(1)

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q 1 , q 2 ,..., q n .

Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:

. (2)

В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i № k ). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N . Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:

, (3)

где j i - потенциал в точке нахождения i -го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.

Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд q i , взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов q i , но не на их образование.

Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов q i из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:

Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна (при q>0 , j >0 , следовательно W>0 , если q<0 , то j <0 , но W>0 ).

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 3);

Время существования (log tc от -10 до 15);

Время деградации (log td от -10 до 3);

Время оптимального проявления (log tk от -7 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Для наблюдения энергии взаимодействия системы зарядов достаточно подвесить на ниточках на расстоянии порядка 5 см друг от друга два легких проводящих шарика и зарядить их от расчески. Они отклонятся, то есть повысят свою потенциальную энергию в поле земного тяготения, что и делается за счет энергии их электростатического взаимодействия.

Применение эффекта

Эффект настолько фундаментален, что без преувеличения можно считать, что он применяется кв любой электротехнической и радиоэлектронной аппаратуре, использующий зарядовые накопители, то есть конденсаторы.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1988.- Т.2.- С.24-25.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.- С.117-118.

Ключевые слова

• электрический заряд
• точечный заряд
• потенциал
• потенциальная энергия взаимодействия
• полная электрическая энергия

Разделы естественных наук: